第四章 向量组的线性相关性 §1 n维向量 一、n维向量的概念 定义1n个有次序的数41,42，…，an所组成 的数组称为n维向量，这n个数称为该向量的n 个分量，第i个数(，称为第i个分量
第四章 向量组的线性相关性 §1 n维向量 一、n维向量的概念 定义1 n个有次序的数 所组成 的数组称为 n 维向量，这 n 个数称为该向量的 n 个分量，第 i 个数 称为第 i 个分量。 1 2 , , , n a a a ai
列向量a= 行向量=(a1,a2,…, 零向量0=(0,0，…，0) 负向量-Q=(-4,-4,,-0
列向量 ＝ 1 2 n a a a α 行向量 ( 1 2 , , , ) T = a a an 零向量 负向量 ( 1 2 , , , ) T − = − − − a a an (0, 0, , 0) T 0 =
二、n维向量的运算 定义2设n维向量 a=(a,42 阝=(b,b2,, .On 1)a=B,当且仅当a,=b,(i=1,2,n) 2)a+阝=(a1+b,a2+b2,…,an+bn) 3)ka=(kakaz,kan). 其中k是数量
二、n维向量的运算 定义2 设n维向量 1) 2） 3) 其中 k 是数量。 ( 1 2 , , , ) T = a a an ( 1 2 , , , ) T = b b bn , ( 1,2, , ); T T = = = 当且仅当 a b i n i i 1 1 2 2 ( , , , ); T T + = + + + a b a b a b n n 1 2 ( , , , ). T n k ka ka ka =
注：如上定义的向量加法和数乘的运算统称为向量的 线性运算。 三、n维向量的运算律 设a,B,y为n维向量，k、为实数，0为零向量。 1)a+阝=B+a 2) a+阝+y=a+(阝+y) 3) a+0=a 4)a+(-a)=0 5) la=a 6) k(1a)=(k1)a 7)k (a+B)=ka+kB 8)(k+1)a=ka+la
注：如上定义的向量加法和数乘的运算统称为向量的 线性运算。 三、n维向量的运算律 设 α ， β ， γ 为n维向量，k、l为实数，0为零向量。 1) α + β = β + α 2) α + β + γ = α + ( β + γ ) 3) α + 0 = α 4) α + ( – α ) = 0 5) 1·α = α 6) k ( l α ) =( k l ) α 7) k ( α + β ) = kα + kβ 8) ( k + l ) α = kα + lα
四、n维向量的实际意义 我们称n维向量的全体所组成的集合 R”={x=(x,x2,xn)lx1,x2,xn∈R} 为n维向量空间。 n维向量有着广泛的实际意义。例如为确定飞机的 状态，需要6个参数（够成6维向量）。表示飞机重心在 空间的位置需3个参数，还有3个参数是： 1)机身的水平转角0(0≤0<2π)； 2)机身的仰角(-≤≤： 3)机翼（以机身为轴）的转角平（一π<平≤π）
四、n 维向量的实际意义 我们称n维向量的全体所组成的集合 为 n 维向量空间。 n 维向量有着广泛的实际意义。例如为确定飞机的 状态，需要 6 个参数（够成6维向量）。表示飞机重心在 空间的位置需 3 个参数，还有 3 个参数是: ( , , , ) , , , 1 2 1 2 | n R x x x x x x x R = = n n 1) 机身的水平转角θ（0 ≤ θ < 2π ）； 2) 机身的仰角 φ （– ）； 2 2 3) 机翼（以机身为轴）的转角Ψ （－π < Ψ ≤ π ）
例1计算 设a= 求1)a+2; 2)3a-B。 解 a+2B= 08 3a-B
例1 计算 设 α＝ , β = 求 1） 2） 3α － β 。 解 α +2 β ; 3α － β ＝ α +2 β ＝ 1 0 1 − 1 1 0 1 1 0 2 1 1 0 − + = 1 2 0 2 1 0 − + = 1 2 1 1 1 3 0 1 1 0 − − = 3 1 0 1 3 0 − − = 4 1 3 − −