§4向量组的秩 向量组秩的概念 定义6设有向量组A,如果在A中存在r个向量 1 02,， a,,满足 (1)向量组A0:a1,a2,,a,线性无关； (2)向量组A中任意+1个向量（如果A中有+1个向量 的话)都线性相关，那末向量组A是向量组A的个极大 线性无关组（简称极大无关组）；极大无关组所含向量的 个数r称为向量组A的秩。 1、零向量组的秩为0。 2、一个向量组的极大无关组通常不唯一
§4 向量组的秩 一、向量组秩的概念 定义6 设有向量组A，如果在A中存在 r 个向量 α1， α2，… ，αr ，满足 （1）向量组A0： α1，α2，… ，αr线性无关； （2）向量组A中任意r+1个向量（如果A中有r+1个向量 的话）都线性相关，那末向量组 A0是向量组 A的一个极大 线性无关组（简称极大无关组）；极大无关组所含向量的 个数 r 称为向量组A的秩。 1、零向量组的秩为0。 2、一个向量组的极大无关组通常不唯一
向量组秩的定理 定理6矩阵的秩等于它的列向量组的秩，也等于它的 行向量组的秩。 证设A=(a1,a2,,anm),R(4)=r,并设r阶子式D,≠0。 根据定理4和D,未0知D所在的r列线性无关；又由A中所 有+1阶子式均为零，知A中任意+1个列向量都线性相关。 因此D,所在的r列是A的列向量组的一个极大无关组，所以 列向量组的秩等于r。 同理可证矩阵A的行向量组的秩也等于R(A)。 由此可见：若D,是矩阵A的一个最高阶非零子式，则 D,所在的r列即是列向量组的一个极大无关组，D,所在的7 行即是行向量组的一个极大无关组。 注：向量组a1,a2,,am的秩也记作R(a1,2,,am)
定理6 矩阵的秩等于它的列向量组的秩，也等于它的 行向量组的秩。 证 设A = (α1 ,α2 ,…,αm ), R(A) = r ,并设 r 阶子式 Dr≠ 0 。 根据定理4和Dr≠ 0知Dr所在的r列线性无关；又由A中所 有r+1阶子式均为零，知 A中任意 r+1个列向量都线性相关。 因此Dr所在的 r 列是 A的列向量组的一个极大无关组,所以 列向量组的秩等于r。 同理可证矩阵A的行向量组的秩也等于R(A) 。 由此可见：若Dr是矩阵A的一个最高阶非零子式，则 Dr所在的r列即是列向量组的一个极大无关组， Dr所在的r 行即是行向量组的一个极大无关组。 注：向量组α1 ,α2 ,…,αm 的秩也记作R(α1 ,α2 ,…,αm )。 二、向量组秩的定理
例如设向量组 目周 把向量组拼成矩阵，即 显然R(a1,a2)=2,知a1,a2线性无关；由R(a1,a2,a3)卡2知 a1,a2,a线性相关。因此a1,a2是向量组a1,a2,a3的一个极 大无关组。 此外，R(a1,a3)=2及R(a2,a3)=2可知a1,a3和a2,3都 是向量组a1,a2,a3的一个极大无关组
例如 设向量组 1 2 3 1 0 2 1 2 4 1 5 7 , , . = = = 把向量组拼成矩阵，即 ( 1 2 3 ) 1 0 2 1 2 4 1 5 7 , , , = 显然R(α1 ,α2 ) = 2, 知 α1 , α2线性无关；由 R(α1 ,α2 , α3 ) = 2 知 α1 ,α2 , α3线性相关 。因此 α1 , α2 是向量组 α1 ,α2 , α3的一个极 大无关组。 此外， R(α1 ,α3 ) = 2 及 R(α2 ,α3 ) = 2 可知α1 ,α3和α2 ,α3都 是向量组 α1 ,α2 , α3 的一个极大无关组
性质1向量组是线性无关的充分必要条件是向量组 的秩数等于向量组中向量的个数。 性质2向量组与其极大无关组等价。 证设向量组Ao:a1,a2,,a,是A的极大无关组，则A0 是A的部分组，故A,总能由A线性表示；由极大无关组的 定义知，对于A中任意向量a,r+1个向量a1,a2,,a,a线 性相关，而a1,a,,a,线性无关，由定理2知a能由a1,a2, a,线性表示，即向量组A能由A,线性表示。所以向量组A 与A等价
性质1 向量组是线性无关的充分必要条件是向量组 的秩数等于向量组中向量的个数。 性质2 向量组与其极大无关组等价。 证 设向量组A0： α1 ,α2 ,…,αr是 A的极大无关组，则A0 是A的部分组,故 A0 总能由 A 线性表示；由极大无关组的 定义知，对于A中任意向量 α ，r+1个向量α1 ,α2 ,…,αr , α 线 性相关，而α1 ,α2 ,…,αr线性无关，由定理2知α 能由α1 ,α2 ,…, αr线性表示，即向量组A能由A0线性表示。所以向量组A 与A0等价