§2 矩阵的秩 一、矩阵秩的定义 定义2在mXn矩阵A中，任取k行与列Cm, k≤n),位于这些行和列交叉处的2个元素，不改 o 变它们在A中所处的位置次序而得到的阶行列式， ·称为矩阵A的阶子式。 ●m×n矩阵A的k行与k列子式共有 CC个
§2 矩阵的秩 ⚫ 定义2 在m×n矩阵A中,任取k行与k列（k≤m， k ≤ n），位于这些行和列交叉处的k 2个元素,不改 ⚫ 变它们在A中所处的位置次序而得到的k阶行列式， ⚫ 称为矩阵A的k阶子式。 ⚫ m×n矩阵A 的k行与k列子式共有 Cm k Cn k 个。 一、矩阵秩的定义
例如 0 2 2 注意：在A中存在1阶和2阶的非零子 式，但3阶和4阶子式全部为零
例如 = 0 1 2 1 2 0 2 0 0 2 4 2 1 0 1 0 A 注意：在A中存在1阶和2阶的非零子 式，但3阶和4阶子式全部为零
定义3设在矩阵A中有一个不等于0的r阶子 式D,≠0，且所有+1阶子式（如果存在的话） 全等于零，那么D,称为矩阵A的最高阶非零子式 数r称为矩阵A的秩，记作R(A)=r。 注意显然有R(A)=R(A) 特别的规定 R(0)=0
定义3 设在矩阵A中有一个不等于0的 r 阶子 式 ，且所有r+1阶子式（如果存在的话） 全等于零，那么 称为矩阵 A 的最高阶非零子式. 数 r 称为矩阵 A 的秩，记作 。 Dr 0 Dr R(A) = r 注意 显然有 R(A ) R(A) T = 特别的规定 R(0) = 0
例1求下列矩阵的秩. 1 解在A中，容易看出：一个2阶子式 4的3阶子式只有一个4，经计算可知|A|=0,因此 R(A)=2
例1 求下列矩阵的秩． 解 在A中，容易看出：一个2阶子式 ， A的3阶子式只有一个|A| ，经计算可知｜Ａ｜＝０ ,因此 Ｒ（Ａ）＝２. 0 2 3 1 2 1 2 3 2 3 5 4 7 1 = − A
32 B 0 解B是一个阶梯形矩阵，其非零行有3行， 故可知B的所有4阶子式全为零。而以三个非零 行的第一个非零元素为对角元的3阶行列式 2-1 3 0 3 -2≠0 因此 R (B) =3
− − − = 0 0 0 0 0 0 0 0 4 3 0 3 1 2 5 2 1 0 3 2 B 解 Ｂ是一个阶梯形矩阵，其非零行有３行， 故可知Ｂ的所有４阶子式全为零。而以三个非零 行的第一个非零元素为对角元的３阶行列式 因此 Ｒ（B）＝３ 2 1 3 0 3 2 0 0 0 4 − −
二、矩阵秩的相关定理 定理1若A~B,则RA)=R(B)」 证明先证明：若A经过一次初等行变换变为B, 则R(A)≤R(B). 设R(A)=r,且A的某个r阶子式D,0 r←r xk 当A~B或A心B,在B中总能找到与D,相 对应的D, 由于 D,=D,或D,=-D,或D,=kD
二、矩阵秩的相关定理 ⚫ 定理１ 若Ａ～Ｂ，则Ｒ（Ａ）＝Ｒ（Ｂ）． ⚫ 证明 先证明：若Ａ经过一次初等行变换变为Ｂ， 则Ｒ（Ａ）≤Ｒ（Ｂ）． ⚫ 设Ｒ（Ａ）＝ｒ，且Ａ的某个ｒ 阶子式Ｄｒ≠０, 当 A B 或 ，在Ｂ 中总能找到与Ｄｒ 相 i j r r ~ A B r k i ~ 对应的 Dr 由于 r r Dr = Dr 或 Dr = −Dr 或 D = kD