第三章矩阵的初等变换与线性方程组 习题课 术洪亮
第三章 矩阵的初等变换与线性方程组 习 题 课 术洪亮
本章我们讨论了矩阵的初等变换 及矩阵的秩、初等矩阵的概念，并且 给出了一般非齐次线性方程组有解和 齐次线性方程组有非零解的充分必要 条件。初等变换在矩阵理论的讨论和 应用过程中具有非常重要的作用。如 求矩阵的秩、求矩阵的逆矩阵等问题。 初等行变换与初等列变换统称为初等变换。它是 对矩阵施行的下述三种变换。 1对调某两行（或列） 2.以数k≠0乘某一行（或列）中的所有元素， 3.把某一行（或列）所有元素的k倍加到另一行（或列对应 的元素上去
本章我们讨论了矩阵的初等变换 及矩阵的秩、初等矩阵的概念，并且 给出了一般非齐次线性方程组有解和 齐次线性方程组有非零解的充分必要 条件。初等变换在矩阵理论的讨论和 应用过程中具有非常重要的作用。如 求矩阵的秩、求矩阵的逆矩阵等问题。 初等行变换与初等列变换统称为初等变换。它是 对矩阵施行的下述三种变换。 1.对调某两行(或列); 2.以数 乘某一行(或列)中的所有元素; 3.把某一行(或列)所有元素的k倍加到另一行(或列)对应 的元素上去。 k 0
下面通过例题来复习本章的内容和解 题方法 例1：把下面矩阵化为行最简形矩阵 2 31-3-7 1 2 -2 -4 A= 3 -28 3 0 2 -374 3 解：对A施行初等行变换 1 2 0-2 4 2+(-2)1 1←今2 2 3 -3 -7 3+(-3)1 A 3 -2 8 3 0 r4+(-2)n 2 -3 7 4 3
下面通过例题来复习本章的内容和解 题方法 例1：把下面矩阵化为行最简形矩阵 2 3 1 3 7 1 2 0 2 4 3 2 8 3 0 2 3 7 4 3 A − − − − = − − 解：对A施行初等行变换 1 2 1 2 0 2 4 2 3 1 3 7 3 2 8 3 0 2 3 7 4 3 ~ r r A − − − − − − 2 1 3 1 4 1 ( 2) ( 3) ( 2) ~ r r r r r r + − + − + −
-2 -4 1 -8 8 12 -7 7 8 11 1 0 20-2 5+(-8)5 r4+(-7)n 0-1 111 2+(-1)5 r4+(-1)3 U 1+22 00 0 14 00014
1 2 0 2 4 0 1 1 1 1 0 8 8 9 12 0 7 7 8 11 − − − − − 3 2 2 1 2 ( 8) 4 ( 7) 2 1 0 2 0 2 0 1 1 1 1 0 0 0 1 4 0 0 0 1 4 ~ r r r r r r + − + − + − − 2 3 4 3 ( 1) ( 1) ~ r r r r + − + −
2 2 -3 10 20-2 2×(-1) 01 -10 3 0 4
1 0 2 0 2 0 1 1 0 3 0 0 0 1 4 0 0 0 0 0 − − − 2 ( 1) 1 0 2 0 2 0 1 1 0 3 0 0 0 1 4 0 0 0 0 0 ~ r − − −
例2：求下面矩阵的秩，并求一个 最高阶非零子式 2 183 7 -3 0 -5 A- 2 3 -2 5 8 0 0 32 0 0 32 0 2+(-20 10 32 0 5+(-3) n公4 2-307-5 4+(-2)i 0-3-63-5 3 -2580 0-2-4 20 21837 012-17
例2：求下面矩阵的秩，并求一个 最高阶非零子式 2 1 8 3 7 2 3 0 7 5 3 2 5 8 0 1 0 3 2 0 − − − A= 1 4 1 0 3 2 0 2 3 0 7 5 3 2 5 8 0 2 1 8 3 7 ~ r r − − − 2 1 3 1 4 1 ( 2) ( 3) ( 2) 1 0 3 2 0 0 3 6 3 5 0 2 4 2 0 0 1 2 1 7 ~ r r r r r r + − + − + − − − − − − −
2+3 3+2 16 14 1032 0 10320 2今 012-1 7 012-17 000 0 14 000014 000 16 00000
2 4 3 4 3 2 1 0 3 2 0 0 0 0 0 16 0 0 0 0 14 0 1 2 1 7 ~ r r r r + + − 2 4 1 0 3 2 0 0 1 2 1 7 0 0 0 0 14 0 0 0 0 16 ~ r r − 16 4 3 14 ( ) 1 0 3 2 0 0 1 2 1 7 0 0 0 0 14 0 0 0 0 0 ~ r r + − −
由此我们可以看到矩阵的秩为3， 并且由1、2、3行，1、2、5列元素构 成的三阶行列式不为零，注意到行交 换过程，它们分别对应愿矩阵的1、3、 4行和1、2、5列元素，所以原矩阵的 一个最高阶非零子式为 2 3 ≠0 1
由此我们可以看到矩阵的秩为3， 并且由1、2、3行，1、2、5列元素构 成的三阶行列式不为零，注意到行交 换过程，它们分别对应愿矩阵的1、3、 4行和1、2、5列元素，所以原矩阵的 一个最高阶非零子式为 2 1 7 3 2 0 0 1 0 0 −
例3：试利用矩阵的初等行变换， 求下面矩阵的逆矩阵： 3 -2 0 2 2 B -2 -3 解：对矩阵(BE)施行初等行变换 320-11000 02210100 (BE)= 1=2-3-20010 01210001
3 2 0 1 0 2 2 1 1 2 3 2 0 1 2 1 B − − = − − − 解：对矩阵（B E）施行初等行变换 3 2 0 1 0 2 2 1 1 2 3 2 0 1 2 1 − − − − − 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 （B E）= 例3：试利用矩阵的初等行变换， 求下面矩阵的逆矩阵：
-2-3-20010 行今明 0 121000 3 2 -20-1100 0 2210100 71-2-3-20010 5+(-3)n 01210001 4+(-2) 049510-30 00-2-1010-2
1 3 2 4 1 2 3 2 0 0 1 0 0 1 2 1 0 0 0 1 3 2 0 1 1 0 0 0 0 2 2 1 0 1 0 0 ~ r r r r − − − − − 3 1 4 2 ( 3) ( 2) 1 2 3 2 0 0 1 0 0 1 2 1 0 0 0 1 0 4 9 5 1 0 3 0 0 0 2 1 0 1 0 2 ~ r r r r + − + − − − − − − − −
