线性代数习题课 吉林大学 术洪亮
线性代数习题课 吉林大学 术洪亮
第一讲行列式 前面我们已经学习了关 于行列式的概念和一些基本 理论，其主要内容可概括为：
第一讲 行 列 式 前面我们已经学习了关 于行列式的概念和一些基本 理论，其主要内容可概括为：
概念 性质 行列式 展开定理 计算 应用
行列式 概 念 性 质 展开定理 计 算 应 用
排列，逆序数，奇排列与偶排列 概念 行 列 22 式的定义 : ∑(-lyan4…am. An2 2 1. 行列式与它的转置行列式相等： 2. 互换行列式的两行 (列)，行列式变号： 性质 3.某行（列）有公因子可以提到行列式符号外面： 4. 若行列式中某一行（列）的所有元素均为两元素之和，则行 列式可写成两个行列式的和： 5. 行列式某行（列）的K倍后加到另一行（列）上，行列式不变
概 念 排列，逆序数，奇排列与偶排列 行 列 式 的 定 义 1 2 1 2 11 12 1 21 22 2 1 2 1 2 ( 1) n n n n t p p np p p p n n nn a a a a a a a a a a a a = − 性 质 1．行列式与它的转置行列式相等； 2．互换行列式的两行（列），行列式变号； 3．某行（列）有公因子可以提到行列式符号外面； 4．若行列式中某一行（列）的所有元素均为两元素之和，则行 列式可写成两个行列式的和； 5．行列式某行（列）的K倍后加到另一行（列）上，行列式不变
按行展开 ∑ =1 展开定理 按列展开少 计 算一 就是运用行列式的定义、性质、定理求行列 式的值，常用的方法有定义法、性质法、递 推法、数学归纳法、加边法、公式法等。 克拉默法则 应 用 齐次线性方程组有非零解的充分必要条件
展开定理 计 算 就是运用行列式的定义、性质、定理求行列 式的值，常用的方法有定义法、性质法、递 推法、数学归纳法、加边法、公式法等。 齐次线性方程组有非零解的充分必要条件 应 用 克拉默法则 1 0 n ik jk k D i j a A i j = = = 按行展开 1 0 n ki kj k D i j a A i j = = = 按列展开
下面我们通过例题演示 来进一步巩固所学内容 并更好地掌握解题方法 与技巧，本章常见题型 有填空题、计算题、证 明题
下面我们通过例题演示 来进一步巩固所学内容， 并更好地掌握解题方法 与技巧，本章常见题型 有填空题、计算题、证 明题
●例1：问当i、如何取值时，排列 21i376i95为偶排列？ 解：令i=4,j=8,得排列为 21437689 J(214376895)=1+0+1+0+2+1+1+1=7 214376895为奇排列与题矛盾 应取i=8,j=4此时排列218376495 为偶排列
例1：问当i、j如何取值时，排列 2 1 i 3 7 6 j 9 5为偶排列？ ⚫解：令i=4，j=8，得排列为 2 1 4 3 7 6 8 9 5 214376895 为奇排列与题矛盾。 应取i=8，j=4 此时排列 218376495 为偶排列。 J（214376895）=1+0+1+0+2+1+1+1=7
●例2：求排列 13.…(2n-1)24…(2n) 的逆序数 解： J(1.3.…,(2n-1)24…(2n) =0+1+2++(n-1) n(n-1) 2
例2：求排列 的逆序数。 ⚫解： 1. 3. ,(2 1)24 (2 ) n n − J(1. 3. ,(2 1)24 (2 )) n n − = 0+1+2+ ( 1) + −n ( 1) = 2 n n −
●例3：写出四阶行列式中含有因子a11a23的项。 ●解： 行列式的项由不同行不同列的元素乘积构成， 11a23a344yi、j为24的取值 11C23C32444,a11a23C34C42两项 行标按自然排列，列标排列的逆序数为 J(1324)=1 J(1342)八=2 C11C423C432C44的项带负号，C11A23C34C42 的项前带正号。 ∴.含有因子411a23的项为-C11C23C32C44 L11L23L34CL42
⚫ 解： 行标按自然排列，列标排列的逆序数为 的项前带正号。 行列式的项由不同行不同列的元素乘积构成， a a a a 11 23 3 4 i j i、j为2、4的取值 a a a a 11 23 32 44 ， a a a a 11 23 34 42 两项 J（1 3 2 4）= 1 J（1 3 4 2）= 2 a a a a 11 23 32 44 的项带负号, a a a a 11 23 34 42 含有因子 a a11 23 的项为 - a a a a 11 23 32 44 a a a a 11 23 34 42 ⚫ 例3：写出四阶行列式中含有因子 a a11 23 的项
例4：在n阶行列式中，如果 等于零的元素比n-n还多， 试证明此行列式的值为零 证：，n阶行列式中有n2个 元素，等于零的元素比n2n还多，/这说明 非零元素的个数比n2(n2-n)=n还少。 由于行列式的每一项都是不同行不同列 的n个元素的乘积，因此，每一项中至少含 有一个零元素，即所有项都为零，所以，行 列式的值为零
例4：在n阶行列式中，如果 等于零的元素比 n 2- n还多, 试证明此行列式的值为零。 元素比 n 2- n还多，这说明 非零元素的个数比n 2-（ n 2- n）= n还少。 由于行列式的每一项都是不同行不同列 的n个元素的乘积，因此，每一项中至少含 有一个零元素，即所有项都为零，所以，行 列式的值为零。 ⚫ 证： n阶行列式中有n 2个 元素，等于零的