第二讲 §2.行列式的性质 有了n阶行列式的定义，我们就可以计 算阶行列式，在计算几种特殊行列式的过 程中，发现直接用定义计算是非常麻烦。 当行列式的阶数较高时，计算是士分困 难的，为了简化阶行列式的计算，我们这 节主要研究行列式的性质
第二讲 §2.行列式的性质 有了n阶行列式的定义，我们就可以计 算n阶行列式，在计算几种特殊行列式的过 程中，发现直接用定义计算是非常麻烦。 当行列式的阶数较高时，计算是十分困 难的，为了简化n阶行列式的计算，我们这 一节主要研究行列式的性质
一，转置行列式 把行列式的行换成同序数的列而得到的行列 式称为原行列式的转置行列式。即 a 2 a22 02 0h2 : : : an2 n 称D为D的转置行列式
一 . 转置行列式 ⚫ ⚫ 把行列式的行换成同序数的列而得到的行列 式称为原行列式的转置行列式。即 ⚫ n n n n n n a a a a a a a a a D 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 = n n n n n n T a a a a a a a a a D 1 2 1 2 2 2 2 1 1 2 1 1 = 称DT为D的转置行列式．
二.行列式的性质 性质1行列式与它的转置行列式 相等 证设 bu d a22 : .: 'nl 0n2 nn b
二．行列式的性质 性质1 行列式与它的转置行列式 相等. ⚫ 证 设 n n n n n n T b b b b b b b b b D 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 = n n n n n n a a a a a a a a a D 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 =
显然b,=am(2,广=1,2，，n) 按定义 DT=>(1)bip b2pabnp =∑(-1ap1ap2…apm 由此性质可知，行列式的行与列具有相司 的地位，行列式的性质凡是对行成立的对列也 同样成立，反之亦然
⚫ 由此性质可知，行列式的行与列具有相同 的地位，行列式的性质凡是对行成立的对列也 同样成立，反之亦然。 ij ji 显然 b = a 按定义 (i, j =1,2, ,n) = D ( ) p p p n t n a 1 a 2 a 1 2 = −1 ( ) p p n pn T t D b b b 1 1 2 2 = −1
性质2互换行列式的两行（列），行列式变号。 证设行列式 an2 D是由行列式D变换两行得到的 即当k≠i,时，bp=aw 当k=i,时
性质2 互换行列式的两行（列），行列式变号。 bkp = akp i p j p j p i p b = a ,b = a 即当k i, j时, 11 12 1 1 2 1 2 1 2 , n i i in j j jn n n nn a a a a a a D a a a a a a = 证 设行列式 11 12 1 1 2 T 1 2 1 2 , n i i in j j jn n n nn b b b b b b D b b b b b b = T D D , 是由行列式 变换两行得到的 当 k i j = , , 时
。于是 D=∑(1ヅbp =∑（ヅan-aa…aw…0m =∑（ヅan…ag…am…am. =-∑（←aa =-D
⚫ 于是 ( ) i j n p i p j p n p t D b b b b 1 1 = −1 1 ( ) i j n p j p i p n p t a a a a 1 1 = −1 ( ) j i n p i p j p np t a a a a 1 = −1 1 ( ) j i n p i p j p n p t a a a a 1 1 1 = − −1 = −D
推论 如果行列式有两行（列） 完全相同，则此行列式等于零 证 把这两行互换，有 D=一D,故 D=0」
⚫ 推论 如果行列式有两行（列） 完全相同,则此行列式等于零. ⚫ 证 把这两行互换，有 ⚫ D=－D，故 ⚫ D=0
性质3行列式的某一行（列）中所有的 元素都乘以同一数，等于用数乘此行列式。 证设 d12 a in 'nn 0 a
⚫证 设 ⚫ ⚫ D= n n nn i i i n n a a a a a a a a a 1 2 1 2 11 12 1 D1 = n n n n i i i n n a a a k a k a k a a a a 1 2 1 2 1 1 1 2 1 性质3 行列式的某一行（列）中所有的 元素都乘以同一数，等于用数乘此行列式
故 D,=∑(-1旷anam…kaa .…0npm =k∑(-l'an42 ip kD
故 ( ) i n p p i p n p t D a a k a a 1 2 1 1 2 = −1 = kD i n pn p p i p t = k − a a a a 1 1 2 2 ( 1)
推论 行列式中某一行（列）的所有 元素的公因子可以提到行列式的外面. ·例如 1 2 11 11 5 4 2 =2× 5 2 2 10 6 5 10 3 5
⚫ 推论 行列式中某一行（列）的所有 元素的公因子可以提到行列式的外面. ⚫例如 10 3 5 5 2 2 1 1 11 2 10 6 5 5 4 2 1 2 11 =
