《竞赛数学》课程教学资源（阅读文章）梅森素数：千年不休的探寻之旅

梅森素数：千年不休的探寻之旅 摘自《中国教师报》 《中国教师报》编者按：梅森索数对于许多教师来讲，是个陌 生的名词：但在近几年的高校自主招生测试中，梅森素数却频频出 现。在数千年的人类历史中，人类对梅森素数的探索脚步，也从未 停止过。人类对梅森素数的痴迷，除了因为它在密码编制、程序设 计、分布式计算技术、计算机测试等方面的实用价值外，还在于它 是人类好奇心、求知欲和荣誉感的最好见证。 4312.609 www.100math. 还记得你小学时背诵的素数表吗？那时候它还叫做质数表“2、 3、5、7…”如今你是否已经真正理解了老师说过的话：这些只能 被1和本身整除的数，具有着无穷的魅力。 还记得你中学时计算的2的整数幂吗？计算机时代，作为二进 制的体现，它们正大行其道。“2、4、8、16、32、64、128、256……” 十多年来，电脑内存的容量正是经历了这些熟悉的数字，直到现在 的2048M(2G)以及更多。 现在，让我们从这些2的整数幂中挑出以素数为指数的，再把 它减1，试试看会发现什么？22-1=3、23-1=7、23-1=31、27 -1=127……

梅森素数：千年不休的探寻之旅 摘自《中国教师报》 《 中 国 教 师 报 》 编 者 按 ： 梅 森 素 数 对 于 许 多 教 师 来 讲 ， 是 个 陌 生 的 名 词 ； 但 在 近 几 年 的 高 校 自 主 招 生 测 试 中 ， 梅 森 素 数 却 频 频 出 现 。 在 数 千 年 的 人 类 历 史 中 ， 人 类 对 梅 森 素 数 的 探 索 脚 步 ， 也 从 未 停 止 过 。 人 类 对 梅 森 素 数 的 痴 迷 ， 除 了 因 为 它 在 密 码 编 制 、 程 序 设 计 、 分 布 式 计 算 技 术 、 计 算 机 测 试 等 方 面 的 实 用 价 值 外 ， 还 在 于 它 是 人 类 好 奇 心 、 求 知 欲 和 荣 誉 感 的 最 好 见 证 。 还 记 得 你 小 学 时 背 诵 的 素 数 表 吗 ？ 那 时 候 它 还 叫 做 质 数 表 “ 2、 3、5、7„ „ ”如 今 你 是 否 已 经 真 正 理 解 了 老 师 说 过 的 话 ：这 些 只 能 被 1 和 本 身 整 除 的 数 ， 具 有 着 无 穷 的 魅 力 。 还 记 得 你 中 学 时 计 算 的 2 的 整 数 幂 吗 ？ 计 算 机 时 代 ， 作 为 二 进 制 的 体 现 ，它 们 正 大 行 其 道 。“ 2、4、8、16、32、64、128、256„„” 十 多 年 来 ， 电 脑 内 存 的 容 量 正 是 经 历 了 这 些 熟 悉 的 数 字 ， 直 到 现 在 的 2048M（ 2G） 以 及 更 多 。 现 在 ， 让 我 们 从 这 些 2 的 整 数 幂 中 挑 出 以 素 数 为 指 数 的 ， 再 把 它 减 1， 试 试 看 会 发 现 什 么 ？ 2 2－ 1＝ 3、 2 3－ 1＝ 7、 2 5－ 1＝ 31、 2 7 － 1＝ 127„ „

嗯，你的心是不是激动起来了？一个伟大的发现似乎就在眼 前…… 别急别急，你的发现很妙，只是有些儿惋惜…你己经迟到了 二千年。 在2300多年前，古希腊的数学家，那位写出不朽的《几何原本》 的欧几里得在证明了素数有无穷多个之后，就顺便指出：有许多素 数可以写成2”一1的形式，其中指数P也是素数。很容易想到，刚才 你所发现的22-1、23-1、25-1、27-1正是其中排列最前的4个！ 当P=11、13、17、19、23…的时候，2P-1还是素数吗？到 底有多少这种2”一1型的素数呢？在计算能力低下的公元前，这个 关于素数的探寻之旅就已经吸引了无数的人。 人们唯独对素数如此着迷不是没有理由的，它有着许多简单而 又美丽的猜想，有的已经成为定理，而有的则至今还没有答案。例 如著名的哥德巴赫猜想，让人们苦苦追索：是否任何一个大于或等 于6的素数，都可以表示为两个奇素数的和？再比如李生素数问题 所提出的：像5和7、41和43这样相差2的素数，到底有多少对呢？ 在数学史上起个大早的古希腊人还有许多关于素数的发现，完 美数就是其中之一。毕达哥拉斯学派指出，如果一个数的所有因数 (包括1但不包括它本身)的和正好等于它本身，则这个数就叫做 完美数。很容易找到，6=1+2+3是第一个完美数，28=1+2+4 +7+14则是第二个完美数。他们认为，上帝用6天创造了世界， 因此6是最理想和完美的数字，而和6具有相同性质的数都堪称完 美数。 欧几里得在《几何原本》中证明了如果2”一1是一个素数，那 么2P-1(2”-1)一定是一个完美数（你会发现，当P分别等于2、 3时，它就对应着前两个完美数6、28)。 再后来，一个叫欧拉的人进一步证明，每一个偶完美数也必定 是欧几里得所给出的形式。（不要问我奇完美数呢？就连它是否存 在，本身也是无数个关于素数的难题中至今未解的一个。)

嗯 ， 你 的 心 是 不 是 激 动 起 来 了 ？ 一 个 伟 大 的 发 现 似 乎 就 在 眼 前„„ 别 急 别 急 ， 你 的 发 现 很 妙 ， 只 是 有 些 儿 惋 惜 „ „ 你 已 经 迟 到 了 二千年。 在 2300 多 年 前 ，古 希 腊 的 数 学 家 ，那 位 写 出 不 朽 的《 几 何 原 本 》 的 欧 几 里 得 在 证 明 了 素 数 有 无 穷 多 个 之 后 ， 就 顺 便 指 出 ： 有 许 多 素 数可以写成 2 P－ 1 的 形 式 ，其 中 指 数 P 也 是 素 数 。很 容 易 想 到 ，刚 才 你所发现的 2 2－ 1、2 3－ 1、2 5－ 1、2 7－ 1 正 是 其 中 排 列 最 前 的 4 个 ！ 当 P＝ 11、13、17、19、23„ „ 的 时 候 ，2 P－ 1 还 是 素 数 吗 ？ 到 底 有 多 少 这 种 2 P－ 1 型 的 素 数 呢 ？ 在 计 算 能 力 低 下 的 公 元 前 ， 这 个 关 于 素 数 的 探 寻 之 旅 就 已 经 吸 引 了 无 数 的 人 。 人 们 唯 独 对 素 数 如 此 着 迷 不 是 没 有 理 由 的 ， 它 有 着 许 多 简 单 而 又 美 丽 的 猜 想 ， 有 的 已 经 成 为 定 理 ， 而 有 的 则 至 今 还 没 有 答 案 。 例 如 著 名 的 哥 德 巴 赫 猜 想 ， 让 人 们 苦 苦 追 索 ： 是 否 任 何 一 个 大 于 或 等 于 6 的 素 数 ， 都 可 以 表 示 为 两 个 奇 素 数 的 和 ？ 再 比 如 孪 生 素 数 问 题 所 提 出 的 ：像 5 和 7、41 和 43 这样相差 2 的 素 数 ，到 底 有 多 少 对 呢 ？ 在 数 学 史 上 起 个 大 早 的 古 希 腊 人 还 有 许 多 关 于 素 数 的 发 现 ， 完 美 数 就 是 其 中 之 一 。 毕 达 哥 拉 斯 学 派 指 出 ， 如 果 一 个 数 的 所 有 因 数 （包括 1 但 不 包 括 它 本 身 ） 的 和 正 好 等 于 它 本 身 ， 则 这 个 数 就 叫 做 完 美 数 。 很 容 易 找 到 ， 6＝ 1＋ 2＋ 3 是 第 一 个 完 美 数 ， 28＝ 1＋ 2＋ 4 ＋ 7＋ 14 则 是 第 二 个 完 美 数 。 他 们 认 为 ， 上 帝 用 6 天 创 造 了 世 界 ， 因 此 6 是 最 理 想 和 完 美 的 数 字 ， 而 和 6 具 有 相 同 性 质 的 数 都 堪 称 完 美数。 欧 几 里 得 在 《 几 何 原 本 》 中 证 明 了 如 果 2 P－ 1 是 一 个 素 数 ， 那 么 2 P－ 1（ 2 P－ 1） 一 定 是 一 个 完 美 数 （ 你 会 发 现 ，当 P 分别等于 2、 3 时 ， 它 就 对 应 着 前 两 个 完 美 数 6、 28）。 再 后 来 ， 一 个 叫 欧 拉 的 人 进 一 步 证 明 ， 每 一 个 偶 完 美 数 也 必 定 是 欧 几 里 得 所 给 出 的 形 式 。（ 不 要 问 我 奇 完 美 数 呢 ？ 就 连 它 是 否 存 在 ， 本 身 也 是 无 数 个 关 于 素 数 的 难 题 中 至 今 未 解 的 一 个 。）

很容易看到，找到了2”一1形式的素数，也就发现了新的完美 数。 形如2”一1的素数还长期占据了人们寻找到的最大素数的光荣 榜（仅在1989年后被39158×2216193-1夺走三年），因为判断这 样一个数是素数的方法比判断一个差不多大小的其他类型数是素数 的方法要简单得多。 对2”一1型素数的搜寻之旅就这样出发了，先后投入这个漫漫 长途的就有数学大师费马、笛卡尔、莱布尼兹、哥德巴赫、欧拉 高斯、哈代、图灵…这一个个闪光的名字正如暗夜前行的火炬手， 照亮了人类通往未知的道路。 历史的天空闪烁几颗星 现在，让我们坐上时间机器，回到过去，重新浏览这来路风光 吧。 1456年，又一个没有留下姓名的人发现了第5个2-1型的素 数：23-1。若是你就降生在十五世纪，或许这次发现的光荣将归属 于你。只是，你更有可能犯下和这个时代的人们一样的错误，以为 对于所有的素数P,2”一1都是素数。要知道，这个错误是一百年之 后，直到1536年，才由雷吉乌斯(Hudalricus Regius)打破的。他指 出，21-1=2047=23×89，不是素数。 不过你的莽撞完全可以得到谅解，在黑暗中寻找的数学家正如 年轻人一样，犯下的错误连上帝都会原谅。第一个对这种类型的素 数进行整理的皮特罗·卡塔尔迪(Pietro Cataldi)在他在I603年宜布 的结果中就言之凿凿地说：对于P=17,19,23,29,31和37,2 一1是素数。只可惜，37年后，他的六个结果就被推翻了两个，费 尔马使用著名的小费尔马（不是那个更著名的大费尔马定理）定理 证明了卡塔尔迪关于P=23和37的结论是错误的。 不知道下面的事实会不会让你联想到“屋漏偏逢连夜雨”呢？ 大约一百年后，1738年，欧拉证明了卡塔尔迪的结果中P=29也是 错误的。幸好，欧拉又证明了P=31的结论是对的

很 容 易 看 到 ， 找 到 了 2 P－ 1 形 式 的 素 数 ， 也 就 发 现 了 新 的 完 美 数 。 形 如 2 P－ 1 的 素 数 还 长 期 占 据 了 人 们 寻 找 到 的 最 大 素 数 的 光 荣 榜 （ 仅 在 1989 年 后 被 39158×2216193－ 1 夺 走 三 年 ）， 因 为 判 断 这 样 一 个 数 是 素 数 的 方 法 比 判 断 一 个 差 不 多 大 小 的 其 他 类 型 数 是 素 数 的 方 法 要 简 单 得 多 。 对 2 P－ 1 型 素 数 的 搜 寻 之 旅 就 这 样 出 发 了 ， 先 后 投 入 这 个 漫 漫 长 途 的 就 有 数 学 大 师 费 马 、 笛 卡 尔 、 莱 布 尼 兹 、 哥 德 巴 赫 、 欧 拉 、 高 斯 、哈 代 、图 灵 „ „ 这 一 个 个 闪 光 的 名 字 正 如 暗 夜 前 行 的 火 炬 手 ， 照 亮 了 人 类 通 往 未 知 的 道 路 。 历 史 的 天 空 闪 烁 几 颗 星 现 在 ， 让 我 们 坐 上 时 间 机 器 ， 回 到 过 去 ， 重 新 浏 览 这 来 路 风 光 吧 。 1456 年 ， 又 一 个 没 有 留 下 姓 名 的 人 发 现 了 第 5 个 2 P－ 1 型 的 素 数 ：2 1 3－ 1。若 是 你 就 降 生 在 十 五 世 纪 ，或 许 这 次 发 现 的 光 荣 将 归 属 于 你 。 只 是 ， 你 更 有 可 能 犯 下 和 这 个 时 代 的 人 们 一 样 的 错 误 ， 以 为 对 于 所 有 的 素 数 P，2 P－ 1 都 是 素 数 。要 知 道 ，这 个 错 误 是 一 百 年 之 后 ， 直 到 1536 年 ， 才 由 雷 吉 乌 斯 (Hudalricus Regius)打 破 的 。 他 指 出 ， 2 11－ 1＝ 2047＝ 23×89， 不 是 素 数 。 不 过 你 的 莽 撞 完 全 可 以 得 到 谅 解 ， 在 黑 暗 中 寻 找 的 数 学 家 正 如 年 轻 人 一 样 ， 犯 下 的 错 误 连 上 帝 都 会 原 谅 。 第 一 个 对 这 种 类 型 的 素 数 进 行 整 理 的 皮 特 罗 ·卡 塔 尔 迪 (Pietro Cataldi)在 他 在 1603 年宣布 的 结 果 中 就 言 之 凿 凿 地 说 ： 对 于 P=17， 19， 23， 29， 31 和 37， 2 P － 1 是 素 数 。 只 可 惜 ， 37 年 后 ， 他 的 六 个 结 果 就 被 推 翻 了 两 个 ， 费 尔 马 使 用 著 名 的 小 费 尔 马（ 不 是 那 个 更 著 名 的 大 费 尔 马 定 理 ）定 理 ， 证 明 了 卡 塔 尔 迪 关 于 P＝ 23 和 37 的 结 论 是 错 误 的 。 不 知 道 下 面 的 事 实 会 不 会 让 你 联 想 到 “ 屋 漏 偏 逢 连 夜 雨 ” 呢 ？ 大 约 一 百 年 后 ， 1738 年 ，欧 拉 证 明 了 卡 塔 尔 迪 的 结 果 中 P＝ 29 也 是 错 误 的 。 幸 好 ， 欧 拉 又 证 明 了 P＝ 31 的 结 论 是 对 的

虽然，卡塔尔迪的六个结果“阵亡”了一半，但考虑到他是用 手工计算取得结论的，而费尔马和欧拉则是使用了在他们那时最先 进的数学知识，避免了许多复杂的计算和因此可能造成的错误，因 此我们仍然要对卡塔尔迪致敬。他也由此光荣地占据了第六个和第 七个发现者之位，在他之前的，都是无名氏。 卡塔尔迪的成功，说明了整理和预测是正确道路。继他之后， 集研究成果大成的，是17世纪法国著名的数学家和修道士马林·梅 森(Marin Mersenne,.1588-1648)。 梅森热心于宗教，但更喜爱数学；他是一个交往广泛、热情诚 挚的人，更是一座“科学信息交换站”。为什么呢？那时候，学术刊 物、国际会议甚至科研机构都还没有诞生。“及时雨”般的梅森是欧 洲众多科学家之间联系的桥梁，大家把研究成果寄给他，然后再由 他转告给更多的人。费马、笛卡尔等数学家每周在他家聚会，讨论 问题，就这样慢慢形成的“梅森学院”，后来有了一个更响亮的名字 一一法兰西科学院。 1644年，梅森在欧几里得、费马等人的有关研究的基础上对2" 一1作了大量的计算、验证工作，并于1644年在他的《物理数学随 感》一书中断言：对于P=2、3、5、7、13、17、19、31、67、127、 257时，2”-1是素数：而对于P等于其他所有小于257的数时，2” -1是合数。这里前7个数（即2,3,5,7,13,17和19）是在前 人的工作中已经证实的部分。而后面的4个数（即31,67,127和

虽 然 ， 卡 塔 尔 迪 的 六 个 结 果 “ 阵 亡 ” 了 一 半 ， 但 考 虑 到 他 是 用 手 工 计 算 取 得 结 论 的 ， 而 费 尔 马 和 欧 拉 则 是 使 用 了 在 他 们 那 时 最 先 进 的 数 学 知 识 ， 避 免 了 许 多 复 杂 的 计 算 和 因 此 可 能 造 成 的 错 误 ， 因 此 我 们 仍 然 要 对 卡 塔 尔 迪 致 敬 。 他 也 由 此 光 荣 地 占 据 了 第 六 个 和 第 七 个 发 现 者 之 位 ， 在 他 之 前 的 ， 都 是 无 名 氏 。 卡 塔 尔 迪 的 成 功 ， 说 明 了 整 理 和 预 测 是 正 确 道 路 。 继 他 之 后 ， 集 研 究 成 果 大 成 的 ，是 17 世 纪 法 国 著 名 的 数 学 家 和 修 道 士 马 林 ·梅 森 （ Marin Mersenne,1588– 1648）。 梅 森 热 心 于 宗 教 ， 但 更 喜 爱 数 学 ； 他 是 一 个 交 往 广 泛 、 热 情 诚 挚 的 人 ，更 是 一 座“ 科 学 信 息 交 换 站 ”。为 什 么 呢 ？ 那 时 候 ，学 术 刊 物 、国 际 会 议 甚 至 科 研 机 构 都 还 没 有 诞 生 。“ 及 时 雨 ”般 的 梅 森 是 欧 洲 众 多 科 学 家 之 间 联 系 的 桥 梁 ， 大 家 把 研 究 成 果 寄 给 他 ， 然 后 再 由 他 转 告 给 更 多 的 人 。 费 马 、 笛 卡 尔 等 数 学 家 每 周 在 他 家 聚 会 ， 讨 论 问 题 ，就 这 样 慢 慢 形 成 的“ 梅 森 学 院 ”，后 来 有 了 一 个 更 响 亮 的 名 字 — — 法 兰 西 科 学 院 。 1644 年 ，梅 森 在 欧 几 里 得 、费 马 等 人 的 有 关 研 究 的 基 础 上 对 2 P － 1 作 了 大 量 的 计 算 、 验 证 工 作 ， 并 于 1644 年 在 他 的 《 物 理 数 学 随 感 》一 书 中 断 言 ：对 于 P＝ 2、3、5、7、13、17、19、31、67、127、 257 时 ，2 P－ 1 是 素 数 ；而 对 于 P 等 于 其 他 所 有 小 于 257 的数时，2 P － 1 是 合 数 。这 里 前 7 个 数（ 即 2，3，5，7，13，17 和 19）是 在 前 人 的 工 作 中 已 经 证 实 的 部 分 。 而 后 面 的 4 个数（即 31， 67， 127 和

257)属于被猜测的部分。不过，人们对他的断言深信不疑，连大数 学家莱布尼兹和哥德巴赫都认为它是对的。 梅森的工作极大地激发了人们研究2”一1型素数的热情，成为 素数研究的一个转折点和里程碑。为了纪念他，数学界就把这种数 称为“梅森数”，并以MP记之（其中M为梅森姓名的首字母），即 MP=2P一1。如果梅森数为素数，则称之为“梅森素数”（即2”-1型 素数)。 对梅森素数的验证，需要进行艰巨的计算，即使是“猜测”部分中 最小的M31-231-1=2147483647,也是一个10位数。而梅森自己则 承认：“一个人，使用一般的验证方法，要检验一个15位或20位的 数字是否为素数，即使终生的时间也是不够的。”年迈力衰的他四年 之后就去世了，最终并没有任何一个梅森素数的发现权归属于他， 但考虑到他已经享有了“冠名权”，就把荣誉分给那些在漫漫长途上 跋涉的发现者们吧！ 那些手扛肩挑的年代 手算笔录的时代，每前进一步，都显得格外艰难。1772年，在 卡塔尔迪提出近200年之后，瑞士数学家欧拉证明了M1确实是一 个素数，这是人们找到的第8个梅森素数，它共有10位数，堪称当 时世界上已知的最大素数，欧拉也因此成为第二个在发现者名单上 留名的人。让人惊叹的是，这是在他双目失明的情况下，靠心算完 成的。这种超人般的毅力与技巧让欧拉获得了“数学英雄”的美誉。 法国大数学家拉普拉斯(P.LaPlace)说的话，或许可以代表我们的 心声：“读读欧拉，他是我们每一个人的老师。” 100年后，法国数学家鲁卡斯提出了一个用来判别MP是否是素 数的重要定理一一鲁卡斯定理，这为梅森素数的研究提供了有力的 工具。I883年，数学家波佛辛(Pervushin)利用鲁卡斯定理证明了 M1也是素数一一这是梅森漏掉了的。梅森还漏掉另外两个素数： M89和M107,它们分别在1911年与1914年被数学家鲍尔斯(Powers) 发现

257）属 于 被 猜 测 的 部 分 。不 过 ，人 们 对 他 的 断 言 深 信 不 疑 ，连 大 数 学 家 莱 布 尼 兹 和 哥 德 巴 赫 都 认 为 它 是 对 的 。 梅 森 的 工 作 极 大 地 激 发 了 人 们 研 究 2 P－ 1 型 素 数 的 热 情 ， 成 为 素 数 研 究 的 一 个 转 折 点 和 里 程 碑 。 为 了 纪 念 他 ， 数 学 界 就 把 这 种 数 称 为 “ 梅 森 数 ”， 并 以 M P 记 之 （ 其 中 M 为 梅 森 姓 名 的 首 字 母 ）， 即 M P =2P－ 1。如 果 梅 森 数 为 素 数 ，则 称 之 为“ 梅 森 素 数 ”（ 即 2 P－ 1 型 素 数 ）。 对 梅 森 素 数 的 验 证 ， 需 要 进 行 艰 巨 的 计 算 ， 即 使 是 “ 猜 测 ” 部 分 中 最小的 M 3 1=23 1－ 1=2147483647， 也 是 一 个 10 位 数 。 而 梅 森 自 己 则 承 认 ：“ 一 个 人 ，使 用 一 般 的 验 证 方 法 ，要 检 验 一 个 15 位 或 20 位 的 数 字 是 否 为 素 数 ，即 使 终 生 的 时 间 也 是 不 够 的 。”年 迈 力 衰 的 他 四 年 之 后 就 去 世 了 ， 最 终 并 没 有 任 何 一 个 梅 森 素 数 的 发 现 权 归 属 于 他 ， 但 考 虑 到 他 已 经 享 有 了“ 冠 名 权 ”，就 把 荣 誉 分 给 那 些 在 漫 漫 长 途 上 跋 涉 的 发 现 者 们 吧 ！ 那 些 手 扛 肩 挑 的 年 代 手 算 笔 录 的 时 代 ， 每 前 进 一 步 ， 都 显 得 格 外 艰 难 。 1772 年，在 卡 塔 尔 迪 提 出 近 200 年 之 后 ， 瑞 士 数 学 家 欧 拉 证 明 了 M 3 1 确实是一 个 素 数 ，这 是 人 们 找 到 的 第 8 个 梅 森 素 数 ，它 共 有 10 位 数 ，堪 称 当 时 世 界 上 已 知 的 最 大 素 数 ， 欧 拉 也 因 此 成 为 第 二 个 在 发 现 者 名 单 上 留 名 的 人 。 让 人 惊 叹 的 是 ， 这 是 在 他 双 目 失 明 的 情 况 下 ， 靠 心 算 完 成 的 。这 种 超 人 般 的 毅 力 与 技 巧 让 欧 拉 获 得 了“ 数 学 英 雄 ”的 美 誉 。 法 国 大 数 学 家 拉 普 拉 斯 （ P.LaPlace） 说 的 话 ， 或 许 可 以 代 表 我 们 的 心 声 ：“ 读 读 欧 拉 ， 他 是 我 们 每 一 个 人 的 老 师 。” 100 年 后 ，法 国 数 学 家 鲁 卡 斯 提 出 了 一 个 用 来 判 别 M P 是 否 是 素 数 的 重 要 定 理 — — 鲁 卡 斯 定 理 ， 这 为 梅 森 素 数 的 研 究 提 供 了 有 力 的 工具。1883 年 ， 数 学 家 波 佛 辛（ Pervushin）利 用 鲁 卡 斯 定 理 证 明 了 M 6 1 也 是 素 数 — — 这 是 梅 森 漏 掉 了 的 。 梅 森 还 漏 掉 另 外 两 个 素 数 ： M 8 9 和 M 1 0 7，它 们 分 别 在 1911 年 与 1914 年 被 数 学 家 鲍 尔 斯（ Powers） 发现

还记得梅森预测的四个素数吗？其中M31己经为欧拉证明，M27 则在鲁卡斯提出定理时顺带证明，虽然中间漏掉了3个，但至少还 有另外两个：M67和M257是不是素数呢… M?的证明又是一个精彩的故事。 1903年，数学家柯尔在美国数学学会的大会上作了一个报告。 他先是专注地在黑板上算出267-1，接着又算出193707721× 761838257287,两个算式结果完全相同！换句话说，他成功地把267 一1分解为两个素数相乘的形式，从而证明了M7是个合数。 报告中，他一言未发，却赢得了现场听众的起立鼓掌，更成了 数学史上的佳话。阅读这段历史，我们懂得了什么叫做“事实胜于 雄辩”。当时，记者好奇地问他是怎样得到这么精彩的发现的，柯尔 回答“三年里的全部星期天”。他后来当选为美国数学协会的会长， 去世后，该协会专门设立了“柯尔奖”，用于奖励作出杰出贡献的数 学家。 1922年，数学家克莱契克验证了M257并不是素数，而是合数（但 他没有给出这一合数的因子，直到20世纪80年代人们才知道它有 3个素因子)。 于是乎，梅森的四个猜测获得了两正确、三遗漏和两错误的成 绩，但这无损于他的光荣。 直到1947年，对于P≤257的梅森素数MP的正确结果才被确定， 也就是当P=2,3,5,7,13,17,19,31,61,89,107和127时， MP是素数。现在这个表已经被反复验证，一定不会有错误了。 我们看到，在手工计算的时代，人们一共找到了12个梅森素数。 计算机！计算机！ 1930年，美国数学家雷默改进了鲁卡斯的工作，给出了一个新 的测试方法，即鲁卡斯一雷默方法。很快地，计算机时代到来了， 这一方法发挥了重要的作用。1952年，数学家鲁滨逊(Robinson) 等人将鲁卡斯一雷默方法编译成计算机程序，使用SWAC型计算机 在短短几小时之内，就发现了第13个、第14个，并在当年总共找

还 记 得 梅 森 预 测 的 四 个 素 数 吗 ？ 其 中 M 3 1 已 经 为 欧 拉 证 明 ，M 127 则 在 鲁 卡 斯 提 出 定 理 时 顺 带 证 明 ， 虽 然 中 间 漏 掉 了 3 个 ， 但 至 少 还 有 另 外 两 个 ： M 6 7 和 M 257 是 不 是 素 数 呢 „ „ M 6 7 的 证 明 又 是 一 个 精 彩 的 故 事 。 1903 年 ， 数 学 家 柯 尔 在 美 国 数 学 学 会 的 大 会 上 作 了 一 个 报 告 。 他 先 是 专 注 地 在 黑 板 上 算 出 2 6 7 － 1 ， 接 着 又 算 出 193707721 × 761838257287，两 个 算 式 结 果 完 全 相 同 ！换 句 话 说 ，他 成 功 地 把 2 6 7 － 1 分 解 为 两 个 素 数 相 乘 的 形 式 ， 从 而 证 明 了 M 6 7 是 个 合 数 。 报 告 中 ， 他 一 言 未 发 ， 却 赢 得 了 现 场 听 众 的 起 立 鼓 掌 ， 更 成 了 数 学 史 上 的 佳 话 。 阅 读 这 段 历 史 ， 我 们 懂 得 了 什 么 叫 做 “ 事 实 胜 于 雄 辩 ”。当 时 ，记 者 好 奇 地 问 他 是 怎 样 得 到 这 么 精 彩 的 发 现 的 ，柯 尔 回 答 “ 三 年 里 的 全 部 星 期 天 ”。 他 后 来 当 选 为 美 国 数 学 协 会 的 会 长 ， 去 世 后 ，该 协 会 专 门 设 立 了“ 柯 尔 奖 ”，用 于 奖 励 作 出 杰 出 贡 献 的 数 学家。 1922 年 ，数 学 家 克 莱 契 克 验 证 了 M 257 并 不 是 素 数 ，而 是 合 数（ 但 他 没 有 给 出 这 一 合 数 的 因 子 ， 直 到 20 世 纪 80 年 代 人 们 才 知 道 它 有 3 个 素 因 子 ）。 于 是 乎 ， 梅 森 的 四 个 猜 测 获 得 了 两 正 确 、 三 遗 漏 和 两 错 误 的 成 绩 ， 但 这 无 损 于 他 的 光 荣 。 直 到 1947 年 ，对 于 P≤ 257 的 梅 森 素 数 M P 的 正 确 结 果 才 被 确 定 ， 也就是当 P=2，3，5，7，13，17，19，31，61，89，107 和 127 时 ， M P 是 素 数 。 现 在 这 个 表 已 经 被 反 复 验 证 ， 一 定 不 会 有 错 误 了 。 我 们 看 到 ，在 手 工 计 算 的 时 代 ，人 们 一 共 找 到 了 12 个 梅 森 素 数 。 计 算 机 ！ 计 算 机 ！ 1930 年 ， 美 国 数 学 家 雷 默 改 进 了 鲁 卡 斯 的 工 作 ， 给 出 了 一 个 新 的 测 试 方 法 ， 即 鲁 卡 斯 － 雷 默 方 法 。 很 快 地 ， 计 算 机 时 代 到 来 了 ， 这 一 方 法 发 挥 了 重 要 的 作 用 。 1952 年 ， 数 学 家 鲁 滨 逊 （ Robinson） 等 人 将 鲁 卡 斯 － 雷 默 方 法 编 译 成 计 算 机 程 序 ， 使 用 SWAC 型计算机 在 短 短 几 小 时 之 内 ， 就 发 现 了 第 13 个 、 第 14 个 ， 并 在 当 年 总 共 找

到了5个梅森素数：M521、M607、M279、M2203和M2281 其后，M21”在1957年被黎塞尔(Riesel1)证明是素数：M253 和M423在1961年被赫维兹(Hurwitz)证明是素数。 1963年，美国数学家吉里斯(Gillies)证明M9689和M941是素 数，这己经是第21和22个梅森素数。1963年9月6日晚上8点， 当吉里斯通过大型计算机找到第23个梅森素数M1213时，美国广播 公司(ABC)中断了正常的节目播放，第一时间发布了这一重要消 息。发现这一素数的美国伊利诺伊大学数学系全体师生更是激动地 把所有从系里发出的信件都敲上了“21213-1是个素数”的邮戳。 11213 IS PRIME ≈00 1971年3月4日晚，美国哥伦比亚广播公司(CBS)中断了正 常节目播放，发布了布莱恩特·塔克曼(Bryant Tuckerman)使用 IBM360一91型计算机找到新的梅森素数M937的消息。而到1978 年10月，世界几乎所有的大新闻机构（包括我国的新华社）都报道 了以下消息：两名年仅18岁的美国高中生诺尔(No)和尼科尔 (Nickel)使用CYBER174型计算机找到了第25个梅森素数： M21701。 超级计算机的引入加快了梅森素数的寻找脚步，但随着素数P 值的增大，每一个梅森素数的产生都更加艰难，各国科学家及业余 研究者们之间的竞争变得越来越激烈。在1979年2月23日，当美 国克雷研究公司的计算机专家史洛温斯基和纳尔逊正兴致冲冲地宣 布他们找到第26个梅森数M23209时，有人浇来一盆冷水：两星期 前美国加州的高中生诺尔就已经给出了同样结果。心有不甘的他们 又花了一个半月的时间“卧薪尝胆”，使用Cray一1型计算机找到了 第27个梅森素数M44497,这件事成了当时不少报纸的头版新闻

到 了 5 个 梅 森 素 数 ： M 521、 M 6 0 7、 M 1 2 7 9、 M 2 2 0 3 和 M 2 2 8 1。 其 后 ， M 3217 在 1957 年 被 黎 塞 尔 （ Riesel） 证 明 是 素 数 ； M 4253 和 M 4 4 2 3 在 1961 年 被 赫 维 兹 （ Hurwitz） 证 明 是 素 数 。 1963 年 ，美 国 数 学 家 吉 里 斯（ Gillies）证 明 M 9689 和 M 9 9 4 1 是 素 数 ， 这 已 经 是 第 21 和 22 个 梅 森 素 数 。 1963 年 9 月 6 日晚上 8 点 ， 当 吉 里 斯 通 过 大 型 计 算 机 找 到 第 23 个 梅 森 素 数 M 11 2 1 3 时 ，美 国 广 播 公 司 （ ABC） 中 断 了 正 常 的 节 目 播 放 ， 第 一 时 间 发 布 了 这 一 重 要 消 息 。 发 现 这 一 素 数 的 美 国 伊 利 诺 伊 大 学 数 学 系 全 体 师 生 更 是 激 动 地 把 所 有 从 系 里 发 出 的 信 件 都 敲 上 了 “ 2 11 2 1 3－ 1 是 个 素 数 ” 的 邮 戳 。 1971 年 3 月 4 日 晚 ， 美 国 哥 伦 比 亚 广 播 公 司 （ CBS） 中 断 了 正 常 节 目 播 放 ， 发 布 了 布 萊 恩 特 ·塔 克 曼 （ Bryant Tuckerman）使用 IBM360－ 91 型 计 算 机 找 到 新 的 梅 森 素 数 M 1 9 9 3 7 的消息。而到 1978 年 10 月 ，世 界 几 乎 所 有 的 大 新 闻 机 构（ 包 括 我 国 的 新 华 社 ）都 报 道 了 以 下 消 息 ： 两 名 年 仅 18 岁 的 美 国 高 中 生 诺 尔 （ Noll） 和 尼 科 尔 （ Nickel） 使 用 CYBER174 型 计 算 机 找 到 了 第 25 个 梅 森 素 数 ： M 2 1 7 0 1。 超 级 计 算 机 的 引 入 加 快 了 梅 森 素 数 的 寻 找 脚 步 ， 但 随 着 素 数 P 值 的 增 大 ， 每 一 个 梅 森 素 数 的 产 生 都 更 加 艰 难 ， 各 国 科 学 家 及 业 余 研 究 者 们 之 间 的 竞 争 变 得 越 来 越 激 烈 。 在 1979 年 2 月 23 日 ， 当 美 国 克 雷 研 究 公 司 的 计 算 机 专 家 史 洛 温 斯 基 和 纳 尔 逊 正 兴 致 冲 冲 地 宣 布 他 们 找 到 第 26 个 梅 森 数 M23209 时 ，有 人 浇 来 一 盆 冷 水 ：两 星 期 前 美 国 加 州 的 高 中 生 诺 尔 就 已 经 给 出 了 同 样 结 果 。 心 有 不 甘 的 他 们 又 花 了 一 个 半 月 的 时 间“ 卧 薪 尝 胆 ”，使 用 Cray－ 1 型 计 算 机 找 到 了 第 27 个梅森素数 M44497， 这 件 事 成 了 当 时 不 少 报 纸 的 头 版 新 闻

为了与美国人较量，英国的哈威尔实验室也专门成立了一个研 究小组来寻找更大的梅森素数。他们用了两年时间，花了12万英镑 的经费，于1992年3月25日找到了新的梅森素数M756839。但到了 1994年1月14日，史洛温斯基等人为美国再次夺回发现“已知最 大素数”的桂冠一一这一梅森素数是M594。史洛温斯基本人一共 发现了7个梅森素数，他因此被人们称为“素数大王”。 数学研究的深入更重于计算能力的提升，在搜寻梅森素数的同 时，对梅森素数的分布规律的研究也在进行着。英、法、印、美、 德等国的数学家都曾分别给出过关于梅森素数分布规律的猜测，但 这些猜测都以近似表达式给出，而与实际情况的接近程度均难如人 意。中国数学家和语言学家周海中则是这方面研究的领先者，他运 用联系观察法和不完全归纳法，于1992年首先给出了梅森素数分布 的精确表达式。著名的《科学美国人》杂志有一篇文章指出：这 成果为人们探究梅森素数提供了方便，是素数研究的一项重大突破。 后来这项重要成果被国际上命名为“周氏猜测”。 伴随数学理论的改善，为了寻找梅森素数而使用的计算机也越 来越强大，包括了著名的IBM360型计算机，和超级计算机Cray系 列。1996年发现的M1257787是迄今为止最后一个由超级计算机发现 的梅森素数，数学家使用了CrayT94,这也是人类发现的第34个梅 森素数。 梅森素数的探寻之旅似乎正变得离普通人越来越远，直到 GIMPS时代的到来… 草根英雄，人人参与 网格(Grid)这一崭新技术的出现使梅森素数的搜寻如虎添翼，也 使它重新走到了“人人参与”的大众时代。1996年初，美国数学家 和程序设计师沃特曼(G.Woltman)编制了一个梅森素数的计算程序， 并把它放在网页上供数学家和数学爱好者免费使用，这就是闻名世 界的“因特网梅森素数大搜寻”(GIMPS)项目，是全世界第一个基 于互联网的分布式计算项目

为 了 与 美 国 人 较 量 ， 英 国 的 哈 威 尔 实 验 室 也 专 门 成 立 了 一 个 研 究 小 组 来 寻 找 更 大 的 梅 森 素 数 。他 们 用 了 两 年 时 间 ，花 了 12 万英镑 的 经 费 ， 于 1992 年 3 月 25 日 找 到 了 新 的 梅 森 素 数 M 7 5 6 8 3 9。但到了 1994 年 1 月 14 日 ， 史 洛 温 斯 基 等 人 为 美 国 再 次 夺 回 发 现 “ 已 知 最 大 素 数 ” 的 桂 冠 — — 这 一 梅 森 素 数 是 M 8 5 9 4 3 3。 史 洛 温 斯 基 本 人 一 共 发现了 7 个 梅 森 素 数 ， 他 因 此 被 人 们 称 为 “ 素 数 大 王 ”。 数 学 研 究 的 深 入 更 重 于 计 算 能 力 的 提 升 ， 在 搜 寻 梅 森 素 数 的 同 时 ， 对 梅 森 素 数 的 分 布 规 律 的 研 究 也 在 进 行 着 。 英 、 法 、 印 、 美 、 德 等 国 的 数 学 家 都 曾 分 别 给 出 过 关 于 梅 森 素 数 分 布 规 律 的 猜 测 ， 但 这 些 猜 测 都 以 近 似 表 达 式 给 出 ， 而 与 实 际 情 况 的 接 近 程 度 均 难 如 人 意 。 中 国 数 学 家 和 语 言 学 家 周 海 中 则 是 这 方 面 研 究 的 领 先 者 ， 他 运 用 联 系 观 察 法 和 不 完 全 归 纳 法 ，于 1992 年 首 先 给 出 了 梅 森 素 数 分 布 的 精 确 表 达 式 。 著 名 的 《 科 学 美 国 人 》 杂 志 有 一 篇 文 章 指 出 ： 这 一 成 果 为 人 们 探 究 梅 森 素 数 提 供 了 方 便 ，是 素 数 研 究 的 一 项 重 大 突 破 。 后 来 这 项 重 要 成 果 被 国 际 上 命 名 为 “ 周 氏 猜 测 ”。 伴 随 数 学 理 论 的 改 善 ， 为 了 寻 找 梅 森 素 数 而 使 用 的 计 算 机 也 越 来 越 强 大 ，包 括 了 著 名 的 IBM360 型 计 算 机 ， 和 超 级 计 算 机 Cray 系 列 。 1996 年 发 现 的 M 1 2 5 7 7 8 7 是 迄 今 为 止 最 后 一 个 由 超 级 计 算 机 发 现 的 梅 森 素 数 ，数 学 家 使 用 了 Cray T94，这 也 是 人 类 发 现 的 第 34 个 梅 森素数。 梅 森 素 数 的 探 寻 之 旅 似 乎 正 变 得 离 普 通 人 越 来 越 远 ， 直 到 GIMP S 时 代 的 到 来 „ „ 草 根 英 雄 ， 人 人 参 与 网 格 (Grid)这 一 崭 新 技 术 的 出 现 使 梅 森 素 数 的 搜 寻 如 虎 添 翼 ，也 使 它 重 新 走 到 了 “ 人 人 参 与 ” 的 大 众 时 代 。 1996 年 初 ， 美 国 数 学 家 和 程 序 设 计 师 沃 特 曼 (G.Woltman)编 制 了 一 个 梅 森 素 数 的 计 算 程 序 ， 并 把 它 放 在 网 页 上 供 数 学 家 和 数 学 爱 好 者 免 费 使 用 ， 这 就 是 闻 名 世 界 的“ 因 特 网 梅 森 素 数 大 搜 寻 ”（ GIMPS）项 目 ，是 全 世 界 第 一 个 基 于 互 联 网 的 分 布 式 计 算 项 目

该项目利用大量普通计算机的闲置时间来获得相当于超级计算 机的运算能力，只要你去GIMPS的主页下载为一个名为Prime95的 免费程序，就可以立即参加GIMPS项目，一起踏上持续了千年的梅 森素数探寻之旅。 12年来，人们通过GIMPS项目找到了12个梅森素数，其发现 者来自美国、英国、法国、德国和加拿大。目前，世界上有160多 个国家和地区近16万人参加了这一项目，并动用了30多万台计算 机联网来进行网格计算。该项目的计算能力已超过当今世界上任何 一台最先进的超级矢量计算机的计算能力，运算速度超过每秒350 万亿次！ 为了激励人们寻找梅森素数，1999年3月，设在美国的电子新 领域基金会(EFF)向全世界宣布了为通过GIMPS项目来探寻梅森 素数而设立的奖金。它规定向第一个找到超过一百万位的素数的个 人或机构颁发五万美元的奖金。后面的奖金依次为：超过一千万位 十万美元：超过一亿位，十五万美元：超过十亿位，二十五万美元。 1999年6月1日，住在美国密歇根州普利茅茨的那扬·哈吉拉 特瓦拉(Nayan Hajratwala)先生找到了第38个梅森素数：26972s9 一1，这也是我们知道的第一个位数超过一百万位的素数。如果把它 写下来的话，共有两百零九万八千九百六十位数字。因此，哈吉拉 特瓦拉先生获得了五万美元的奖励。而他所做的，就是从互联网上 下载了一个程序，这个程序在他不使用他的奔腾Ⅱ350型计算机时悄 悄地运行。在经过111天的计算后，这个素数被发现了。 听起来非常诱人，但你也要知道，通过参加GIMPS计划来获得 奖金的希望是相当小的。哈吉拉特瓦拉使用的计算机是当时21000 台计算机中的一台。每一个参与者都在验证分配给他的不同梅森数 当然其中绝大多数都不是素数一一只有大约三万分之一的可能性碰 到一个素数。所以，绝大多数研究者参与该项目并不是为了金钱， 而是出于乐趣、荣誉感和探索精神。 成功者就在眼前，2008年8月23日，美国加州大学洛杉矶分

该 项 目 利 用 大 量 普 通 计 算 机 的 闲 置 时 间 来 获 得 相 当 于 超 级 计 算 机 的 运 算 能 力 ，只 要 你 去 GIMPS 的 主 页 下 载 为 一 个 名 为 Prime95 的 免 费 程 序 ，就 可 以 立 即 参 加 GIMPS 项 目 ，一 起 踏 上 持 续 了 千 年 的 梅 森 素 数 探 寻 之 旅 。 12 年 来 ， 人 们 通 过 GIMPS 项 目 找 到 了 12 个 梅 森 素 数 ， 其 发 现 者 来 自 美 国 、 英 国 、 法 国 、 德 国 和 加 拿 大 。 目 前 ， 世 界 上 有 160 多 个 国 家 和 地 区 近 16 万 人 参 加 了 这 一 项 目 ， 并 动 用 了 30 多 万 台 计 算 机 联 网 来 进 行 网 格 计 算 。 该 项 目 的 计 算 能 力 已 超 过 当 今 世 界 上 任 何 一 台 最 先 进 的 超 级 矢 量 计 算 机 的 计 算 能 力 ， 运 算 速 度 超 过 每 秒 350 万亿次！ 为 了 激 励 人 们 寻 找 梅 森 素 数 ， 1999 年 3 月 ， 设 在 美 国 的 电 子 新 领 域 基 金 会 （ EFF） 向 全 世 界 宣 布 了 为 通 过 GIMPS 项 目 来 探 寻 梅 森 素 数 而 设 立 的 奖 金 。 它 规 定 向 第 一 个 找 到 超 过 一 百 万 位 的 素 数 的 个 人 或 机 构 颁 发 五 万 美 元 的 奖 金 。后 面 的 奖 金 依 次 为 ：超 过 一 千 万 位 ， 十 万 美 元 ；超 过 一 亿 位 ，十 五 万 美 元 ；超 过 十 亿 位 ，二 十 五 万 美 元 。 1999 年 6 月 1 日 ， 住 在 美 国 密 歇 根 州 普 利 茅 茨 的 那 扬 ·哈 吉 拉 特瓦拉（ Nayan Hajratwala） 先 生 找 到 了 第 38 个 梅 森 素 数 ： 2 6 9 7 2 5 9 3 － 1，这 也 是 我 们 知 道 的 第 一 个 位 数 超 过 一 百 万 位 的 素 数 。如 果 把 它 写 下 来 的 话 ， 共 有 两 百 零 九 万 八 千 九 百 六 十 位 数 字 。 因 此 ， 哈 吉 拉 特 瓦 拉 先 生 获 得 了 五 万 美 元 的 奖 励 。 而 他 所 做 的 ， 就 是 从 互 联 网 上 下 载 了 一 个 程 序 ，这 个 程 序 在 他 不 使 用 他 的 奔 腾 II350 型 计 算 机 时 悄 悄 地 运 行 。 在 经 过 111 天 的 计 算 后 ， 这 个 素 数 被 发 现 了 。 听 起 来 非 常 诱 人 ，但 你 也 要 知 道 ，通 过 参 加 GIMPS 计 划 来 获 得 奖 金 的 希 望 是 相 当 小 的 。 哈 吉 拉 特 瓦 拉 使 用 的 计 算 机 是 当 时 21000 台 计 算 机 中 的 一 台 。每 一 个 参 与 者 都 在 验 证 分 配 给 他 的 不 同 梅 森 数 ， 当 然 其 中 绝 大 多 数 都 不 是 素 数 — — 只 有 大 约 三 万 分 之 一 的 可 能 性 碰 到 一 个 素 数 。 所 以 ， 绝 大 多 数 研 究 者 参 与 该 项 目 并 不 是 为 了 金 钱 ， 而 是 出 于 乐 趣 、 荣 誉 感 和 探 索 精 神 。 成 功 者 就 在 眼 前 ， 2008 年 8 月 23 日 ， 美 国 加 州 大 学 洛 杉 矶 分

校数学系计算中心的雇员史密斯，通过GMPS项目发现了第46个 梅森素数24312609-1，这个发现被著名的美国《时代》周刊评为“2008 年度50项最佳发明”之一。该素数是目前己知的最大素数，它有 12978189位数，如果用普通字号将这个巨数连续写下来，其长度可 超过50公里！由于史密斯发现的梅森素数己超过1000万位，他将 有资格获得EF℉颁发的10万美元大奖。虽然说史密斯是私自利用中 心内的75台计算机参加GIMPS的，但由于为学校争了光，他受到 了校方的表彰。 但在你心动之前，不妨也听听另一个人的故事。美国一家电话 公司发现计算机经常出错，本来只需要5秒钟就可以接通的电话号 码，需要5分钟才能接通。最终查出原来是雇员福雷斯特偷偷地使 用公司内的2585台计算机参加GMPS,福雷斯特承认了自己“被 GIMPS项目引诱”，他最后被公司解雇，并被罚款一万美元，这只能 说是工作与私事没有分开，令人叹息。 梅森素数的魅力何在 素数的研究曾经在人类很长的历史时期没有实际用处，直到二 次世界大战之后，才在密码学中得到了重要应用。对于梅森素数的 寻找之旅已经历经千年，人们一共才找到46个梅森素数，在数学家 的眼里，它们的价值远胜于钻石，而对它的研究，促进了计算技术、 程序设计技术、密码技术、分布式计算技术的发展。让我们谨记梅 森素数最早的研究者欧几里得的教海，当一个人问他“几何学有什 么用”的时候，他对待者说“给他拿三个硬币，他想从几何学中得 到好处”。 不是三枚硬币，也不是百万美元，激励着人类不断地向前探寻 的，是好奇心、求知欲和荣誉感

校 数 学 系 计 算 中 心 的 雇 员 史 密 斯 ， 通 过 GIMPS 项 目 发 现 了 第 46 个 梅森素数 2 4 3 11 2 6 0 9－ 1，这 个 发 现 被 著 名 的 美 国《 时 代 》周 刊 评 为“ 2008 年 度 50 项 最 佳 发 明 ” 之 一 。 该 素 数 是 目 前 已 知 的 最 大 素 数 ， 它 有 12978189 位 数 ， 如 果 用 普 通 字 号 将 这 个 巨 数 连 续 写 下 来 ， 其 长 度 可 超 过 50 公 里 ！ 由 于 史 密 斯 发 现 的 梅 森 素 数 已 超 过 1000 万 位 ， 他 将 有资格获得 EFF 颁 发 的 10 万 美 元 大 奖 。虽 然 说 史 密 斯 是 私 自 利 用 中 心内的 75 台 计 算 机 参 加 GIMPS 的 ， 但 由 于 为 学 校 争 了 光 ， 他 受 到 了 校 方 的 表 彰 。 但 在 你 心 动 之 前 ， 不 妨 也 听 听 另 一 个 人 的 故 事 。 美 国 一 家 电 话 公 司 发 现 计 算 机 经 常 出 错 ， 本 来 只 需 要 5 秒 钟 就 可 以 接 通 的 电 话 号 码 ， 需 要 5 分 钟 才 能 接 通 。 最 终 查 出 原 来 是 雇 员 福 雷 斯 特 偷 偷 地 使 用 公 司 内 的 2585 台 计 算 机 参 加 GIMPS， 福 雷 斯 特 承 认 了 自 己 “ 被 GIMPS 项 目 引 诱 ”，他 最 后 被 公 司 解 雇 ，并 被 罚 款 一 万 美 元 ，这 只 能 说 是 工 作 与 私 事 没 有 分 开 ， 令 人 叹 息 。 梅 森 素 数 的 魅 力 何 在 素 数 的 研 究 曾 经 在 人 类 很 长 的 历 史 时 期 没 有 实 际 用 处 ， 直 到 二 次 世 界 大 战 之 后 ， 才 在 密 码 学 中 得 到 了 重 要 应 用 。 对 于 梅 森 素 数 的 寻 找 之 旅 已 经 历 经 千 年 ，人 们 一 共 才 找 到 46 个 梅 森 素 数 ，在 数 学 家 的 眼 里 ，它 们 的 价 值 远 胜 于 钻 石 ，而 对 它 的 研 究 ，促 进 了 计 算 技 术 、 程 序 设 计 技 术 、 密 码 技 术 、 分 布 式 计 算 技 术 的 发 展 。 让 我 们 谨 记 梅 森 素 数 最 早 的 研 究 者 欧 几 里 得 的 教 诲 ， 当 一 个 人 问 他 “ 几 何 学 有 什 么 用 ” 的 时 候 ， 他 对 侍 者 说 “ 给 他 拿 三 个 硬 币 ， 他 想 从 几 何 学 中 得 到 好 处 ”。 不 是 三 枚 硬 币 ， 也 不 是 百 万 美 元 ， 激 励 着 人 类 不 断 地 向 前 探 寻 的 ， 是 好 奇 心 、 求 知 欲 和 荣 誉 感