●例9: 2 2 X 第n-1行(-1)倍加到第n行上,第(n-2) 行(-1)倍加到第n-1行上,以此类推, 直到第1行(-1)倍加到第2行上
例9: 3 1 2 3 4 1 1 2 3 1 1 1 2 2 1 1 3 1 2 1 1 n n x n D x x n xxx xxx − − = − ⚫ 第n-1行(-1)倍加到第n行上,第(n-2) 行(-1)倍加到第n-1行上,以此类推, 直到第1行(-1)倍加到第2行上
1 2 3 4 0 0 x-1 : 0 -1 -1 -1 -X 0 0 0 x-1 -1 -1 X- - 0 0 0 x-1-1 x-1 -x 0 0 x-1 按第一列展开
3 1 2 3 4 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 n x D x x − − − − − − − − = − − − − − 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 x x x − − − − − − − − − − − − − 按第一列展开 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 1 x x x x x x − − − − − − −
1)-1x-2 ● 有时直接采用性质和展开定理计算 不方便可采用技巧便于计算
有时直接采用性质和展开定理计算 不方便 可采用技巧便于计算。 1 2 ( 1)n n x − − −
●例10: 加边法) 1+d2 第、行(-1)倍 加到各行上去 1+a 1 0 1+a 0 0 1+a2 1 : 0
例10:(加边法) 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n n a a D a + + = + 1 2 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 n a a a + = + + 1 2 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 n a a a − − − 第一行(-1)倍 加到各行上去
第2列、第3列--第n列, 依次乘 ar az An 后加到第1列上去。 ,111 1+ a 0 0 0 an = aa…a(1+1〉 1
后加到第1列上去。 第2列、第3列 - - - 第n列, 依次乘 1 2 1 1 1 , a a an 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 n n a a a a a a + + = 1 2 1 1 (1 ) n n i i a a a = a = +
例11:证明 a+B + a-B D 0 &-B 1a+
例11:证明 1 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 n n Dn + + + + − = = + − +
●证: 当n=1时 D=a+B= 2- 结论成立 a-B 当n=2时, a+B aB D =(C+B)2-c3=a2+cB+B a+B a-B 结论成立 a-B 假设当nsk时结论成立,证n=k+1时亦成立
证:当n=1时, 2 2 D1 − = + = − 结论成立. 当n=2时, 2 2 2 2 ( ) 1 D + = = + − = + + + 3 3 − = − 结论成立. 假设当n≤k时结论成立,证n=k+1时亦成立
a+B + B 0 0 按第一列展开 1 a+B aB 0 (a+)D 0 a+B : 按第一行展开 a+B (a+B)D-aBD
1 0 1 0 0 1 0 1 Dk + + + = + + 0 1 0 ( ) 0 1 0 Dk + + − + + 按第一列展开 按第一行展开 1 ( ) + − D D k k−
(a+B)(a-B)-aB(a -B) Q-B a+Ba-aBk-B2-aB+ a-B ak12-Bk a-B 所以当n=k+1时结论成立,由此证得: a+B 0β 0 0 a+5 aB D Q-B
1 1 ( )( ) ( ) k k k k + + + − − − − k k k k k k 2 1 1 2 1 1 + + + + + + + − − − + − k k 2 2 + + − − 所以当n=k+1时结论成立,由此证得: 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 n n Dn + + + + − = = − +
●例12:求解方程组 2x1-X2+3x3=1 4x1+2x2+5x3=4 2x1+2x3=6 解:因为系数行列式 2-13 D= 425 =8-10-12+8=-6 202 所以,由克拉默法则知,方程组有唯一解 -1 3 D 4 2 5 三 4-30-36+8=-54 6 0 2
例12:求解方程组 1 2 3 1 2 3 1 3 2 3 1 4 2 5 4 2 2 6 x x x x x x x x − + = + + = + = 解:因为系数行列式 2 1 3 4 2 5 8 10 12 8 6 2 0 2 D − = = − − + = − 所以,由克拉默法则知,方程组有唯一解 1 1 1 3 4 2 5 4 30 36 8 54 6 0 2 D − = = − − + = −