吉林大学：《线性代数》课程教学资源（PPT课件）第三章 矩阵的初等变换与线性方程组 24-3-2 §2 矩阵的秩

因此D≠0，从而R(B)≥ ri+kri 当AB,分三种情况讨论： ①D中不含有第行； ②D,中同时含有第行和第j行； ③D中含有第行，但不含有第j行 对①和②两种情况，显然B中与D对应的子 式D,=D≠0，故R(B)≥r:

因此 Dr  0 ，从而Ｒ（Ｂ）≥ｒ 当 ，分三种情况讨论： ①Ｄｒ中不含有第 i行; ②Ｄｒ中同时含有第 i行和第 j 行; ③Ｄｒ中含有第 i行，但不含有第 j 行. 对①和 ②两种情况，显然Ｂ 中与Ｄｒ对应的子 式 Dr = Dr  0 ，故Ｒ（Ｂ）≥ｒ； ~ i j r kr A B +

对于③，由 历- +kr,=D,+kD. 若D≠0，则因D, 中不含有第行，可知A中 有不含第行的r非零子式，从而R(B)≥r;若 D,=0,则D=D≠0，故也有R(B)≥r

对于③，由 r i j i j Dr kDr D = r + k r = r + k r = +       若  0 , Dr Dr = 0 则因 Dr 中不含有第 i行，可知Ａ中 有不含第 i行的ｒ阶非零子式，从而Ｒ（Ｂ）≥ｒ；若 ,则Dr = Dr  0 ，故也有Ｒ（B）≥ｒ

以上证明了若A经过一次初等行变换为B,则 R(A)≤R(B),由于B亦可经过一次初等行变换 变为A.故也有R(B)≤R(A),因此R(A) R(B) 经过一次初等行变换矩阵的秩不变，故经过有限次 初等行变换时，矩阵的秩依然不变。 同理可证：A经过有限次初等列变换，变成矩阵B, 则有R(A)=R(B). 总之，若A经过有限次初等变换变为矩阵B,则有 R(A)=R(B)

以上证明了若Ａ经过一次初等行变换为Ｂ， 则 Ｒ（Ａ）≤Ｒ（Ｂ），由于Ｂ亦可经过一次初等行变换 变为Ａ．故也有Ｒ（Ｂ）≤Ｒ（Ａ）．因此Ｒ（Ａ）＝ Ｒ（Ｂ）。 经过一次初等行变换矩阵的秩不变，故经过有限次 初等行变换时，矩阵的秩依然不变。 同理可证：Ａ经过有限次初等列变换，变成矩阵Ｂ， 则有 Ｒ（Ａ）＝Ｒ（Ｂ）． 总之，若Ａ经过有限次初等变换变为矩阵Ｂ，则有 Ｒ（Ａ）＝Ｒ（Ｂ）．

如在例1中，我们已经计算 023 的秩为2，将A施行初等变换得 显然，R(B)=2,故RA)=R(B) 通过上面定理的证明和上面秩的计算，以后求矩阵的 秩，只需将矩阵用初等变换变成阶梯形矩阵即可

如在例1中，我们已经计算 的秩为2，将A施行初等变换得 1 2 3 0 1 11 0 1 11 A     − −       − − 1 2 3 0 1 11 0 0 0 B     − − =       显然，R(B) = 2 , 故 R(A) = R(B) 。 通过上面定理的证明和上面秩的计算，以后求矩阵的 秩，只需将矩阵用初等变换变成阶梯形矩阵即可。 1 2 3 2 3 5 4 7 1     = −       A

三、求秩。 ●例2设 73 2 0 5 3 -2 3 A= 2 求矩阵A的秩.并求A的一个最高阶的非零子式

三、求秩． ⚫ 例２ 设               − − − − − = 1 6 4 1 4 2 0 1 5 3 3 2 3 6 1 3 2 0 5 0 A 求矩阵Ａ的秩．并求Ａ的一个最高阶的非零子式

解先求A的秩。故对A作初等行变换，变成行阶梯 形矩阵：回 2 3 -2 3 2 2 3 2 12 -3 -16

解 先求Ａ的秩。故对Ａ作初等行变换，变成行阶梯 形矩阵：               − − − − − = 1 6 4 1 4 2 0 1 5 3 3 2 3 6 1 3 2 0 5 0 A               − − − − − →  3 2 0 5 0 2 0 1 5 3 3 2 3 6 1 1 6 4 1 4 1 4 r r               − − − − − − − − → − − − 0 16 12 8 12 0 12 9 7 11 0 4 3 1 1 1 6 4 1 4 2 4 4 1 3 1 3 2 r r r r r r

-12 -16 r4- -8 -8 因为阶梯形矩阵有3个非零行，所以R(B)=3。从而 RA)=3

              − − − − − − − − → − − − 0 16 12 8 12 0 12 9 7 11 0 4 3 1 1 1 6 4 1 4 2 4 4 1 3 1 3 2 r r r r r r               − − − − − → − 0 0 0 0 0 0 0 0 4 8 0 4 3 1 1 1 6 4 1 4 4 3 r r 因为阶梯形矩阵有3个非零行，所以 R(B) = 3。从而 R(A) = 3。 3 2 4 2 3 4 1 6 4 1 4 0 4 3 1 1 0 0 0 4 8 0 0 0 4 8 r r r r − −   − −   − −     −     − →

A的一个最高阶非零子式为： 3 2 32 6 3 -26=6 0 11 =-2 2 2 5 2 设A为阶可逆矩阵，则A0,从而R(A)=n,称4为满 秩矩阵。 若A为n阶不可逆矩阵，则A=0,从而R(A)大n,称A为 降秩矩阵

A的一个最高阶非零子式为： 0 2 5 6 11 2 2 0 5 6 0 11 3 2 5 2 0 5 3 2 6 3 2 5 − = = −  设A为n阶可逆矩阵，则|A|≠0,从而R(A) = n，称A为满 秩矩阵。 若A为n阶不可逆矩阵，则|A|＝0,从而R(A)< n，称A为 降秩矩阵

例3设 2 -4 8 0 A -2 b 4 -2 3 23 6 6 求矩阵A及矩阵B=(A|b)的秩

例3 设               − − − − − − − = 3 6 0 6 2 4 2 3 2 4 8 0 1 2 2 1 A               = 4 3 2 1 b 求矩阵A及矩阵B=（A | b）的秩

解 -2 2 - -22 -1 3-21 2 -4 8 2 5+2 B -2 3 3 -3 3 -6 3÷5 0 4+3r -13 因此，R(A)=2,R(B)=3

解               − − − − − − − = 3 6 0 6 4 2 4 2 3 3 2 4 8 0 2 1 2 2 1 1 B               − − → −  + 0 0 0 0 1 0 0 0 0 5 0 0 2 1 0 1 2 2 1 1 3 2 2 4 2 2 3 r r r r r               − − →  − 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 2 1 0 1 2 2 1 1 3 5 4 3 r r r 因此，R(A) = 2 , R(B) = 3. 2 1 3 1 4 1 2 2 3 1 2 2 1 1 0 0 4 2 0 0 0 2 1 5 0 0 6 3 1 r r r r r r − + −   − −           − − →