§5向量空间 一、向量空间的概念 定义7设V为n维向量的集合，如果集合V非空，且 满足 (1)若Va∈V,阝∈V,则a+p∈V; (2)若Va∈V,λ∈R,则λa∈V. 那么就称为集合V为向量空间。 注：定义中的(1)、(2)两条称为对加法及数乘两 种运算封闭
§5 向量空间 一、向量空间的概念 定义7 设V为n维向量的集合，如果集合V非空，且 满足 （1）若∀α ∈ V, β ∈V,则 α+β ∈V; （2）若∀α ∈ V， λ ∈R,则 λα ∈V。 那么就称为集合V为向量空间。 注：定义中的（1）、（2）两条称为对加法及数乘两 种运算封闭
例1(1)3维向量的全体R是一个向量空间。 (2)n维向量的全体R也是个向量空间。 例2验证集合 Vo==(0,x2,)x2,xER} 是否是一个向量空间。 解因为va∈Vo,p∈Vo,∈R,有 a+f=(0,a2,,an)r+(0,b2,,bn)I =(0,a2+b2,"",antbn)TE Vo a=(0,a2,,anT∈V0 故V是一个向量空间
例1 （1） 3维向量的全体R3是一个向量空间。 （2）n维向量的全体Rn也是一个向量空间。 例2 验证集合 V0 = {x = (0, x2 , …, xn ) T | x2 ,…, xn ∈R} 是否是一个向量空间。 解 因为∀ α ∈ V0 , β ∈V0， λ ∈R ,有 α +β = ( 0, a2 , …, an ) T + ( 0, b2 ,…,bn ) T = ( 0, a2+b2 ,…,an+bn ) T ∈ V0 λ α = ( 0, λa2 , …, λan ) T ∈ V0 故V0是一个向量空间
例3验证集合 V{=（1,X2,,xn)X2,,x 解因为Va∈V,有 2a=(2,2a2,,2an)IV 故V不是一个向量空间
。 例3 验证集合 V1 = {x = (1, x2 , …, xn ) T | x2 ,…, xn ∈R} 解 因为∀ α ∈ V,有 2α = ( 2, 2a2 , …, 2an ) T ∉ V1 故V1不是一个向量空间
例4设a和B为两个己知的n维向量，验证集合 V={x=.a+p入，u∈R} 是一个向量空间。 解取x1=元1a+4P,x2=2a+42B∈V,k∈R.则有 x1+x2=(01+2)a+(41+42)P∈V, kx1=(k21)a+(k41)p∈V。 故V是一个向量空间。 注：我们称如上构成的向量空间为由α、B所生成的向 量空间。 般地，由向量组a1,a2,,am所生成的向量空间为 V={x=1a1+2a2++2mam|21,2,,m∈R}
例4 设α和 β为两个已知的 n维向量，验证集合 V = {x = λα + μβ | λ , μ ∈ R} 是一个向量空间。 解 取x1 = λ1α + μ1β, x 2= λ2 α + μ2 β ∈V, k ∈R.则有 x1+x2 = (λ1+ λ2 ) α + (μ1+ μ2 )β ∈V, k x1 =( kλ1 )α +( k μ1 )β ∈V。 故V是一个向量空间。 注：我们称如上构成的向量空间为由 α、β 所生成的向 量空间。 一般地，由向量组 α1 ,α2 ,…,αm所生成的向量空间为： V = { x = λ1α1 + λ2α2 + … +λmαm | λ1 , λ2 , …, λm ∈ R }
例5设向量组a1,a2,,am与向量组b1,b2,b,等价，记 V1={c=1a1+几2a2+…+入mnam1,2,…,1m∈R}, V2={x=ub1+2b2++4,b,A1,42,,4∈R}, 试证V,=V2 证Vx∈V1,则x可由a1,a2,,an线性表示。因a1,a2 am可由b1,b2,b,线性表示，故x可由b1,b2,,b线性表示， 所以x∈V2。即vx∈V1,则x∈V2,因此VCV2 同理可证Vx∈V2,则x∈V1,因此V2cV1 因为VCV2,V2CV1,所以V1=V2
例5 设向量组α1 ,α2 ,…, α m与向量组b1 ,b2 ,…,bs等价，记 V1 = {x = λ1α1+λ2α2+…+λmαm| λ1 , λ2 , …, λm ∈ R }， V2 = {x = μ1b1+ μ2b2+…+μsbs | μ1 , μ2 ,…, μs ∈ R }， 试证 V1 = V2。 证∀ x∈V1,，则x可由α1 ,α2 ,…,αm线性表示。因α1 ,α2 ,…, α m可由b1 ,b2 ,…,bs线性表示，故 x 可由 b1 ,b2 ,…,bs线性表示， 所以 x∈V2 。即∀ x∈V1，则 x∈V2，因此V1⊂V2 。 同理可证∀ x∈V2，则 x∈V1，因此V2⊂V1 。 因为 V1⊂V2 ，V2⊂V1，所以V1 = V2
定义8 设有向量空间V及V2,若VcV2,就称V1 是V的子空间。 (1)任何由n维向量所组成的向量空间V,总有VcR” 所以这样的向量空间总是的子空间。 (2)例2中的V。也是R的子空间。 (3)例4中的由n维向量a和B所生成向量空间也是Rm 的子空间
定义8 设有向量空间V1 及V2，若V1⊂V2 ，就称V1 是V2的子空间。 (1) 任何由 n 维向量所组成的向量空间V,总有V⊂Rn 所以这样的向量空间总是Rn的子空间。 (2) 例2中的V0也是Rn的子空间。 (3) 例4中的由n 维向量α 和 β 所生成向量空间也是Rn 的子空间