§8.正定二次型 一、惯性律 1.惯性定律 定理11.设二次型fxTAx的秩为r.若可逆线性变换 x=C,及x=Pz分别将二次型f化成标准形： f=k1y2+k22+…+k,2(k0,=1,2,…r） 及f=12+2222+…+,,2(20,=1,2,…,r 则k1,2,…,k与1,2，，，中带正号的个数相同
§8. 正定二次型 一、惯性律 1.惯性定律 定理11. 设二次型 f=xTAx 的秩为 r .若可逆线性变换 x=Cy 及 x=Pz 分别将二次型 f 化成标准形： f = k1y1 2+k2y2 2+…+kryr 2 (ki≠0,i=1,2, …r.) 及 f = 1 z1 2+ 2 z2 2+ … +r zr 2 (i ≠0,i=1,2, …,r.) 则 k1， k2，…，kr与 1， 2， …，r中带正号的个数相同
2.惯性定律的几何解释 惯性定律反映到几何上， 就是经过可逆的线性变换把 二次曲线方程化成标准方程。方程的系数与所作的线性变 换有关；而曲线的类型（是椭圆型、双曲线型等)是不会 因为所作的线性变换的不同而改变的 3.惯性指数 ①称二次型标准形的项数为二次型的惯性指数： ②称二次型标准形的正项个数为二次型的正惯性指数p: ③称二次型标准形的负项数为二次型的负惯性指数4， 显然T=p+q=R(A
2. 惯性定律的几何解释 惯性定律反映到几何上, 就是经过可逆的线性变换把 二次曲线方程化成标准方程。方程的系数与所作的线性变 换有关；而曲线的类型（是椭圆型 、双曲线型等）是不会 因为所作的线性变换的不同而改变的. 3. 惯性指数 ① 称二次型标准形的项数为二次型的惯性指数 r； ② 称二次型标准形的正项个数为二次型的正惯性指数 p； ③ 称二次型标准形的负项数为二次型的负惯性指数 q; 显然 r= p + q =R(A)
二次型的正定性 1、二次型正定性的概念 定义11 设有二次型f=xTAx,若对任何x0,都 有f>0,则称f为正定二次型，并称对称矩阵A是正定矩阵 记为A>0,对任何x0,都有f<0,则称f为负定二次型， 并称对称矩阵A是负定矩阵，记为A<0
二、二次型的正定性 1、 二次型正定性的概念 定义11 设有二次型 f = x TAx ,若对任何 x ≠0, 都 有f >0, 则称 f 为正定二次型，并称对称矩阵 A 是正定矩阵, 记为 A > 0 ;对任何 x ≠0, 都有 f < 0, 则称 f 为负定二次型， 并称对称矩阵 A 是负定矩阵, 记为 A < 0
2.二次型正定性的判定 定理12.实二次型f=xAx为正定二次型的充分必要 。条件是它的标准形的n个系数全为正数， 证：设可逆变换x=Cy,使 f(x)=ACy)=ky2+k2y22+...+ky2. 先证充分性.设k>0(i=1,2,,n).任给x≠0，则 y”=Cx0,故 f(c)=f(Gy)=ky12+k2y22+.+kyn2>0 故f是正定的
2. 二次型正定性的判定 ⚫ 定理12. 实二次型 f =x TAx 为正定二次型的充分必要 ⚫ 条件是它的标准形的 n 个系数全为正数. 证: 设可逆变换 x=Cy，使 f (x)=f(Cy)=k1y1 2+k2y2 2+…+knyn 2 . 先证充分性. 设 ki >0 (i=1,2, …,n). 任给 x≠ 0,则 y = C-1x≠0, 故 f (x)= f (Cy) = k1y1 2+k2y2 2+…+knyn 2 > 0. 故 f 是正定的
再证必要性.用反证法 假设k≤0，则当y=e,(单位坐标向量)时， f(x)=kys=ks0,从而k,>0(i=1,2,, 推论对称矩阵A为正定矩阵的充分必要条件是A的 特征值全为正数
再证必要性. 用反证法. 假设 ks≤0，则当 y =es (单位坐标向量）时， f (x) = ksys = ks ≤0 这与 f 正定相矛盾.故 ks >0，从而 ki >0 (i=1,2, …,n). 推论 对称矩阵 A 为正定矩阵的充分必要条件是 A 的 特征值全为正数
定理13.对称矩阵A为正定矩阵的充分必要条件是 A的各阶顺序主子式全大于零.即 la>0, 2 对称矩阵A为负定矩阵的充分必要条件是A的奇数阶 顺序主子式全小于零，而偶数阶的顺序主子式全大于零即 (-1) (r=1,2,…,n）
定理13. 对称矩阵 A 为正定 矩阵的充分必要条件是 A 的各阶 顺序主子式全大于零.即 对称矩阵 A 为负定矩阵的充分必要条件是A 的奇数阶 顺序主子式全小于零，而偶数阶的顺序主子式全大于零.即 ( 1) 0, ( 1,2, , ) 1 1 1 1 r n a a a a r r r r r − = 11 12 1 11 12 2 22 2 1 11 21 22 1 2 0, 0, , 0. n n n n nn a a a a a a a a a a a a a a
3.正定二次型的几何意义 1)二维正定二次型fx,y)=c(c>0为常数)是以原点 为中心的椭圆 当c为任意常数时，f是一族椭圆，当c=0时，这些 椭圆收缩到原点 2)三维正定二次型f(x,y)=c(c>0)是一族椭球
3. 正定二次型的几何意义 1）二维正定二次型 f (x, y) =c(c>0为常数）是以原点 为中心的椭圆. 当c为任意常数时， f 是一族椭圆，当c = 0时，这些 椭圆收缩到原点. 2）三维正定二次型 f (x, y, z) =c （c>0)是一族椭球