第四节 变步长积分法 一、引言 二、以梯形公式为例来介绍这一算法
第四节 变步长积分法 一、引言 二、以梯形公式为例来介绍这一算法
一、引言 利用复化梯形公式和复化Simpson公式来进行定积 分的近似计算既简便，又可以达到满意的计算精度。 但是为了确定把积分区间[a,分成多少个子区间，即 取多大，则需依据误差表达式作事先估计，就要分析 被积函数的高阶导数，而这是很困难的
利用复化梯形公式和复化Simpson公式来进行定积 分的近似计算既简便， 又可以达到满意的计算精度。 但是为了确定把积分区间 分成多少个子区间，即 取多大， 则需依据误差表达式作事先估计， 就要分析 被积函数的高阶导数，而这是很困难的。 a b, n 一、引言
变步长积分法是根据规定的精度要求，在计算过程 中通常采取缩小步长的方法，并利用前后两次计算结 果来判别误差的大小，从而得到满足精度要求的近似 值。 下面，仅以梯形公式为例来介绍这一算法
变步长积分法是根据规定的精度要求 ， 在计算过程 中通常采取缩小步长的方法，并利用前后两次计算结 果来判别误差的大小，从而得到满足精度要求的近似 值。 下面，仅以梯形公式为例来介绍这一算法
二、以梯形公式为例来介绍这一算法 首先在整个区间[a,b]上应用梯形公式，算出积分 近似值T;然后将[a,b]分半，对n=2应用复化梯 形公式算出；再将每个小区间分半，对”应用复 化梯形公式算出T；一般地，每次总是在前一次的基 础上再将小区间分半，然后利用递推公式(3.3)进行 计算，直至相邻两个值之差小于允许误差为止。简言 之，利用公式3.3)计算出I,后，再检验不等式 Tn-T<s (取绝对误差) (4.1) 或 (取相对误差) (4.2)
n = 4 首先在整个区间 上应用梯形公式，算出积分 近似值 ；然后将 分半，对 应用复化梯 形公式算出 ；再将每个小区间分半，对 应用复 化梯形公式算出 ；一般地，每次总是在前一次的基 础上再将小区间分半，然后利用递推公式（3.3）进行 计算，直至相邻两个值之差小于允许误差为止。简言 之，利用公式(3.3)计算出 后，再检验不等式 a b, T1 a b, n = 2 T2 T4 T2n T T 2n n − （取绝对误差） (4.1) 或 2 2 n n n T T T − （取相对误差） (4.2) 二、以梯形公式为例来介绍这一算法
是否满足，如果满足，则取T,。为所求定积分之近似 值，否则区间继续分半，重复上述过程直至条件满足。 现在我们来分析为什么可以通过(4.1)式来控制 计算过程。由(3.2)式可知 M=-x=-22/w) =-x.=-)空r6》
是否满足，如果满足，则取 为所求定积分之近似 值，否则区间继续分半，重复上述过程直至条件满足。 T2n 现在我们来分析为什么可以通过（4.1）式来控制 计算过程。由（3.2）式可知 ( ) 1 0 1 12 n T n n k k b a E f I T f n − = − = − = − ( ) 3 2 1 2 2 0 1 12 2 n T n n k k b a E f I T f n − = − = − = −
将两式相除并注意当n充分大时 C-fre 空rG)ra 则得到 1+亿-T） (4.3)
将两式相除并注意当 n 充分大时 ( ) ( ) ( ) 1 0 n b k a k b a f f x dx n − = − ( ) ( ) ( ) 2 1 2 0 n b k a k b a f f x dx n − = − 则得到 2 4 n n I T I T − − 2 2 ( ) 1 3 n n n I T T T + − (4.3)
这说明，若用不等式(4.1)来控制计算过程。则Tm与积 分精确值之差大约是允许误差的三分之一，因此计算可 以至此为止。误差的这种估计法称为后天估计（或事后 估计)。 对于Simpson公式，也可以同样进行区间逐次分 半，并可由不等式 S2n-S,56 (4.4 来控制计算过程
这说明，若用不等式(4.1)来控制计算过程。则 与积 分精确值之差大约是允许误差的三分之一，因此计算可 以至此为止。误差的这种估计法称为后天估计（或事后 估计）。 T2n 对于 Simpson 公式， 也可以同样进行区间逐次分 半，并可由不等式 S S 2n n − (4.4) 来控制计算过程