第六章△微分方程 可分离 变量 二阶微 基本 一阶微 分方程 概念 分方程 高阶微 分方程
可分离 变量 二阶微 分方程 一阶微 分方程 高阶微 分方程 基 本 概 念 第六章 微分方程
6.1微分万程的基本慨念 主要 内容 概念产 微分方 生的背景 程的定义 微分方 程的解
主 要 内 容 微分方 程的解 概念产 生的背景 微分方 程的定义 §6.1 微分方程的基本概念
背景 例1：一曲线通过点(1,2)，且在该曲线上任一点M(x,y)处的 切线的斜率为2x,求这曲线的方程 分析：第一步：建立方程 设曲线方程为 y=y(x),则 含有未知函数 的导数 (或微分) 第二步：解方程：两边积分得y=x2+C, 第三步：确定常数：2=12+C,得C=1 所求曲线的方程： y=x2+1
一、背 景 例 1： 一曲线通过点(1 2) 且在该曲线上任一点M x y ( , )处的 切线的斜率为2x 求这曲线的方程. 分析： 第一步：建立方程 设曲线方程为 y y(x) ，则 x dx dy 2 第二步：解方程：两边积分得 , 2 y x C 第三步：确定常数： 2 1 , 2 C 得 C 1 所求曲线的方程： 1 2 y x 含有未知函数 的 导 数 （或 微 分）
二、微分方程的定义 定义1：含有未知函数导数（或微分）的方程叫微分方程 未知函数是一元的微分的方程叫做常微分方程 未知函数是多元的微分的方程叫做偏微分方程 微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数，叫微分方程的阶 一般n阶微分方程： F(x.y.y..y)=0 或 ym=fx,y,y',…,ym-) 注记1：在微分方程中，自变量和未知函数可以不出现， 但未知函数的导数或微分必须出现
定义 1：含有未知函数导数（或微分）的方程叫微分方程 未知函数是一元的微分的方程叫做常微分方程 未知函数是多元的微分的方程叫做偏微分方程 微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数 叫微分方程的阶 一般n阶微分方程 二、微分方程的定义 ( ) ( , , , , ) 0 n F x y y y 或 ( ) ( 1) ( , , , , ) n n y f x y y y 注记 1：在微分方程中，自变量和未知函数可以不出现， 但未知函数的导数或微分必须出现
微分方程的定义 课堂训练1： 下列不是微分方程的是（) A: dy dx =2Xy B:(7x-6y)k+(x+y)dy=0 C: D:x=-28r2+W1+ E:y'+y=0 F:y"+2y'+y-2x=0
二、微分方程的定义 课堂训练 1： 下列不是微分方程的是（ ） xy dx dy A: 2 B:(7x 6y)dx (x y)dy 0 g dt d x C 2 2 : 0 0 2 2 1 D : x gt v t x E : y y 0 F : y 2y y 2x 0
微分方程的定义公 课堂训练2：下列结论不正确的是() A:x2(y")2+x8y”-y0-y=0是十一阶微分方程 B:(7x-6y)d+(x+y)=0是一阶常微分方程 0: 2y少+x=0是二阶常微分方程 dx D:y”+2y-y=1是一个二阶微分方程 :盟)=0是一个二阶微分方程
二、微分方程的定义 课堂训练 2：下列结论不正确的是（ ） A： 2 2 8 10 x y x y xy y 0是十一阶微分方程. B： (7 6 ) ( ) 0 x y dx x y dy 是一阶常微分方程 C： 2 2 0 dy dy x y x dx dx 是二阶常微分方程 D： y y y 2 1是一个二阶微分方程. E： 2 2 2 0 d y dy x x y dx dx 是一个二阶微分方程
二、微分方程的定义 发现 把函数代入微分方程能使该中该方程成为恒等式 定义2：满足微分方程的函数（把函数代入微分方程能使该 方程成为恒等式)叫做该微分方程的解 即函数y=p(x)在区间1上有n阶连续导数，如果在区间1上， F(x,p,p(x)2…,pm(x)=0 则函数y=p(x)称为微分方程F(xy,y,y)=0在区间1上的解
二、微分方程的定义 观察（1） 2 y x C 与 2 dy x dx （2） 2 1 2 1 2 y gx C x C 与 2 2 d y g dx 发现 把函数代入微分方程能使该中该方程成为恒等式 定义 2：满足微分方程的函数(把函数代入微分方程能使该 方程成为恒等式)叫做该微分方程的解 即函数 y x ( )在区间I 上有n阶连续导数如果在区间I 上 ( ) ( , , ( ), , ( )) 0 n F x x x 则函数 y x ( )称为微分方程 ( ) ( , , , , ) 0 n F x y y y 在区间I 上的解
二、微分方程的定义 发现(2)少=2x的解y=x2+C中含有1个任意常数， (3) 宏g的解y=x+Cx+C中含有两个任意常数， 定义3：如果微分方程的解中含有任意常数，且任意常数的个数与微分 方程的阶数相同，这样的解叫做微分方程的通解. 确定了通解中的任意常数以后，得到的微分方程的解称为特解 用于确定通解中任意常数的条件称为初始条件 求微分方程满足初始条件的解的问题称为初值问题
二、微分方程的定义 发现（2） 2 dy x dx 的解 2 y x C 中含有 1 个任意常数 （3） 2 2 d y g dx 的解 2 1 2 1 2 y gx C x C 中含有两个任意常数 定义 3：如果微分方程的解中含有任意常数且任意常数的个数与微分 方程的阶数相同，这样的解叫做微分方程的通解 确定了通解中的任意常数以后得到的微分方程的解称为特解 用于确定通解中任意常数的条件称为初始条件 求微分方程满足初始条件的解的问题称为初值问题
微分方程的解 微分方程的特解的图形是一条曲线，叫做微分方程的积分曲线 注记1：求一阶微分方程y=fx,)初始条件x=,=%的解的问题记为 y=f(x,y) x=,=% 注记2：初值问题 y=fx”的几何意义：就是求微分方程 x==% 的通过(x,y)的积分曲线， 注记3：通解的图形是积分曲线族
三、微分方程的解 注记 1：求一阶微分方程 y f x y ( , )初始条件 0 0 y y xx 的解的问题记为 0 0 ( , ) y y y f x y x x 注记 2：初值问题 0 0 ( , ) y y y f x y x x 的几何意义：就是求微分方程 注记 3：通解的图形是积分曲线族 y o x 微分方程的特解的图形是一条曲线 叫做微分方程的积分曲线 的通过 0 0 ( , ) x y 的积分曲线
三、微分方程的解 课堂训练3： 下列结论不正确的是（) (1)y=5x2是微分方程y'=2y的解. (2)由x2-y+y2=C确定的隐函数y=yx)不是（x-2y)y=2x-y的解 (3)y=x2+1是微分方程y'=2x的满足条件y0)=1的一个特解 (4) 若C.C,C是任意常数则)-+smx+C+C+C,是)yr-e-csx的通解 (5)设C是任意的常数，则y=Ce是y”+y=0的解，但不是通解， yx=0, (6)与y=x+等价的微分方程初始问题为. dx
三、微分方程的解 课堂训练 3： 下列结论不正确的是（ ） （1） 2 y x 5 是微分方程 xy y 2 的解. （2）由 2 2 x xy y C 确定的隐函数 y y x ( )不是 x y y x y 2 2 的解 （3） 2 y x 1是微分方程 y x 2 的满足条件 y(0) 1 的一个特解 （4）若 1 2 3 C C C , , 是任意常数则 2 2 1 2 3 1 sin 8 x y e x C x C x C 是 2 cos x y e x 的通解 （5）设C 是任意的常数，则 x y Ce 是 y y 0的解，但不是通解. （6）与 1 x y x ydx 等价的微分方程初始问题为. 1 0, . x y dy y dx