第三章 中值定理与导数的应用 主要内容： 一、中值定理 二、洛必达法则 三、泰勒中值定理 四、函数的单调性与曲线的凹凸性 五、函数的极致与最值 五、函数图形的描绘
第三章 中值定理与导数的应用 主要内容 ： 一、中值定理 二、洛必达法则 三、泰勒中值定理 四、函数的单调性与曲线的凹凸性 五、函数的极致与最值 五、函数图形的描绘
第三章 §3.1中值定理 主要内容： 一、极值概念及费马引理 二、罗尔中值定理 三、拉格朗日中值定理 四、柯西中值定理
二、罗尔中值定理 三、拉格朗日中值定理 四、柯西中值定理 §3.1 中值定理 第三章 一、极值概念及费马引理 主要内容：
一、极值概念及费马引理 1.极值的定义 设函数y=f(w)的定义域为D (1)都有fx)≤x,) (2)都有f(x)≥fx) 如果存在x的某一邻域 则称函数y=f(x)在 则称函数y=f(x)在 点x,处有极大值飞) 点x,处有极小值f) U(xo)cD,使得对任意的xeU(x) 点x称为极大值点. 点x,称为极小值点， 极大值和极小值统称为极值：极大值点和极小值点统称为极值点 注记1：若函数的最（大小）值在区间内部取得，则它一定是极值
一、极值概念及费马引理 1. 极值的定义 设函数 y f = ( ) x 的定义域为 D 如果存在 0 x 的某一邻域 0 Ux D ( ) ⊂ ，使得对任意 的 0 x ∈ U x( ) （1）都有 0 f () ( ) x ≤ f x 则称函数 y fx = ( ) 在 点 0 x 处有极大值 0 f ( ) x . 点 0 x 称为极大值点. （2）都有 0 f () ( ) x ≥ f x 则称函数 y fx = ( ) 在 点 0 x 处有极小值 0 f ( ) x . 点 0 x 称为极小值点. 极大值和极小值统称为极值；极大值点和极小值点统称为极值点 注记1： 若函数的最 ( 大小)值在区间内部取得，则它一定是 极值
一、极值概念及费马引理 2.费马引理 (1)若函数f)在点x,的某邻域U(x)内有定义，且在点，处可导 (2)函数fx)在点x,取到极值 则 f'(x)=0 我们把导数为零的点称为函数的驻点（或称稳定点，临界点） 注记2：可导函数的极值点一定是驻点
2. 费马引理 （2）函数 f ( ) x 在点 0 x 取到极值 则 （1）若函数 f ( ) x 在点 0 x 的某邻域 0 U x( )内有定义，且在点 0 x 处可导 0 f x ′()0 = 我们把导数为零的点称为函数的驻点（或称稳定点，临界点） 注记 2：可导函数的极值点一定是驻点. 一、极值概念及费马引理
费马引理的证明分析 不妨设xEU(x,)时fx)sfx),于是，对于x。+△xEU(x), L f(x+△x)f(x) 见 当△x>0时 △y=f(x+△x)-f(x)≤0 当Ax<0时 △y ∫(x)在点x。处可导 ≤0 △x △x 极限的保号性 f()=f)=f'() f(xo)=f(xo)=lim Ay 20 f(x)=f(xo)=lim ≤0 △r→0-△x 4x0△x f'(x)=0
不妨设 0 x∈U x( )时 ( ) ( ) 0 f x ≤ f x ，于是，对于 ( ) 0 0 x +Δx∈U x ， 费马引理的证明分析 ( ) ( ) 0 0 f x +Δx ≤ f x 当Δx > 0时 0 y x Δ ≤ Δ 0 0 0 ( ) ( ) lim 0 x y fx fx x + + Δ → Δ ′ ′ == ≤ Δ 0 y x Δ ≥ Δ 极限的保号性 当Δ x < 0 时 0 0 0 ( ) ( ) lim 0 x y fx fx x − − Δ → Δ ′ ′ = = ≥ Δ f ′(x0 ) = 0 0 0 Δy fx x fx = +Δ − ≤ ( ) ()0 f ( ) x 在点 0 x 处可导 0 00 f () () () x fx fx + − ′ = ′ ′ =
费马引理的证明 证明：不妨设xeUx)时，f(x)f(xo),于是，对于x,+△xeU(x,j, 有 f(x+△x)f(x), 从而当Ax>0时，fx+Axf)<0 △x 当Ar0时，f+Arf0. △x 根据函数fx)在x,可导的条件及极限的保号性，便得到 (x)=f:()=limf(x+Ax)-f()0. △x fx,)=fx,)=1im+A)-f220 Ar0 △x 所以 f'(x=0
有 ( ) ( ) 0 0 f x +Δx ≤ f x ， 根据函数 f ( ) x 在 0 x 可导的条件及极限的保号性，便得到 证明： 不妨设 0 x∈U x( )时， ( ) ( ) 0 f x ≤ f x ，于是，对于 ( ) 0 0 x +Δx∈U x ， 从而当Δx > 0时， 0 ( ) ( ) 0 0 ≤ Δ +Δ −x f x x f x 0 ( ) ( ) ( ) ( ) lim 0 0 0 0 0 ≤ Δ +Δ − ′ = ′ = → + Δ + x f x x f x f x f x x ， 费马引理的证明 0 0 0 0 0 ( ) () ( ) ( ) lim 0 x fx x fx fx fx x − − Δ → + Δ − ′ ′ == ≥ Δ 当Δx<0时， 0 ( ) ( ) 0 0 ≥ Δ +Δ −x f x x f x . 所以 f ′(x0 )=0
二、罗尔定理 y f(a)=f(b) 如果函数fx)满足 y=f(x) （1)在闭区间[a,b1上连续： (2)在开区间(a,b)内可导； (3) f(a)=f(b), 那么在(a,b)内至少有一点5，使得. 导数为零欲论证 f'(5)=0 罗尔定理负重任
如果函数 f ( ) x 满足 （1）在闭区间[,] a b 上连续； （2）在开区间(,) a b 内可导； （3） f () () a = f b ， 那么在(,) a b 内至少有一点ξ ，使得. x y O A B y = f (x) f (a) = f (b) a b ξ 1 ξ 2 f ′(ξ )=0 导数为零欲论证 罗尔定理负重任 二、罗尔定理
罗尔定理的证明过程分析 f(x)在[a,b连续 fx)在[a,b]上必取得它的最大值M和最小值m f(a)=f(b) M=m M≠m Mm不能同时取在端点 fx)=C是常函数 M,m至少有一个取在(a,b)内 f"(x)=0 不妨设M取在(a,b)内部即 在(a,b)内至少存在一点 费马定 5使f(5)=M. 在(a,b)内至少有一点5 理可得 1 使得f"(5)=0 存在5的某二郊域 5是该邻域内的 极大值点
罗尔定理的证明过程分析 f x( ) 在[,] a b 连续 f x( ) 在[,] a b 上必取得它的最大值 M 和最小值 m M = m M ≠ m f ( ) x C= 是常函数 f x ′() 0 = M, m不能同时取在端点 f () () a = f b M, m至少有一个取在(,) a b 内 不妨设 M 取在(,) a b 内部即 在(,) a b 内至少存在一点 ξ 使 f () . ξ = M 存在 ξ 的某一邻域 ξ 是该邻域内的 极大值点 费马定 理可得 在(,) a b 内至少有一点 ξ 使得 f ′(ξ ) = 0
罗尔定理的证明 证明：由已知条件知f(x)在闭区间[a,b]上必取得它的最大值M和最小值m (1)如果M=m,fx)是常函数，则f(x)=0定理的结论显然成立. (2)如果M≠m,fx)不是常函数.由于fa)=f(b),因此fx)在闭区间[a,b上 最值不能同时取在端点.不妨M≠f(a).则M≠f(b).所以在(a,b)内至少存在一点 所以在(a,b)内至少存在一点使f()=M.因此存在5的某一邻域，是该 邻域的极值点.由费马引理可得 f'(5)=0
证明: 由已知条件知 f ( ) x 在闭区间[,] a b 上必取得它的最大值M 和最小值m （1）如果M = m， f ( ) x 是常函数, 则 f x ′() 0 = 定理的结论显然成立. （2）如果 M ≠ m ， f ( ) x 不是常函数.由于 f () () a = f b ，因此 f ( ) x 在闭区间[,] a b 上 最值不能同时取在端点. 不妨 M ≠ f a( ). 则 M ≠ f b( ) .所以在(,) a b 内至少存在一点 邻域的极值点.由费马引理可得 所以在(,) a b 内至少存在一点 ξ 使 f () . ξ = M 因此存在 ξ 的某一邻域， ξ 是该 罗尔定理的证明 f ′() 0 ξ =
二、 罗尔定理 例1：验证fx)=Insinx在巴，5]满足罗尔定理，并求出5 636 解：显然f=nsmx在后上连续，在上可导 又 Insin=-In2,Insin 6 π=-ln2, 6 即/爱=酒.所以f)=sin在后上满足罗尔定理条件. 显然 (x)-cosx-cotx sinx 令=0即cx=0,则x=受取-受e后即0=0 因此fx)=Insinx在严，5]满足罗尔定理的结论 6
例 1：验证 f ( ) ln sin x x = 在 5 [, ] 6 6 π π 满足罗尔定理，并求出ξ 解：显然 f ( ) ln sin x x = 在 5 [, ] 6 6 π π 上连续，在 5 (, ) 6 6 π π 上可导. 又 5 ln sin ln 2, ln sin ln 2, 6 6 π π =− =− 即 5 () ( ) 6 6 f f π π = .所以 f ( ) ln sin x x = 在 5 [, ] 6 6 π π 上满足罗尔定理条件. 显然 cos ( ) cot sin x f x x x ′ = = 令 f x ′() 0 = 即cot 0 x = ，则 2 x π= . 取 5 (, ) 2 66 π π π ξ = ∈ 即 f ′() 0 ξ = 二、罗尔定理 因此 f ( ) ln sin x x = 在 5 [, ] 6 6 π π 满足罗尔定理的结论
