第五节 样条函数插值 一、样条函数的概念 二、三次样条函数插值 三、小结
第五节 样条函数插值 三、小结 一、样条函数的概念 二、三次样条函数插值
一、样条函数的概念 样条是绘图员用来画光滑曲线的一种细木条（或细金属 条)。用它可把一些指定点连成一条光滑曲线。样条函 数是对绘图员描绘的样条曲线进行数学模拟后，得出的 函数。 其特征为 (1)是分段多项式； (2)各段多项式之间具有某种联接性质
一、样条函数的概念 样条是绘图员用来画光滑曲线的一种细木条（或细金属 条）。用它可把一些指定点连成一条光滑曲线。样条函 数是对绘图员描绘的样条曲线进行数学模拟后，得出的 函数。 （1）是分段多项式； （2）各段多项式之间具有某种联接性质。 其特征为
数学描述： 设在[a,b]上给定一个分划： π：a=X0<x<…<xn∈b 若函数S(x)具有如下性质： (1)S(x)在每个小区间[x-,x](k=1,2,,n)上是m次多项式： (2)S(x)及其直到m-1阶导数在[a,b]上连续，则称S(x 是关于分划π的m次样条函数，也记为S.（x)。 若S(x)还满足条件 SP(a+)=SP(b-0),p=0,1,…,m-1 则S(x)称为以(b-a)为周期的样条函数。 本节仅限于使用三次样条函数
设在 a b, 上给定一个分划： 数学描述： 0 1 : n a x x x b = = 若函数 S x( ) 具有如下性质： （1） S x( ) 在每个小区间 x x k n k k −1 , 1,2, , ( = ) 上是m次多 项式； （2） 及其直到 阶导数在 上连续，则称 是关于分划 的 次样条函数，也记为 。 S x( ) m −1 a b, S x( ) m S x m ( ) 若 S x( ) 还满足条件 ( ) ( ) ( ) ( 0 , 0,1, , 1. ) p p S a S b p m + = − = − 则 S x( ) 称为以 (b a − ) 为周期的样条函数。 本节仅限于使用三次样条函数
二、三次样条函数插值 1、问题的提法 设y=f(x)在点xx,,xn的值为，，， 求关于分划π的三次样条函数S(x,使之满足 S(x)=y,i=01,n(5.1 此时称S(x)为y=f(x)的三次样条插值函数。 可以看出，这一插值问题既保留了低次多项式在 表达式上的简便性，又克服了它们的不灵活性、不稳 定等缺点。因此，适合于数值运算的需要
1、 问题的提法 设 在点 的值为 ， 求关于分划 的三次样条函数 ，使之满足 y f x = ( ) 0 1 , , , n x x x 0 1 , , , n y y y S x( ) 二、三次样条函数插值 此时称 S x( ) 为 y f x = ( ) 的三次样条插值函数。 可以看出，这一插值问题既保留了低次多项式在 表达式上的简便性，又克服了它们的不灵活性、不稳 定等缺点。因此，适合于数值运算的需要。 S(x ) y i n i = i , = 0,1, (5.1)
2、三次样条插值函数的构造 (1)、从二阶导数出发构造S(x) 由于S(x)在[x-x]上为线性函数，于是由一次 Lagrange插值多项式有 S()=-S(x)+=LS(x) Xk-1-Xk Xk-Xk-1 S"(-)=M-1S"()=Mih=x-x 则有 S6)=-M+M,62
2、三次样条插值函数的构造 (1)、从二阶导数出发构造 S x( ) 由于 在 上为线性函数，于是由一次 Lagrange插值多项式有 S x ( ) x x k k −1 , ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 k k k k k k k k x x x x S x S x S x x x x x − − − − − − = + − − 令 ( ) ( ) 1 1 , 1, , k k k k k k k S x M S x M h x x − − − = = = − 则有 ( ) k k k k k k M h x x M h x x S x 1 1 ' − − − + − = (5.2)
显然，为求出S(x在[xx]上的表达式，只需对(52) 式积分两次，就可得到 6h, +C.(:-x)+D.(x-x)xE 依倨插值条件（⑤.1）可定出C.与D分别为 于是有
显然，为求出 在 上的表达式，只需对 式积分两次，就可得到 S x( ) x x k k −1 , (5.2) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 1 1 1 1, 6 6 , k k k k k k k k k k k k x x x x S x M M h h C x x D x x x x x − − − − − − = + + + − + − 依倨插值条件 (5.1)可定出 Ck 与 Dk 分别为 2 1 1 2 1 6 1 6 k k k k k k k k k k M h C y h M h D y h − − = − = − 于是有
s-以， 6h, 6h -g X-Xi-1 (5.3) 其中，Mo,M…Mn为待定参数，可由样条节点处的光滑 连接条件 S(k-)=S(x+k=1,2…,n-1）6.) 所确定。由53)可知，S(x)的导数为 s因-M+M.-& 2hk +二L-M,-Mh x∈[x-x] h 6
其中， 为待定参数，可由样条节点处的光滑 连接条件 0 1 , , M M M n ( ) ( ) ( ) 2 2 1 1 1 1 1 1 2 2 , 6 k k k k k k k k k k k k k k x x x x S x M M h h y y M M h x x x h − − − − − − − − = − + − − + − ( ) ( ) ( ) i i i i i i i i i i i i i i i i h M h x x y h M h x x y h x x M h x x S x M 1 2 2 1 1 3 1 3 1 6 6 6 6 − − − − − − + − − + − + − + − = (5.3) S'(xk− ) = S'(xk+ ),(k =1,2 ,n −1) (5.4) 所确定。由 (5.3) 可知， S x( ) 的导数为
分别令x=xx,得 ,+M+ h 5.5) 3 -M,+ (5.6 h 据(5.6)有 6.7 3 6 于是由连接条件(5.4)可得 h Mm =y-yy-y h (5.8 (k=0,1…n-
分别令 x x x = k k −1 , , 得 据 (5.6)有 于是由连接条件(5.4)可得 ( ) i i i i i i i i h y y M h M h S x 1 1 6 3 ' − − − − = + + (5.5) (5.6) ( ) i i i i i i i i h y y M h M h S x 1 1 1 3 6 ' − − + − − = − − + (5.7) ( ) 1 1 1 1 1 3 6 ' + + + + + + − = − − + i i i i i i i i h y y M h M h S x (5.8) 1 1 1 1 6 3 6 + + + − + + + i i i i i i i M h M h h M h i i i i i i h y y h y y 1 1 1 − + + − − − = (k = 0,1, n −1)
若记 h一，4，=1- h hett 则（⑤.8）式成为 4,M,-1+2M,+2,M1=d,i=1,2,…n-15.9 这是一个具有n+1个未知数n-1个方程的线性代数方程组。 为了求出n+1个未知参数M。,M,,Mn,还需要添加两个条件 ,通常称这两个条件为边界条件。一般来说，此类边界条件 包括两种： a固定边界条件 假定端点的切线斜率为已知： S(a)=%, S'(b)=y
若记 1 1 , 1 k k k k k k h h h + + = = − + 则 (5.8)式成为 这是一个具有 个未知数 个方程的线性代数方程组。 为了求出 个未知参数 还需要添加两个条件 ，通常称这两个条件为边界条件。一般来说，此类边界条件 包括两种： n +1 n −1 n +1 0 1 , , , , M M M n a 固定边界条件 假定端点的切线斜率为已知： ( ) 0 , ( ) n S a y S b y = = 2 1,2, 1 (5.9) i Mi−1 + Mi + i Mi+1 = di, i = n −
由(5.5)，(5.)，这时对(5.9)增加了两个方程 2,+4- 6 若记 么=么d-8号-月 x-） 则有 2M+M1=d0 (5.10 L Mn=1+2M,dn
由(5.5 , 5.7 ) ( )， 这时对 (5.9)增加了两个方程 1 0 0 1 0 1 1 1 1 6 2 6 2 n n n n n n n y y M M y h h y y M M y h h − − − + = − − + = − 若记 1 0 0 0 0 1 1 6 1, 6 n n n n n n n n y y d y h h y y d y h h − − = = = − − = − 则有 (5.10) + = + = n n− n n M M d M M d 2 2 1 0 0 1 0