吉林大学：《线性代数》课程教学资源（PPT课件）第五章 相似矩阵及二次型 52-5-5 §5 二次型及其标准型

三、用正交变换化二次型为标准型 经过上面的讨论，总结用正交变换化二次型为标准型 的一般步骤： 1将二次型r=∑∑a,xx,写成矩阵形式/=xA 2、由A-入E=0求出4的全部特征值： 3、由(A-2E)x=0,求出4的特征向量： 对于求出的不同的特征值所对应的特征向量已正交 只须单位化： 对于k重特征值入，所对应的k个线性无关的特征向量， 用Schimidt标准正交化方法把它们化为k个两两正交的单 位向量

三 、用正交变换化二次型为标准型 经过上面的讨论，总结用正交变换化二次型为标准型 的一般步骤： = = = = n i n j T f ai jxi xj f x Ax 1 1 1.将二次型 ：写成矩阵形式 2 0, 、由 求出 的全部特征值： A E A − =  3 0 、由（ ） ，求出 的特征向量； A E x A − =  对于求出的不同的特征值所对应的特征向量已正交， 只须单位化； 对于 重特征值 所对应的 个线性无关的特征向量， 用 标准正交化方法把它们化为 个两两正交的单 位向量。 k k λ k Schimidt k

4.把求出的个两两正交的单位向量，拼成正交矩 阵P,作正交变换x=Py 5用x=Py,把f化成标准型 f=y+见2y3++2ny 其中入，.…，n使f的矩阵4的n个特征值

2 2 2 2 2 1 1 n n f =  y +  y ++  y 1 2, , , 其中 使 的矩阵 的 个特征值。 λ λ λ f n n A 4．把求出的n个两两正交的单位向量，拼成正交矩 阵P,作正交变换x=Py; 5.用x=Py，把f 化成标准型

例2.求一个正交变换x=Py,把二次型 f=2xx2 +2xx;-2xx-2x2x+2x2x+2x3x 化为标准形 解1)二次型的矩阵为 三

例2. 求一个正交变换x=Py，把二次型 解 1）二次型的矩阵为               − − − − = 1 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 1 A 2 2 2 2 2 2 1 2 1 3 1 4 2 3 2 4 3 4 . f x x x x x x x x x x x x = + − − + + 化为标准形

2)由A-2E=0,求4的特征值 -入 A-E=

2)由A−E = 0,求A的特征值：     − − − − − − = − 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 (1 ) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 A E − − − − − = − − − − λ λ λ λ λ

-λ-1 -2 /1 =(1-2)20-元-1 -2 0-2-2-1 =(1-2)2(2+2入-3) =(1-2)2(2+3)(入-1)=0

0 0 0 1 0 2 1 2 0 1 2 2 1 1 1 1 (1 ) − + − − − − − − − = −     0 2 1 0 1 2 1 1 1 (1 ) 2 − − − = − − − −    (1 ) ( 3)( 1) 0 (1 ) ( 2 3) 2 2 2 = − + − = = − + −      

得A的特征值为 人=-3，九2=人=九4=1 3)由(A-入E)x=0,求A的特征向量 当=-3时，解方程(A+3E)三0.由 A+3E=

1 = −3， 2 = 3 = 4 = 1 得A的特征值为               − − −               − − − − + = 1 1 1 3 1 1 3 1 1 3 1 1 1 1 1 1 ~ 1 1 1 3 1 1 3 1 1 3 1 1 3 1 1 1 A 3E               −               − − 0 0 0 0 0 0 4 4 0 1 1 0 1 1 1 1 ~ 0 2 2 4 0 2 2 0 0 2 2 0 1 1 1 1 ~ 1 3) 0, . 3 3 0. A E x A A E x − = = − + = 由（ ） 求 的特征向量 当 时，解方程（ ） 由 λ λ

0 得基础解系 51 单位化，即得 1-2

              −               − 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 ~ 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 ~ . 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1               − − =               − − = ， 单位化，即得 P 得基础解系 

当入=入==1，解方程(A-E)x=0由 A-E= X 解得 X X: 0 即 k2.k3,k不同时为零 0

. , . 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 2 3 4 2 3 4 4 3 2 1 即 k k k k k k 不同时为零 x x x x              − +               +               =               1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 ~ 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 A E     − − − −     − −     − =     − −         − − 1 2 3 4 2 2 3 3 4 4 x x x x x x x x x x  = + −   =  =    = 解得当 ，解方程（ ） 由    234 = = = − = 1 0. A E x

52 ! 单位化 2

. 1 1 1 1 , 1 1 0 0 , 0 0 1 1 2 3 4               − − =               =                =   . 1 1 1 1 2 1 , 1 1 0 0 2 2 , 0 0 1 1 2 2 2 3 4               − − =               =               P = P P 单位化

4)于是正交变换为x=Py,即 X 为片片 5)用正交变换将f化成标准型 ∫=-3y+3+y+y 作业163页12题

3 . 5) 2 4 2 3 2 2 2 1 f y y y y f = − + + + 用正交变换将 化成标准型 作业 163页 12题. 1 1 2 2 3 3 4 4 4) , 1 1 1 0 2 2 2 1 1 1 0 2 2 2 1 1 1 0 2 2 2 1 1 1 0 2 2 2 x Py =           − −       =     −         −   于是正交变换为 即 x y x y x y x y