第五章相似矩阵及二次型 §1.向量的内积 一、向量的内积 1.内积的概念 定义1设有n维向量 X 1》 令 [y]=xy1+x2y2+··+xnVn2 称xy]为向量x与y的内积
第五章 相似矩阵及二次型 §1.向量的内积 1.内积的概念 定义1 设有n维向量 x , 2 1 = n x x x y = n y y y 2 1 令 [x,y]= , 1 1 2 2 n n x y + x y ++ x y 称[x,y]为向量x与y的内积。 一、向量的内积
1)内积是一个数（或是一个多项式）。 2)内积是向量的一种运算，可用距阵的运算。 列向量： [x.y]=x"y 行向量： [x.y]=xyT 2.内积的性质： 设x,y,z为n维向量，)为实数。 1)对称性：[x]=[,x] 2)齐次性： [xy]=λ[xy] 3)线性性： [x+=[x,]+[by]
1）内积是一个数（或是一个多项式）。 2）内积是向量的一种运算，可用距阵的运算。 列向量： x y x y T , = 行向量： T x, y = xy 2.内积的性质： 设 x ,y ,z 为n 维向量，λ为实数。 1) 对称性 ： [x,y]=[y,x]; 2) 齐次性： [λx,y]=λ[x,y]; 3) 线性性： [x+y,z]=[x,z]+[y,z]
二.向量的范数与夹角 1.向量的范数（长度） 定义2令 =v,x=+.+x 称x为n维向量x的范数。 2.范数的性质： 1)非负性当x≠0时，x>0:当x=0时，x 0: 2)齐次性x=|)|x; 3)三角不等式x+y≤x+y
二.向量的范数与夹角 1.向量的范数(长度) 定义2 令 2 2 2 2 1 n x = x,x = x + x ++ x 称‖x‖为n维向量x的范数。 2.范数的性质： 1）非负性 当x≠ 0 时, ‖x‖>0；当 x = 0时, ‖x‖= 0； 2）齐次性 ‖λx‖=︱λ︱‖x‖； 3）三角不等式‖x+y‖≤‖x‖+‖y‖
3.单位向量 称xl时的向量x为单位向量。任意a≠0， 位向量。 4.许瓦兹不等式 [xy≤[xx][y,y] 即 [e,y] xy ≤1（当xy0时）， 5.向量的夹角 当x0yl0时 [x,] 0 arccos 称0为n维向量x与y的夹角
3.单位向量 称‖x‖=1时的向量x为单位向量。任意α ≠ 0, 为单 位向量。 4.许瓦兹不等式 5.向量的夹角 当‖x‖≠0‖y‖≠0时 1 x y x, y 即 (当‖x‖‖y‖≠0时)， 称θ为n维向量x与y的夹角。 , arccos x y x y = 2 x y x x y y , , , , e =
三、向量组的正交性 1.正交.设x、y为n维向量，当[x,y0时，称x与y是正 交的。 若x=0,则x与任何向量都正交。 2.正交的向量组：指一组两两正交的非零向量。 定理1若n维向量a1,a2,",a,是一组两两正交的非 零向量，则a1,a2,…,a,线性无关。 证设有入1，入2，…，入，使 1a1+2a2++入，a,=0
三、向量组的正交性 1.正交. 设 x、y 为n维向量,当[x,y]=0时，称x与y是正 交的。 若x = 0,则 x 与任何向量都正交。 2.正交的向量组:指一组两两正交的非零向量。 定理1 若n 维向量 α1 , α2 , … , αr 是一组两两正交的非 零向量,则α1 , α2 , … , αr 线性无关。 证 设有 1 ,2 , ,r ,使 λ1α1+ λ2α2 + … + λrαr = 0
取a(i=1,2,…,r)在上式的两端作内积。 [入1a1+2a2+…+,a,a]=[0,a] [入，a,a,]=0 亦即 入la,a,]=0 因a判，故[a,a,]=‖aP0,从而必有入，=0(i= 1,2,,r)于是向量组a1,a2,…,a,线性无关
取αi ( i = 1, 2 ,…, r )在上式的两端作内积。 [ λiαi ,αi ] = 0 亦即 λi [αi ,αi ] = 0 因 αi≠0 , 故 [αi ,αi ] = || αi ||2 ≠0, 从而必有 λi = 0 ( i = 1, 2 ,…, r ) 于是向量组 α1 , α2 , … , αr 线性无关。 [ λ1α1+ λ2α2 + … + λrαr ，αi ] =[0, αi ]
3.正交基 用正交向量组作向量空间的基，称为向量空间的正交 基 例如n个两两正交的n维非零向量，可构成向量空间Rn 的一个正交基。 例1已知3维向量空间R中的两个向量 用 正交，试求一个非零向量a3,使a1,a2,a3两两正交
3.正交基 用正交向量组作向量空间的基,称为向量空间的正交 基. 例如 n个两两正交的n维非零向量,可构成向量空间 Rn 的一个正交基。 例1 已知3维向量空间 R 3 中的两个向量 正交,试求一个非零向量α3 ,使 α1，α2，α3 两两正交。 1 2 1 1 1 , 2 1 1 = = −
解设所求的向量a3=(x1,x2,x3),依题意得 [a1,a3l=0,[a2,a3l=0,即 x1+x2+x3=0 x1-2x2+x3=0 由于 4-日000 得 X1=一3 x2=0 从而有基础解系 取3 即为所求
解 设所求的向量α3 ＝（x1 , x2 , x3 ) ,依题意得: [α1 ,α3 ] = 0 , [α2 ,α3 ] = 0， 即 − + = + + = 2 0 0 1 2 3 1 2 3 x x x x x x 由于 − = 1 2 1 1 1 1 A ～ 0 −3 0 1 1 1 0 1 0 1 0 1 ～ 得 = = − 2 0 1 3 x x x 从而有基础解系 , − 1 0 1 取 , − = 1 0 1 3 即为所求