吉林大学：《线性代数》课程教学资源（PPT课件）线性代数综合练习题3

线性代数综合 练习题 (三)

线 性 代 数 综 合 练 习 题 （三）

、填空题： 1、 D月 解：把行列式按第一列展开 D=ac

一、填空题： 0 0 0 0 1 0 0 0 0 a b a b c d c d 、D= = ； 解：把行列式按第一列展开 0 0 0 0 0 0 0 0 a b b D a c d c a b d c d = −

第一个行列式按第三行展开， 第二个行列式按第一行展开， ad cb (ad-cb) 2、设A为四阶方阵，且R(A)=2,则R(A)=: 解：因为A为四阶方阵，且秩为2，所以A的任何3 阶子式为零，而A的伴随矩阵A的元素为A的3阶 子式，故A为零矩阵，所以R(A)=0

第一个行列式按第三行展开， 第二个行列式按第一行展开， a b a b ad cb c d c d = − 2 = − ( ) ad cb 2、设A为四阶方阵，且R（A）=2，则 * R A( ) = ； 解：因为A为四阶方阵，且秩为2，所以A的任何3 阶子式为零，而A的伴随矩阵 的元素为A的3阶 子式，故 为零矩阵，所以R A( )* = 0。 * A * A

3、设向量组01=(1,2,3)， @2=1,1,1),0%3=(1,3,t) 的秩为2，则归 解：对下面矩阵施行初等行变换 1 因为C,C必2，C的秩为2，所以4的秩也为2，故

3、设向量组 的秩为2，则t= ; 3  = (1,3, )t 1  = (1,2,3), 2  = (1,1,1), 解： 对下面矩阵施行初等行变换 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 3 ~ 0 1 1 ~ 0 1 1 3 1 0 2 3 0 0 5 A t t t             = − −             − − −       因为 1 2 3    , , 的秩为2，所以A的秩也为2，故 t = 5

4、已知n阶可逆阵A的任意行和 等于2，则4+2A的一个特征值 为 解：因为A的任意行和为2，所以 a 12 即2为A的一个特征值，x=(11…1)】 为对应的特征向量，(？+2A)x=Ax+2A1x =4x+x=5x所以5为+2A的一个特征值

4、已知n 阶可逆阵A的任意行和 等于2，则 的一个特征值 为 ； 2 1 A A2 − + 解：因为A的任意行和为2，所以 11 12 1 21 22 2 1 2 1 1 1 1 2 1 1 n n n n nn a a a a a a a a a                =                即2为A的一个特征值， (1 1 1) T x = 为对应的特征向量， 2 1 ( 2 ) A A x − + 2 1 A x A x 2 − = + = + = 4 5 x x x 所以5为 的一个特征值 。 2 1 A A2 − +

5、设A,B均为n阶方阵，且 A=2B=4,则 0 0 B1 解： s =22m4B=-222 -233 所以答案为-23-3

5、设A，B均为n阶方阵，且 A B = = − 2, 4, 则 * 1 0 2 0 A B −     =   。 解： * * 2 2 * 1 1 1 0 0 2 2 2 0 0 A A n n A B B B − − −     = =   1 1 2 2 1 3 3 2 1 2 2 2 2 2 n n n n n A B − − − − = = − = − 3 3 2 n− 所以答案为 −

二、 选择题 1.设B,C1,C2线性相关 B,C2,3线性无关 则正确的结论是 A.C1,C2,C3线性相关 B.C1,C2,a3线性无关 C.c%1可由B,C2,C3线性表示 D.B可由C,C2线性表示 答：正确的结论为C

二、选择题 1. 设    , ,1 2 线性相关 2 3    , , 线性无关, 则正确的结论是 B. , ,    1 2 3 线性无关 C. , ,     1 2 3 可由 线性表示 答: 正确的结论为C. A. , ,    1 2 3 线性相关 D. ,    可由 1 2 线性表示

2、设 ∫=2x2+x+x+2xx2+2x 为正定二次型，则t的取值范围 (at≤-2或t≥2；(b)t2: (c)-20 0 所以选(c)

2、设 222 2 2 1 2 3 1 2 2 3 f x x x x x tx x = + + + + 为正定二次型，则 t 的取值范围 解：因为f为正定二次型，所以 二次型矩阵A为正定矩阵，故A 的行列式大于零，即 2 2 2 1 0 1 1 0 0 1 t t A =  ( ) 2 a t  −  或 或 t 2;(b)t2； (c)-2<t<2;(d)-2 t 2.   解得 -2<t<2 所以选(c)

3、设A为m×n矩阵，B为n×m 矩阵，则下面结论正确的是。 (a)当m>时，必有AB ≠0： (b)当m>n时，必有AB=0: (c)当mn时，有 R(AB)≤R(A)≤n≤m, AB=0所以选(D)

3、设A为 m n  矩阵，B 为 nm 矩阵，则下面结论正确的是。 (b)当m>n时,必有 AB =0； ( ) a m n AB 当 时，必有 0；   (c)当 时，必有 0； m n AB   (d)当 时，必有 =0. m n AB  解：因为AB为m阶方阵，当 m n  时，有  = AB 0 所以选(b). R(AB) R(A)   n m

4、A为n阶方阵，则AA必为 (a) 正交阵；(b) 对称阵 (c)可逆阵；(d 正定阵。 解： .(A)平=AA 所以A严为对称矩阵

4、A为n阶方阵，则 必为 T A A (a) 正交阵； (b) 对称阵; (c) 可逆阵； (d) 正定阵。 解： ( ) T T T A A A A = 所以 为对称矩阵。 T A A