三、正定二次型的判别法 1.对于抽象的，用定义 2.对于具体的，用定理 例1.判别二次型 f=-5x2-6y2-4z2+4xy+4xz 的正定性 解：的矩阵为 因为-5=-50|A=-80<0 有定理13可知：为负定的
1. 对于抽象的，用定义； 2. 对于具体的，用定理. − − − = 2 0 4 2 6 0 5 2 2 A 解：f的矩阵为 13 . 26 0 | | 80 0. 2 6 5 2 5 5 0, 有定理 可知： 为负定的 因为 f = A = − − − − = − 2 2 2 5 6 4 4 4 . . f x y z xy xz = − − − + + 例1 判别二次型 的正定性
例2.设二次型 f=x2+2xx2+4xx3+2x3+6x2x3+ 为正定的，求1的取值范围 解：二次型f的矩阵为 112 而111>0 o 123=t-5 23 所以，当>5时，A的全部顺序主子式都大于零，从而A为正定的 而A所对应的二次型f为正定的
1 1 2 1 2 3 , 2 3 1 1 2 1 1 |1| 1 0, 1 0, 1 2 3 5. 1 2 2 3 5 . . = = = = − 解：二次型 的矩阵为 而 所以，当 时， 的全部顺序主子式都大于零，从而 为正定的 而 所对应的二次型 为正定的 f A t t t t A A A f 2 2 2 1 1 2 1 3 2 2 3 3 2 2 4 2 6 . . = + + + + + 例 设二次型 为正定的，求 的取值范围 f x x x x x x x x tx t
例3.己知方阵 3 2 2 4 -2 为正定矩阵，与A相似的对角矩阵是( W 解：因A为正定的，所以A的特征值全为正而A的相 似对角阵的主对角线上的元素恰是A的特征值.所以(b)和(d) 剔除；又因为所有的特征值之和等于A的迹，故（©）入选
, 7 6 1 , ( ) 7 4 1 , ( ) 10 0 2 , ( ) 11 1 1 ( ) − a b c d 解：因A 为正定的，所以A的特征值全为正.而A的相 似对角阵的主对角线上的元素恰是A的特征值.所以(b)和(d) 剔除；又因为所有的特征值之和等于A的迹，故(c) 入选. 3 2 0 2 4 2 0 2 5 . . A A = − − 例3 已知方阵 为正定矩阵，与 相似的对角矩阵是（ ）
例4.设对称矩阵A为正定的，试证 的伴随矩阵A也是正定的 证：因为A>0,所以A的特征值2>0(i=1,2,,n),A 的特征值三>0(i=1,2,,m),而A=1A的特征值为 L4=l2,…,m,于是A的特征值均大于零故A为正定矩 阵
. . A A A 例4 设对称矩阵 为正定的，试证： 的伴随矩阵 也是正定的 1 1 0 , 0( 1, 2, , ), 1 0 ( 1, 2, , ) , | | | | ( 1, 2, , ), . . i i i A A i n A i n A A A A i n A A − − = = = = 证：因为 所以 的特征值 的特征值 而 的特征值为 于是 的特征值均大于零故 为正定矩 阵
例5设A是阶正定矩阵，证明： |A+2E>2". 证因为A为阶的正定矩阵， 故存在正交矩阵P,使 P-AP=PTAP=A, 其中 且2>0(i=1,2,…,n)是A的特征值，因此
且 i 0(i =1,2, ,n)是A的特征值，因此 | 2 | 2 . n . A n A E + 例5设 是 阶正定矩阵，证明： 1 T 1 2 , , A P P AP P AP − = = = 证 因为 为 阶的正定矩阵， 故存在正交矩阵 使 其中 n n
A+2E=PAP+P(2E)P P(A+2E)P =P‖A+2E‖P1 =Λ+2E 2+2 22+2 2n+2 =(2+2)(2+2)…(2+2)>2
1 1 1 1 1 2 1 2 | 2 | | (2 ) | | ( 2 ) | | || 2 || | | 2 | 2 2 2 ( 2)( 2) ( 2) 2 . A E P P P E P P E P P E P E − − − − + = + = + = + = + + + = + = + + + n n n
例6设A为mxn矩阵，E是n阶 单位矩阵，已知矩阵B=入E+A”A, 试证当2>0时，B为正定矩阵 证因为BT=(2E+AA)=(EI+(AA) =AE+A(A)=AE+AA=B 所以B为对称矩阵 对任意n维实向量x,有 xBx=x(AE+AA)x=xAEx+xAAx =Ax"x+(Ax)"(Ax)=x+Ax 若x≠0，则有 x>0,4x≥0，所以当2>0时， xBx>0 故 B为正定矩阵
所以B为对称矩阵. 6 , 0 . T A E B E A A B = + 例 设 为 矩阵， 是 阶 单位矩阵，已知矩阵 试证 当 时， 为正定矩阵 m n n T T T T T T 证 因为 B E A A E A A = + = + ( ) ( ) ( ) T T T T = + = + = E A A E A A B ( ) T T T T T T n x x Bx x E A A x x Ex x A Ax = + = + 对任意 维实向量 ，有 ( ) T T 2 2 = + = + x x Ax Ax x Ax ( ) ( ) T 0 0 0 0 0 . x x Ax x Bx B 若 则有 ， 所以当 时， 故 为正定矩阵 , ,
例7设A为m阶实对称矩阵，且正定， B为m×n实矩阵，试证：BTAB为正定矩 阵的充分必要条件是R(B)=n. 证必要性设B'AB为正定阵，则对于任意维 实向量x≠0，有 xT(BTAB)x>0. 即 (Bx)A(Bx)>0, 又因为A是正定，于是 Bx≠0 因此 Bx=0只有零解，从而 R(B)=n. 充分性. 因为(BAB)T=BA(B)I=BAB 故BAB为实对称定阵
T ( ) . A B B AB R B = 例7 设 为 阶实对称矩阵，且正定， 为 实矩阵，试证： 为正定矩 阵的充分必要条件是 m m n n T T T T . ( ) 0, ( ) 0, , ( ) . B AB x x B AB x Bx A Bx A Bx Bx R B = = 证 必要性设 为正定阵，则对于任意 维 实向量 ，有 即 （ ） 又因为 是正定，于是 因此 只有零解，从而 0 0 0 n n T T T T T T T 充分性 因为 . B AB B A B B AB ( ) ( ) = = T 故 为实对称定阵 B AB
若R(B)=n,则线性方程组Bx=0 只有零解，从而对任意维列向量x≠0， 有Bx≠0 又因为为正定矩阵，所以对于 Bx≠0， 有 (Bx)A(Bx)>0. 于是当Bx≠0时， x(BTAB)x>0 故BAB为正定阵
( ) . R B Bx x Bx = = 若 ，则线性方程组 只有零解，从而对任意 维列向量 ， 有 0 0 0 n n T T T T ( ) ( ) 0. ( ) 0 . A Bx Bx A Bx Bx x B AB x B AB 又因为 为正定矩阵，所以对于 ， 有 于是当 时， 故 为正定阵 0 0
作业，163页13、14(2)、15
作业; 163页 13、14（2）、15
