例8：验证C=(1,-1,0)7 a2=(2,1,3)了，0=(3,1,2)月 为R的一个基，并把 B=(5,0,7)'; B=(-9,-8,-13)了用这个基线性表示 (或求B,B在这组基下的坐标) 解 要证C1,02,C3是R的一组基，只须证 C1,C2,C3线性无关即可，即只须证AE」 若A经过行初等变换变为E,即有P1,P2,P 使PP2…pA=E,则PP2…p,=A
例8：验证 1 (1, 1, 0 ) , T = − 2 3 ( 2 ,1, 3 ) , ( 3 ,1, 2 ) T T = = 为 3 R 的一个基，并把 1 2 ( 5 , 0 , 7 ) ; ( 9 , 8 , 13 ) T T = = − − − 用这个基线性表示 (或求 1, 2 在这组基下的坐标). 解 要证 是 的一组基, 1 2 3 , , 3 R 1 2 3 , , 只须证 线性无关即可, 即只须证A~E. 若A经过行初等变换变为E,即有 1 2 , , , p p pl 使 1 2 , p p p A E l = 则 1 1 2 . l p p p A− =
设月=xa1+x22+x1, f2=X12C%1+x2202+x32C3) 即 X1 X12 (B,f2)=(a,a2,a3) X21 X22 X31 X32 记作B=AX 则 AB=X即 PP2…PB=X, 于是有 (行初 PP2P,(A:B)=(E:X当A变成E时 C,C2,a3为R的一个基
1 11 1 21 2 31 3 设 = + + x x x , 2 12 1 22 2 32 3 = + + x x x , 即 11 12 1 2 1 2 3 21 22 31 32 ( , ) ( , , ) x x x x x x = 记作 B=AX 则 1 A B X − = 即 1 2 , p p p B X l = 于是有 ( 1 2 ( ) ( ) p p p A B E X l = 行初) 当 A 变成 E 时, 1 2 3 , , 为 3 R 的一个基
且当A变成E时，B变成 X=A1B,所以 1235 -9 11 0-8 032.7-13 1235-9 1235-9 0345-17 ~0345-17 0327-13 00-224
且当 A 变成 E 时, B 变成 1 X A B, − = 所以 1 2 3 5 9 1 1 1 0 8 0 3 2 7 13 − − − − 1 2 3 5 9 1 2 3 5 9 ~ 0 3 4 5 17 ~ 0 3 4 5 17 0 3 2 7 13 0 0 2 2 4 − − − − − −
208 -3 -3 -2 3 -3 0 -1-2 所以A~E,故C,C2,3是R的一个基，且 月=2a1+3a2-,B2=3%1-32-2%3
1 2 0 8 3 ~ 0 1 0 3 3 0 0 1 1 2 − − − − 1 0 0 2 3 ~ 0 1 0 3 3 0 0 1 1 2 − − − 所以 A ~ E ,故 1 2 3 , , 3 是 R 的一个基 ,且 1 1 2 3 2 1 2 3 = + − = − − 2 3 , 3 3 2
例9：设04s0Q,是一组 n维向量，已知n维单位坐标 向量，C2,…,en能由它们线 性表示，证明 %1,02,“,0 线性无关 证因为C；…,C能由，gs…,Cn线性表示， 而任意n维向量都能由n维向量组e,e2,,e 线性表示，所以向量组%，C2,,Cm能由C,2,en 线性表示因此它们等价又因为，C,‘,C,的 秩为n,所以C1O2,C,的秩亦为n.故 ,02,C线性无关
例9：设 1 2 , , , n 是一组 1 2 , , , n n维向量，已知n维单位坐标 向量 能由它们线 性表示，证明 线性无关. 1 2 , , , n e e e 证 因为 e e e 1 2 , , , n 能由 1 2 , , , n 线性表示， 1 2 , , , n 而任意n维向量都能由n维向量组 e e e 1 2 , , , n 线性表示,所以向量组 1 2 , , , n 能由 e e e 线性表示.因此它们等价.又因为 的 秩为n,所以 的秩亦为n.故 1 2 , , , n e e e 1 2 , , , n 1 2 , , , n 线性无关
利用上题我们还可证明下面结论 例10：设C%,C以2，·，0，是一组n维 向量，证明它们线性无关的充分必 要条件是：任一n维向量都可由它 们线性表示 解必要性：由4，Q,…,0,线性无关，对于任意 n维向量Q,都有C以，C2,…,Cn,C以线性相关， 所以任意向量QX都可由向量组C1,2,,C, 线性表示
利用上题我们还可证明下面结论. 1 2 , , , 例10:设 n 是一组n维 向量,证明它们线性无关的充分必 要条件是:任一n维向量都可由它 们线性表示. 1 2 , , , 解 必要性 n :由 线性无关,对于任意 n维向量 ,都有 线性相关, 所以任意向量 都可由向量组 线性表示; 1 2 , , , , n 1 2 , , , n
充分性：由任意n维向量都可由 向量组Q,C,,Qm线性表 示，所以单位坐标向量组 已y,Cn可由01,02，…，Ca 线性表示，由上题可知C,C2,,C, 线性无关
充分性:由任意n维向量都可由 向量组 线性表 示,所以单位坐标向量组 可由 线性表示,由上题可知 1 2 , , , n 1 2 , , , n e e e 1 2 , , , n 1 2 , , , n 线性无关
例11：求齐次线性方程组 x-8x3+10x3+2x4三0 2x1+4x2+5x3-x4=0 3x1+8x2+6x3-2x4=0 的基础解系 解对系数矩阵A施行初等行变换 -8 10 2 -810 2 2+(-2)万 A= 2 4 020-15 -5 38 3+(-3)n 6 -2 032-24 -8
例11:求齐次线性方程组 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 8 10 2 0 2 4 5 0 3 8 6 2 0 x x x x x x x x x x x x − + + = + + − = + + − = 的基础解系. 解 对系数矩阵A施行初等行变换 1 8 10 2 2 4 5 1 3 8 6 2 A − = − − 2 1 3 1 ( 2) ( 3) 1 8 10 2 0 20 15 5 0 32 24 8 ~ r r r r + − + − − − − − −
-8 2 2÷5 3÷8 +2 3+(-1) 取x3,x4为自由未知量 得齐次线性方程组的 基础解系为 4景0子
2 3 5 8 1 8 10 2 0 4 3 1 0 4 3 1 ~ r r − − − − − 1 2 3 2 2 ( 1) 1 0 4 0 0 4 3 1 0 0 0 0 ~ r r r r + + − − − 取 为自由未知量 得齐次线性方程组的 基础解系为 3 4 x x, 1 2 3 1 4, , 1, 0 , 0, , 0, 1 4 4 T T = − =
例12：设四元非齐次线性方程 组的系数矩阵的秩为3，已知 71,72,73是它的三个解向量」 且 3 2 7 4 ,72+73 3 5 求该方程组的通解 解 由系数矩阵的秩为3，所以基础解系只含 个解向量，又因为两个非齐次线性方程组的解 的差为对应齐次线性方程组的解；两个非齐次 线性方程组解的和的一半仍然为它的解
例12:设四元非齐次线性方程 组的系数矩阵的秩为3,已知 1 2 3 , , 是它的三个解向量, 且 1 2 3 2 1 3 2 , 4 3 5 4 = + = 求该方程组的通解. 解 由系数矩阵的秩为3,所以基础解系只含一 个解向量,又因为两个非齐次线性方程组的解 的差为对应齐次线性方程组的解；两个非齐次 线性方程组解的和的一半仍然为它的解