计算方法 吉林大学 王新民
吉 林 大 学 王新民
绪论 《计算方法》课程研究的对象与意义： 本门课程是一门应用性较强的专业基础课。既具 有基础理论又有实际应用背景。为了搞清它所研究的 对象和研究它的实际意义，我们举几个例子：
绪 论 《计算方法》课程研究的对象与意义: 本门课程是一门应用性较强的专业基础课。既具 有基础理论又有实际应用背景。为了搞清它所研究的 对象和研究它的实际意义，我们举几个例子：
例1：大量实际问题中的函数关系是用表格法给出的，如测 得铜导线在温度时的电阻如下表： 19.1 25.0 30.1 36.0 40.0 45.1 50.0 76.30 77.80 79.25 80.80 82.35 83.90 85.10 求电阻和温度之间的关系
例1 ：大量实际问题中的函数关系是用表格法给出的，如测 得铜导线在温度时的电阻如下表： 1 2 3 4 5 6 7 19.1 25.0 30.1 36.0 40.0 45.1 50.0 76.30 77.80 79.25 80.80 82.35 83.90 85.10 k x y 求电阻和温度之间的关系
解决这类问题通常的步骤如下： (1)用一坐标纸将值描于图上：
解决这类问题通常的步骤如下： (1)用一坐标纸将值描于图上: x y
一般地，给定一组数据(x,y),k=12,n。涉及到： 如何选择一个最佳逼近多项式 Pn(x)=a。+ax++anx 使得 8a4a)-2V)-(》 取最小
使得 取最小。 一般地，给定一组数据( ) 1 2 k k x y k ， ， ，， ，n = 。涉及到： 如何选择一个最佳逼近多项式 ( ) ( ( ) ( )) 2 0 1 1 , , , n n k n k k a a a f x P x = = − ( ) 0 1 n P x a a x a x n n = + + +
(2)凭视觉知，(x,y)在二条直线上的两侧附近，于是可设 x与y近似的成直线关系： y≈y=a+bx(称为数学模型) 显然，y,与实测值有误差 E=y-y=y-(a+bx),k=1,2,…,n 它是衡量被确定的参数α和b好坏的重要标志，可以规 定许多原则来确定参数a和b。例如，可选择a和b, 使残差，的平方和达到最小，即使∑为最小
(2)凭视觉知，( x y i i , )在一条直线上的两侧附近，于是可设 x与y近似的成直线关系： 显然， k y 与实测值 k y 有误差 ^ ( ), 1,2, , k k k k k = − = − + = y y y a bx k n 它是衡量被确定的参数 a 和 b 好坏的重要标志，可以规 定许多原则来确定参数 a 和 b 。例如，可选择 a 和 b ， 使残差 k 的平方和达到最小，即使 2 k k 为最小。 y y a bx = + （称为数学模型）
例2：对象是连续的，但我们只能了解到其有限个数据。 学了微积分之后，我们常常有这样的喜悦：任何曲面的面积 及任何物体的体积都可以用积分方法来处理。这种喜悦是应当 有的，也是可以理解的。但是以为这就已经可以解决问题了， 那就错了。深入一想，我们所学过的方法都有一个共同的要求， 就是要求有表示曲线、曲面的公式。也就是在实际中，有没有 这样的表达公式？例如说，在估计矿藏储量时，有没有一个表 示这矿体周围的解析公式？又如在估计山坡面积时，有没有 个z=f(x,y)表示这曲面的公式。在实际情况中是没有的。一来 由于我们不可能对每一点都进行实测，二来由于即使对刊矿体测 了很多点，但也是不能够求出曲面的表达式来的，即使拼拼凑 凑找出个公式，但在求积分的时候，依然是积不出来的时候多。 因而矿体和山坡虽然是连续分布的，但是我们还是必须用离散 的方法才能估计体积及面积。 但这并不是说微积分里求面积体积的公式没有用了，这儿是 说，必须看看怎样才能用得上，并且将发现，理论是有用的， 它能给我们提供具体的线索
例2 ： 对象是连续的，但我们只能了解到其有限个数据。 学了微积分之后，我们常常有这样的喜悦：任何曲面的面积 及任何物体的体积都可以用积分方法来处理。这种喜悦是应当 有的，也是可以理解的。但是以为这就已经可以解决问题了， 那就错了。深入一想，我们所学过的方法都有一个共同的要求， 就是要求有表示曲线、曲面的公式。也就是在实际中，有没有 这样的表达公式？例如说，在估计矿藏储量时，有没有一个表 示这矿体周围的解析公式？又如在估计山坡面积时，有没有一 个 表示这曲面的公式。在实际情况中是没有的。一来 由于我们不可能对每一点都进行实测，二来由于即使对矿体测 了很多点，但也是不能够求出曲面的表达式来的，即使拼拼凑 凑找出个公式，但在求积分的时候，依然是积不出来的时候多。 因而矿体和山坡虽然是连续分布的，但是我们还是必须用离散 的方法才能估计体积及面积。 但这并不是说微积分里求面积体积的公式没有用了，这儿是 说，必须看看怎样才能用得上，并且将发现，理论是有用的， 它能给我们提供具体的线索。 z f x y = ( , )
例3：最速降线问题 设处在同一铅垂平面上的两点4(0,0)和B(x,y),由一条光滑 的曲线轨道从到受重力作用自由下滑，摩擦阻力忽略不计，求 重物下降最快的路径。 A(0,0 P(x,y) B(y)
例 3:最速降线问题 设处在同一铅垂平面上的两点A(0,0)和B x y ( i i , )，由一条光滑 的曲线轨道从到受重力作用自由下滑，摩擦阻力忽略不计，求 重物下降最快的路径。 B x y ( i i , ) A(0,0) v P x y ( , )
分析：下降最快，即所需时间最短，所以我们来考察 重物从A到B沿曲线Y=y(x)下滑所需的时间。如图，设从4 点至曲线任一点P(,y)达到了速度v,据能量守恒原理， ds dx 而ds=√1+y2d,于是有 -dx 2gy 故重物从A点沿曲线Y=y(x)下滑到B点所需时间为
分析：下降最快，即所需时间最短，所以我们来考察 重物从A到B沿曲线Y y x = ( )下滑所需的时间。如图，设从A 点至曲线任一点P x y ( , )达到了速度v，据能量守恒原理， 2 , ds v gy dx = = 而 2 ds y dx = +1 , 于是有 2 1 2 y dt dx gy + = 故重物从A点沿曲线Y y x = ( )下滑到B点所需时间为 1 2 0 0 1 2 T x y T dt dx gy + = =
这样，就建立了一个函数关系I=T[y(x)门（称为泛函数）。 于是问题归结为 求yeK={yyec[0,x]y(0)=0y(x)=y},使满足 T(y）=minT(y) 这是一个变分问题。许多实际问题都可以归结为这样 一个变分问题。 要求得一个变分问题的准确解几乎是不可能的。因为 y的所属空间k是无限维的。通常用有限维空间V。去替 代K,这样就可用V,中的一组基底去表示任一元素。从 而可以把变分问题化为一个线性代数方程组去求解。即 Ritz-Galerkin方法，有限元法就是这一方法的延续和发 展
这样，就建立了一个函数关系T T y x = ( ) （称为泛函数）。 于是问题归结为 求 ( ) ( ) 1 1 1 1 y K y y c x y y x y : 0, , 0 0, = = = ，使满足 ( ) min ( ) y K T y T y = 这是一个变分问题。许多实际问题都可以归结为这样 一个变分问题。 要求得一个变分问题的准确解几乎是不可能的。因为 y的所属空间 k 是无限维的。通常用有限维空间 Vn 去替 代 K，这样就可用 Vn 中的一组基底去表示任一元素。从 而可以把变分问题化为一个线性代数方程组去求解。即 Ritz-Galerkin 方法，有限元法就是这一方法的延续和发 展