南阳师范学院：《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第九章 重积分及曲线积分 9.4三重积分

§9.4三重积分 三重积分 的概念 三重积分 三重积分 的计算 的应用

§9.4 三重积分 三重积分 的计算 三重积分 的概念 三重积分 的应用

三重积分的概念 1.背景：设在空间有限闭区域2内分布着某种不均匀的物质 密度函数为4(x,y,z)∈C,求分布在2内的物质的质量M 求曲顶柱体体积的思路 求物质质量的思路 (1)分割：用曲线网把D分成 (1)分割：用曲线网把空间闭区域2分成 n个小闭区域△o1,△o2,·,△on n个小的空间闭区域AV,△V2,·,△Vn. (2)近似计算：用平顶柱体体积 (2)近似计算：用均匀闭区域的物质的质量 近似表示小曲顶柱体的形的体积 近似表示小空间闭区域上物质的质量 即△V≈f(5,n,)△o 即AM,≈4(5,7,5i)△V (3)求和V=2AW≈2f传，n)△a, (3)求和M=∑AM,*2M5,n,5)Ay (4)取极限V=lim∑f5,7)△o (4)取极限M=lim∑μ(5，n,5)△ 0=1

一、 三重积分的概念 1.背景: 设在空间有限闭区域  内分布着某种不均匀的物质 密度函数为 (x, y,z)C, 求分布在  内的物质的质量 M （1）分割：用曲线网把 D 分成 n 个小闭区域 1  2      n  （2）近似计算：用平顶柱体体积 近似表示小曲顶柱体的形的体积 即 ( , )    V f i i i i    （3）求和 1 1 ( , ) n n i i i i i i V V f            求曲顶柱体体积的思路 （4）取极限 i i i n i V f         lim  ( , ) 1 0 （1）分割：用曲线网把空间闭区域  分成 n 个小的空间闭区域V 1 V 2     Vn  （2）近似计算：用均匀闭区域的物质的质量 近似表示小空间闭区域上物质的质量 即 ( , , )    M V i i i i i     （3）求和 1 1 ( , , ) n n i i i i i i i M M V             求物质质量的思路 （4）取极限 0 1 lim ( , , ) n i i i i i M V          

三重积分的概念 2. 三重积分的定义 设fx,y,)是空间有界闭区域2上的有界函数 (1)将空间闭区域2任意分成n个空间小闭区域△V1,△V2,·,△Vm.其中△V:表示第 i个空间闭区域，也表示它的体积. (2)在每个△V上任取一点(5，n,5),作乘积f(5,n,5)△，并作和2f5,n,5)AY. (3)如果当无限增大且各小闭区域的直径中的最大值2趋于零时，这和的极限总存在 则称此极限为函数fx,y,z)在闭区域2上的三重积分，记作川f(x,y,z)业，即 即 f(x.y.dv-lim()v, 元→0i=1 2 2 f(x,八，z) x,y,2 f(x,y,=)dv dv f(Gn5)AV 积分区域 被积表达式 体积元素 id 被积函数 积分变量 积分和 注记1：三重积分具有与二重积分相似的性质

2. 三重积分的定义 一、 三重积分的概念 设 f x y z ( , , )是空间有界闭区域  上的有界函数 （1）将空间闭区域  任意分成 n 个空间小闭区域V 1 V 2     Vn  其中Vi表示第 i 个空间闭区域也表示它的体积 （2）在每个Vi上任取一点( , , )    i i i ,作乘积 ( , , ) , i i i i f V     并作和 1 ( , , ) n i i i i i f V        （3）如果当n 无限增大且各小闭区域的直径中的最大值  趋于零时 这和的极限总存在 则称此极限为函数 f x y z ( , , )在闭区域  上的三重积分 记作 f x y z dV ( , , )    即 即 0 1 ( , , ) lim ( , , ) n i i i i i f x y z dV f V             积分区域 f x y z ( , , ) 被积函数 x y z , , 积分变量 f x y z dV ( , , ) 被积表达式 dV 体积元素 1 ( , , ) n i i i i i f V       积分和 注记 1：三重积分具有与二重积分相似的性质

二、三重积分的计算 直角坐标下的计算方法 投影法（先一后二） 截面法（先二后一） 二=z2(x,y) 把积分区域2投影 把积分区域2投影 到xoy坐标面上 到z轴上 6 (x,y)≤z≤2(x,y) 12=x,y)1 (x,y)∈D 2: 2: (x,y)∈Dw a≤z≤b a x/ ddx)d= 0 记作 dxdd 记作 ∫ia∬x.y.2)dxdy D 截面法的适用范围：(1)被积函数只含一个变量；(2)截面面积易求

直角坐标下的计算方法 二、 三重积分的计算 投影法（先一后二） 截面法（先二后一） 把积分区域 投影 到xoy坐标面上 1 2 ( , ) ( , ) : ( , ) xy z x y z z x y Ω x y D       ( , ) 1 z  z x y ( , ) 2 z  z x y Dxy 把积分区域 投影 到z轴上 a b z Dz  x y z O f x y z v ( , , )d   Dxy  dxdy   2 1 ( , ) ( , ) ( , , )d z x y z x y f x y z z  2 1 ( , ) ( , ) d d ( , , )d xy z x y z x y D x y f x y z z   记作 f x y z v ( , , )d      b a ( , , )d d Dz f x y z x y  d ( , , )d d z b a D z f x y z x y   dz 记作 截面法的适用范围: （1）被积函数只含一个变量 ；（2）截面面积易求

二、三重积分的计算 例1.计算三重积分 xdxdydz, 例2.计算三重积分 z2dxdydz, 其中2为三个坐标面及平面 x+2y+z=1所围成的闭区域. 其中2 Z↑ 解：把积分区域2投影 解：由于被积函数只有一个变量，因此用 到xoy坐标面上，得 平行于xoy的平面去截空间闭区域2 2:0≤z≤1-x-2y 得到截面是一个椭圆，因此 0≤y≤(1-x) -c≤z≤c 0≤x≤1 2: 所以 .y2 ∬ddt-6dr心dy的 -x-2)d 所以 -JxdxQ-x-2y)dy j∬。dxdyd:=∫2d=f.dxdy -2x2+ =子a1地

二、 三重积分的计算 例1. 计算三重积分 x x y z d d d ,   其中 为三个坐标面及平面 x  2y  z 1 所围成的闭区域 . 1 x y z 1 2 1 O 解：把积分区域 投影 到xoy坐标面上，得 1 2 :0 1 2 0 (1 ) 0 1 Ω z x y y x x          所以 x x y z d d d    x y z 1 2 0 d       (1 ) 0 1 0 2 1 d (1 2 )d x x x x y y     1 0 2 3 ( 2 )d 4 1 x x x x 48 1  例2. 计算三重积分 其中 解：由于被积函数只有一个变量，因此用 平行于xoy的平面去截空间闭区域 得到截面是一个椭圆，因此 2 2 2 2 2 2 : : 1 z c z c Ω x y z D a b c            x y z a b c Dz z 所以 2 z x y z d d d    Dz d xd y  c c z d z 2    c c z c z 2 z π ab(1 )d 2 2 2 3 π 15 4  abc

二、三重积分的计算 柱面坐标 柱面坐标下的计算方法 设M(x,y,)∈R,将x,y用极坐标p,p代替， dxdydz=pdpdodz 则(p,p,z)就称为点M的柱面坐标 直角坐标与柱面坐标的关系： 0∬fxg:add: 2 x=pcoso 0≤p<+0 y=psino 0≤p≤2π -()pdpdodz -00<z<+0 2= p=常数 圆柱面 适用范围： p=常数 (1)积分域表面用柱面坐标表示时方程简单 半平面 z=常数 平面 (2) 被积函数用柱面坐标表示时变量互相分离

柱面坐标下的计算方法 二、 三重积分的计算 柱面坐标 3 设M x y z x y ( , , ) R , , , ,  将 用极坐标 代替 则（ , , ) M z 就称为点 的柱面坐标 直角坐标与柱面坐标的关系: 0 0 2 π z                      y    sin z  z x    cos  常数 圆柱面  常数 半平面 z 常数 平 面 f x y z x y z ( , , )d d d      d d dz d d d d d d x y z z     适用范围: （1） 积分域表面用柱面坐标表示时方程简单 （2） 被积函数用柱面坐标表示时变量互相分离

二、三重积分的计算 例3.利用柱面坐标计算 zdxdydz, 训练1： 利用柱面坐标计算川F+dxdd 其中2为半球体x2+y2+z2≤R,z≥0 其中2为柱面x2+y2=4z与平面面 解：把积分区域2投影 z=0,z=a(a>0),y=0围成的半圆柱体 -F- 到xoy坐标面上，得 投影区域为半径为R的 Ry 圆形闭区域 D:0≤p≤R0≤p≤2π 所以2：0≤p≤R,0≤p≤2π，0≤z≤VR2-p 0=2c0S0 JJ:dwdd:--J∬pdpdd 训练2：利用柱面坐标计算 dxdydz =rdoinnjTde 1+x2+y 2 其中2为柱面x2+y2=4z与平面面 =pp2-R2)dp=平R 4 z=h(h>O)围成的闭区域

二、 三重积分的计算 例3. 利用柱面坐标计算 z x y z d d d ,   其中 为半球体 2 2 2 2 x y z R z     , 0 解：把积分区域 投影 到xoy坐标面上，得 所以 z x y z z z d d d d d d         2 2 2 0 0 0 d d d R R z z           2 2 0 ( )d R       R  4 4 R   R R y z x R o 2 2 2 z  R  x  y 投影区域为半径为R的 圆形闭区域 D R :0 ,0 2        2 2         :0 ,0 2 ,0     R z R 训练1：利用柱面坐标计算 2 2 z x y x y z d d d    其中 为柱面 2 2 x y z   4 与平面面 z z a a y     0, ( 0), 0 围成的半圆柱体 2 a x y z O   2cos 训练2：利用柱面坐标计算 2 2 d d d 1 x y z x y     其中 为柱面 z h h   ( 0) 围成的闭区域 2 2 x y z   4 与平面面 O x y z h

三、三重积分的应用 空间中有n个质点，它们分别位于 物体占有空间区域Ω上的闭区域， (x,片，5)，(x2,2,2)2…(xn,yn,n) 在点(x,y,)处的面密度 处，质量分别为m,m,…,m.则该质点 为(x,y,)(在2上连续)则物质 的重心的坐标为对x,y,z轴的转动惯量为 的重心坐标及对x轴y轴z轴的转动惯量为 1=2m0y2+2) x= 川 xu(x,y,=)dv L=川n0y+4xy,2)d M 川nxy)d亚 M 2 ,-空mw+动 -孤uar ∬na(x,y)dV 1,=j+μxy) Mms.x.av L.=(x+y)μxyad

三、 三重积分的应用 空间中有 n 个质点，它们分别位于 1 1 1 2 2 2 ( , , ), ( , , ), , ( , , ) n n n x y z x y z x y z  处，质量分别为m m mn , , , 1 2  ．则该质点 的重心的坐标为 对 x y z , , 轴的转动惯量为 物体占有空间区域  上的闭区域， 在点( , , ) x y z 处的面密度 为( , , ) x y z （在上连续）则物质 的重心坐标及对 x 轴 y 轴 z 轴的转动惯量为 ( , , )d , ( , , )d x x y z V x x y z V        ( , , )d ( , , )d y x y z V y x y z V              n i i n i i i y m m x M M x 1 1       n i i n i i i x m m y M M y 1 1 1 1 n k k k n k k z m z m      ( , , )d ( , , )d z x y z V z x y z V        2 2 ( ) ( , , )d x I y z x y z V      2 2 ( ) ( , , )d y I x z x y z V      2 2 ( ) ( , , )d z I x y x y z V      2 2 1 ( ) n x i i i i I m y z     2 2 1 ( ) n y i i i i I m x z     2 2 1 ( ) n z i i i i I m x y    

三、三重积分的应用 例4闭区域2为z=√R2+少和：=2-x2-y 例5求2：x2+y2+z2≤a2对z的转动惯量 围成，求2的形心 其中球体的密度为4 分析：(1)显然闭区域2是以z为轴的 分析：（1)2对z的转动惯量为 旋转体，因此其形心一定在z轴上，即 1.=∬。x+yμdr 川ndr x=0,=0,三= 川ndr (2)在柱面坐标下，闭区域2是 (2)在柱面坐标下，闭区域2是 -Va2-p2≤z≤Va2-p p≤z≤2-p2,0≤0≤2π，0≤p≤1 0≤p≤2π，0≤p≤a 3)川。dr=dod 3)j∬nx2+yudw ④j川。dr=dofedd= =uf"oefpdp小d:

例 4 闭区域 为 2 2 z x y   和 2 2 z x y    2 三、 三重积分的应用 围成，求 的形心. 分析：（1）显然 闭区域 是以 z 为轴的 旋转体，因此其形心一定在 z 轴上，即 d 0, 0, d z V x y z V        （2）在柱面坐标下， 闭区域 是 2             z 2 ,0 2 ,0 1 2 2 1 2 0 0 3 d d d d z V z z          （ ）    2 2 1 2 0 0 4 d d d d V z          （ ）    例 5 求  ： 2 2 2 2 x y z a   + 对 z 的转动惯量 其中球体的密度为  分析：（1） 对 z 的转动惯量为 2 2 ( ) d z I x y V      （2）在柱面坐标下， 闭区域 是 2 2 2 2      a z a   0 2 ,0        a 2 2 3 ( ) d x y V    （ ） 2 2 2 2 2 3 0 0 d d d a a a z              

部分考研真题 1(15年，4分)设2是有平面x+y+z=1与三个坐标平面所围成的空间区域，则 ∬。(c+2+3z)dxt= 2(13年，10分)设直线L过点4(1,0,0)，B01,1)两点，L绕Z轴旋转一周得到曲面∑ ∑与平面z=0,2=2围成立体为2， 求（1)求曲面∑的方程(2)求2的形心坐标

部分考研真题 1 (15 年，4 分) 设 是有平面 x y z   1与三个坐标平面所围成的空间区域，则 ( 2 +3 ) x y z d xdydz     ------------- 2 (13 年，10 分) 设直线 L 过点 A B (1,0,0), (0,1,1)两点，L绕 Z 轴旋转一周得到曲面  与平面 z z   0, 2围成立体为， 求（1）求曲面 的方程（2）求的形心坐标