华东师范大学：《现代数值分析》课程教学课件（数值线性代数）课程介绍 Numerical Linear Algebra

现代数值分析 数值线性代数 潘建瑜 华东师范大学数学系

现 代 数 值 分 析 数 值 线 性 代 数 潘建瑜 华东师范大学数学系

秦 数值分析是什么 Numerical analysis:the study of quantitative approximations to the solutions of mathe- matical problems including consideration of and bounds to the errors involved. 一The dictionary by Merriam-Webster(韦氏英语词典)，2021 Numerical analysis the study of methods of approximation and their accuracy,etc. 一The Chambers Dictionary(钱伯斯英语词典)，2021 Numerical analysis is the study of algorithms for solving the problems of continuous mathematics,by which we mean problems involving real or complex variables -Lloyd N.Trefethen,Princeton Companion to Mathematics,2008 邑LN.Trefethen,Numerical Analysis,,Princeton Companion to Mathematics,2008.(普林斯顿数学指南) http://math.ecnu.edu.cn/~jypan 1/14

数值分析是什么 Numerical analysis: the study of quantitative approximations to the solutions of mathe￾matical problems including consideration of and bounds to the errors involved. —— The dictionary by Merriam­Webster (韦氏英语词典), 2021 Numerical analysis the study of methods of approximation and their accuracy, etc. —— The Chambers Dictionary (钱伯斯英语词典), 2021 Numerical analysis is the study of algorithms for solving the problems of continuous mathematics, by which we mean problems involving real or complex variables. —— Lloyd N. Trefethen, Princeton Companion to Mathematics, 2008  L.N. Trefethen, Numerical Analysis, Princeton Companion to Mathematics, 2008. (普林斯顿数学指南) http://math.ecnu.edu.cn/~jypan 1/14

秦 计算数学 1947年Von Neumann和Goldstine在《美国数学会通报》发表了题为“高阶矩 阵的数值求逆”的著名论文，开启了现代计算数学的研究。 一般来说，计算数学主要研究如何求出数学问题的近似解（数值解），包括算法 的设计、分析与计算机实现。 计算数学主要研究内容： 数值代数，数值逼近，数值微积分，微分方程数值解，数值优化等 http://math.ecnu.edu.cn/~jypan 2/14

计算数学 1947 年 Von Neumann 和 Goldstine 在《美国数学会通报》发表了题为“高阶矩 阵的数值求逆”的著名论文, 开启了现代计算数学的研究。 一般来说, 计算数学主要研究如何求出数学问题的近似解 (数值解), 包括算法 的设计、分析与计算机实现。 计算数学主要研究内容: 数值代数, 数值逼近, 数值微积分, 微分方程数值解, 数值优化等 http://math.ecnu.edu.cn/~jypan 2/14

秦 为什么计算数学 计算科学是21世纪确保国家核心竞争能力的战略技术之一。 一计算科学：确保美国竞争力，2005年总统信息技术咨询委员会报告 科学计算是20世纪重要科学技术进步之一，已与理论研究和实验研究相并列 成为科学研究的第三种方法.现今科学计算已是体现国家科学技术核心竞争力 的重要标志，是国家科学技术创新发展的关键要素 一国家自然科学基金·重大项日指南，2014 科学计算的核心/数学基础：计算数学 http://math.ecnu.edu.cn/~jypan 3/14

为什么计算数学 计算科学是 21 世纪确保国家核心竞争能力的战略技术之一。 —— 计算科学: 确保美国竞争力，2005 年总统信息技术咨询委员会报告 科学计算是 20 世纪重要科学技术进步之一, 已与理论研究和实验研究相并列 成为科学研究的第三种方法. 现今科学计算已是体现国家科学技术核心竞争力 的重要标志, 是国家科学技术创新发展的关键要素 —— 国家自然科学基金 · 重大项目指南, 2014 科学计算的核心/数学基础: 计算数学. http://math.ecnu.edu.cn/~jypan 3/14

国家自然科学基金委员会关于计算数学的分类(2018)： 秦 ·计算数学与科学工程计算(A0117) -偏微分方程数值解(A011701) -流体力学中的数值计算(A011702) -一般反问题的计算方法(A011703) ·常微分方程数值计算(A011704) ·数值代数(A011705) -数值逼近与计算几何(A011706 -谱方法及高精度数值方法(A011707) -有限元和边界元方法(A011708) -多重网格技术与区域分解(A011709) -自适应方法(A011720) -并行计算(A011711) ·运筹学（数值最优化，非线性方程，…） http://math.ecnu.edu.cn/~jypan 4/14

国家自然科学基金委员会关于计算数学的分类 (2018): • 计算数学与科学工程计算 (A0117) ­ 偏微分方程数值解 (A011701) ­ 流体力学中的数值计算 (A011702) ­ 一般反问题的计算方法 (A011703) ­ 常微分方程数值计算 (A011704) ­ 数值代数 (A011705) ­ 数值逼近与计算几何 (A011706) ­ 谱方法及高精度数值方法 (A011707) ­ 有限元和边界元方法 (A011708) ­ 多重网格技术与区域分解 (A011709) ­ 自适应方法 (A011720) ­ 并行计算 (A011711) • 运筹学 (数值最优化, 非线性方程, ...) http://math.ecnu.edu.cn/~jypan 4/14

国家自然科学基金委员会关于计算数学的分类(2021)： 秦 ·A05计算数学 -A0501算法基础理论与构造方法 -A0502数值代数 -A0503数值逼近与计算几何 -A0504微分方程数值计算 -A0505反问题建模与计算 ~A0506复杂问题的可计算建模与数值模拟 -A0507新型计算方法 ·A04统计与运筹：连续优化，离散优化，随机优化与统计优化，… ·A06数学与其他学科的交叉：符号计算，人工智能，数据科学 -A0813计算固体力学 -A0910计算流体力学 ·F02计算机科学：信息安全，数据科学与大数据计算 ·F06人工智能 http://math.ecnu.edu.cn/~jypan 5/14

国家自然科学基金委员会关于计算数学的分类 (2021): • A05 计算数学 ­ A0501 算法基础理论与构造方法 ­ A0502 数值代数 ­ A0503 数值逼近与计算几何 ­ A0504 微分方程数值计算 ­ A0505 反问题建模与计算 ­ A0506 复杂问题的可计算建模与数值模拟 ­ A0507 新型计算方法 • A04 统计与运筹: 连续优化, 离散优化, 随机优化与统计优化, ... • A06 数学与其他学科的交叉: 符号计算, 人工智能, 数据科学 ­ A0813 计算固体力学 ­ A0910 计算流体力学 • F02 计算机科学: 信息安全, 数据科学与大数据计算 • F06 人工智能 http://math.ecnu.edu.cn/~jypan 5/14

秦 计算数学的主要任务 ·算法设计：构造求解各种数学问题的数值方法 ·算法分析：收敛性、稳定性、复杂性、计算精度等 ·算法实现：编程实现、软件开发 好的数值方法一般需满足以下几点 ·有可靠的理论分析，即收敛性、稳定性等有数学理论保证 ·有良好的计算复杂性（时间和空间） ·易于在计算机上实现 ·要有具体的数值试验来证明是行之有效的 http://math.ecnu.edu.cn/~jypan 6/14

计算数学的主要任务 • 算法设计: 构造求解各种数学问题的数值方法 • 算法分析: 收敛性、稳定性、复杂性、计算精度等 • 算法实现: 编程实现、软件开发 好的数值方法一般需满足以下几点 • 有可靠的理论分析, 即收敛性、稳定性等有数学理论保证 • 有良好的计算复杂性 (时间和空间) • 易于在计算机上实现 • 要有具体的数值试验来证明是行之有效的 http://math.ecnu.edu.cn/~jypan 6/14

秦 本课程内容 数值线性代数+微分方程数值解 任课教师：潘建瑜+郑海标 成绩评定 凸平时成绩（考勤+小测+作业）60%，期末成绩（笔试）40% 数值线性代数50%，微分方程数值解50% http://math.ecnu.edu.cn/~jypan 7/14

本课程内容 数值线性代数 + 微分方程数值解 任课教师：潘建瑜 + 郑海标 成绩评定 ✍ 平时成绩（考勤 + 小测 + 作业）60%，期末成绩（笔试）40% ✍ 数值线性代数 50%，微分方程数值解 50% http://math.ecnu.edu.cn/~jypan 7/14

秦 数值线性代数 If any other mathematical topic is as fundamental to the mathematical sciences as calculus and differential equations,it is numerical linear algebra. -Trefethen Bau,1997. 数值线性代数，又称矩阵计算，是计算数学的一个重要分支/基础。 Lloyd L.Trefethen Professor of University of Oxford,Head of Oxford's Numerical Analysis Group First customer to buy MATLAB ·Royal Socicty(英目皇家学会)，National Academy of Engineering(关国国家工程挖)， Academia Europaca(欧洲人文与自然科学院) ◆President of SIAM .IMA Gold Medal,LMS Naylor Prize,SIAM Polya Prize SIAM John von Neumann Prize Invited speaker at ICIAM,ICM,and ECM congresses Author of SIAM's all-time bestseller Winner of teaching prizes at MIT,Cornell and Oxford .Winner of the first Fox Prize in Numerical Analysis http://math.ecnu.edu.cn/~jypan 8/14

数值线性代数 If any other mathematical topic is as fundamental to the mathematical sciences as calculus and differential equations, it is numerical linear algebra. — Trefethen & Bau, 1997. 数值线性代数，又称矩阵计算，是计算数学的一个重要分支/基础。 Lloyd L. Trefethen • Professor of University of Oxford, Head of Oxford’s Numerical Analysis Group • First customer to buy MATLAB • Royal Society (英国皇家学会), National Academy of Engineering (美国国家工程院), Academia Europaea (欧洲人文与自然科学院) • President of SIAM • IMA Gold Medal, LMS Naylor Prize, SIAM Pólya Prize • SIAM John von Neumann Prize • Invited speaker at ICIAM, ICM, and ECM congresses • Author of SIAM’s all­time bestseller • Winner of teaching prizes at MIT, Cornell and Oxford • Winner of the first Fox Prize in Numerical Analysis http://math.ecnu.edu.cn/~jypan 8/14

秦 Linear algebra-in particular,the solution of linear systems of equations-lies at the heart of most calculations in scientific computing. -Dongarra Eijkhout,2000. Jack J.Dongarra ·世界知名的超级计算机与并行计算专家 ·美国田钠西大学电子工程与计算机科学杰出教授 .Director of Innovative Computing Laboratory .Distinguished Research Staff,Oak Ridge National Laboratory .Turing Fellow at Manchester University ·清华大学的V讲座访问教授 .National Academy of Engineering.British Royal Society,Russian Academy of Sciences Fellow of AAAS,ACM.IEEE and SIAM .first IEEE Medal of Excellence in Scalable Computing, first recipient of the SIAM Special Interest Group on Supercomputing's award,. EISPACK,LINPACK,BLAS,LAPACK,ScaLAPACK,Netlib,PVM,MPI,Top500,. J.J.Dongarra and V.Eijkhout,Numerical linear algebra algorithms and software,/CAM,123(2000).489-514. (Numerical Analysis 2000,Vol.III:Linear Algebra) http://math.ecnu.edu.cn/~jypan 9/14

Linear algebra — in particular, the solution of linear systems of equations — lies at the heart of most calculations in scientific computing. — Dongarra & Eijkhout, 2000. Jack J. Dongarra • 世界知名的超级计算机与并行计算专家 • 美国田纳西大学电子工程与计算机科学杰出教授 • Director of Innovative Computing Laboratory • Distinguished Research Staff, Oak Ridge National Laboratory • Turing Fellow at Manchester University • 清华大学的 IV 讲座访问教授 • National Academy of Engineering, British Royal Society, Russian Academy of Sciences • Fellow of AAAS, ACM, IEEE and SIAM • first IEEE Medal of Excellence in Scalable Computing, first recipient of the SIAM Special Interest Group on Supercomputing’s award, ... • EISPACK, LINPACK, BLAS, LAPACK, ScaLAPACK, Netlib, PVM, MPI, Top500, ...  J.J. Dongarra and V. Eijkhout, Numerical linear algebra algorithms and software, JCAM, 123 (2000), 489–514. (Numerical Analysis 2000, Vol. III: Linear Algebra) http://math.ecnu.edu.cn/~jypan 9/14