34 中等数学 ●课外训练· 数学奥林匹克初中训练题(116) 第一试 下，G,则的值为( 一选择题（每小题7分，共42分） 25B25(o45D5 1若士5则中的值 5.已知二次函数f(x)满足f(-2)=1, 为() f2)=2,且x()≤(+4)对于一切 是(B)号 (C (D号 实数x均成立.则f(4)的值为(）. 2.在平面直角坐标系中，点A在第一象 (D)5 限，点B在第二象限，点C在坐标轴上，满足 (A)￥(B)号(G是 △4BC是直角三角形的点C最多有a个，最 6.已知4B是⊙0的弦，点P在劣弧4B 少有b个.则a+b的值为( (A)8(B)10 (C)11 (D)12 上(APBO (B)AC+AQ=BO 摸出()个 (C)AC+AQ<BQ(D)以上都不对 (A)1010(B)2000(C2008(D)2009 二填空题（每小题7分，共28分） 4.在Rt△4BC中，∠A=30°.∠C=90 16667…388…8除以72的余数为 分别以AB、AC为边向△4BC外部作正 100个100个100个 △4BD、△4CE联结DE分别交ACAB于点 而125k+501+5m+2n 故f=+++ =120k+5(k+m)+50/+2m =120k+5X12+501+2n =24x(+6+1x+6) =10(12k+6+50+2n 因此，2n的个位数即336的个位数6 =24x(x+0(x+2)(x+3). 又2m<12,故 在四个连续整数xx+1、x+2x+3中 2n=6,n=3.1=6-n=3 于是，125k+5m=180,即 必有两个连续偶数，其积能被8整除；又任意 三个连续整数其积能被3整除，且3与8互 24k+k+m=36,24k=24 所以，k=1,m=11. 质，因此，x(x+1)(x+2)(x+3)能被38= 因此，a-46-，e=d=} 24整除，即对每个整数xf(x)均为整数。 (方祖耀提供) 1994-2009 China Academic Journal Electronie Publishing House.All rights reserved.hup:/
© 1994-2009 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net 而 125 k + 50 l + 5 m + 2 n = 120 k + 5 ( k + m) + 50 l + 2 n = 120 k + 5 ×12 + 50 l + 2 n = 10 (12 k + 6 + 5 l) + 2 n , 因此 ,2 n 的个位数即 336 的个位数 6. 又 2 n BQ (B) AC + AQ = BQ (C) AC + AQ < BQ (D) 以上都不对 二、填空题(每小题 7 分 ,共 28 分) 1. 66 …6 100个 77 …7 100个 88 …8 100个 除以 72 的余数为 . 34 中 等 数 学
2009年第3期 2.在梯形ABCD中，AD∥BC,AB=AC, BC=BD=(5+1)CD.则∠BAC+∠BDC 的度数为 .已知n为整数，且关于x的一元二次 方程 (n-)2x2-5n(n-)x+(62-n-)=0 至少有一个整数根.则所有n值的和为一 .己知a为锐角，且3sina+4oosa=5 则tan 图1 3.D 第二试 若红球摸出999个，黑球摸出999个，黄 一(20分)己知实数a、b、c、 球摸出10个，此时共摸出999义+10=2008 足d+6 个，没有1000个颜色相同. 负数.求证： 根据抽屉原理，至少摸出2009个可保 (ax+by c+6.)(x2+.」 证摸出的球有1000个颜色相同。 二(25分)在△4BC中，∠A、∠B的平 4.C 分线AD、BE交于点P.若S四边形e=2S△4m 如图3，过E 求证：∠ACB=90 作MLAC于M 三、(25分)在1,2，…200的任意一个排 列中，总可找到连续20个数之和不小于a. 延长BM交B于B 求a的最大值 N,联结DN.则M 是AC的中点，且 参考答案 N∥CB.所以，N 第一试 是AB的中点.于是，DN⊥AB -1.B 又∠EAW=∠D4M=60°+30°=90°，得 已知得+2-5，即+宁-7 AE∥DN,AD∥E 所以，四边形ADNE是平行四边形 整理得x+1=72 因此，AG=4N=AB DG+D 令BC=a.则 (x2+1)(x+1) AD-AB=2a.AE-AC-a,4G-a ..2++.【++ +】 (x+)2.2x 在RI△MEM中 Aw=寸Ac=9a,BM=子a 49r.2 2.D 由AD∥EM得△4FD∽△MFE 由于点A在第一象限，点B在第二象 限，于是，过A、B作AB的垂线与x轴一定有 则点-品即出a 4D 两个交点，与y轴最多有两个交点，最少有0 个交点：以AB为直径作圆与y轴一定有两 所以4r光-29。 个交点，与x轴最多有两个交点，最少有0个 交点.如图1及图2 故 可知a=8,b=4.故a+b=12 5. C 1994-2009 China Academic Journal Electronic Publishing House.All righits reserved.http://ww.cnki.ne
© 1994-2009 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net 2. 在梯形 ABCD 中 , AD ∥BC , AB = AC , BC = BD = ( 2 + 1) CD. 则 ∠BAC + ∠BDC 的度数为 . 3. 已知 n 为整数 ,且关于 x 的一元二次 方程 ( n - 1) 2 x 2 - 5n ( n - 1) x + (6n 2 - n - 1) =0 至少有一个整数根.则所有 n 值的和为 . 4. 已知α为锐角 ,且 3sin α+ 4cos α= 5. 则 tan α= . 第 二 试 一、(20 分) 已知实数 a、b、c、x、y、z 满 足 a 2 + b 2 - c 2 与 x 2 + y 2 - z 2 至少有一个为 负数. 求证 : ( ax + by - cz) 2 ≥( a 2 + b 2 - c 2 ) ( x 2 + y 2 - z 2 ) . 二、(25 分) 在 △ABC 中 , ∠A 、∠B 的平 分线AD、B E 交于点 P. 若 S四边形ABDE = 2 S △APB , 求证 : ∠ACB = 90°. 三、(25 分) 在 1 ,2 , …,200 的任意一个排 列中 ,总可找到连续 20 个数之和不小于 a. 求 a 的最大值. 参 考 答 案 第 一 试 一、1.B. 由已知得 x 2 + 1 x 2 - 2 = 5 ,即 x 2 + 1 x 2 = 7. 整理得 x 4 + 1 = 7 x 2 . 故原式 = ( x 6 + 1) ( x 4 + 1) ( x 2 + 1) ( x 8 + 1) = ( x 2 + 1) ( x 4 - x 2 + 1) ( x 4 + 1) ( x 2 + 1) ( x 8 + 1) = ( x 4 - x 2 + 1) ( x 4 + 1) x 8 + 1 = [ ( x 4 + 1) - x 2 ]( x 4 + 1) ( x 4 + 1) 2 - 2 x 4 = (7 x 2 - x 2 ) 7 x 2 49 x 4 - 2 x 4 = 42 x 4 47 x 4 = 42 47 . 2. D. 由于点 A 在第一象限 ,点 B 在第二象 限 ,于是 ,过 A 、B 作 AB 的垂线与 x 轴一定有 两个交点 ,与 y 轴最多有两个交点 ,最少有 0 个交点 ;以 AB 为直径作圆与 y 轴一定有两 个交点 ,与 x 轴最多有两个交点 ,最少有 0 个 交点. 如图 1 及图 2. 可知 a = 8 , b = 4. 故 a + b = 12. 图 1 图 2 3. D. 若红球摸出 999 个 ,黑球摸出 999 个 ,黄 球摸出 10 个 ,此时共摸出 999 ×2 + 10 = 2 008 个 ,没有 1 000 个颜色相同. 根据抽屉原理 ,至少摸出 2 009 个可保 证摸出的球有 1 000 个颜色相同. 4. C. 图 3 如 图 3 , 过 E 作 EM ⊥AC 于 M , 延长 EM 交 AB 于 N ,联结 DN. 则 M 是 AC 的 中 点 , 且 MN ∥CB . 所以 , N 是 AB 的中点. 于是 , DN ⊥AB . 又 ∠EAN = ∠DAM = 60°+ 30°= 90°,得 AE ∥DN ,AD ∥EN. 所以 ,四边形 ADNE 是平行四边形. 因此 ,AG = 1 2 AN = 1 4 AB . 令 BC = a. 则 AD = AB = 2 a ,AE = AC = 3 a ,AG = 1 2 a. 在 Rt △AEM 中 , AM = 1 2 AC = 3 2 a , EM = 3 2 a. 由 AD ∥EM 得 △AFD ∽ △MFE. 则 AF FM = AD EM ,即 AF AM = AD EM + AD . 所以 ,AF = AD·AM EM + AD = 2 3 7 a. 故 AF AG = 4 3 7 . 5. C. 2009 年第 3 期 35
36 中等数学 设f(x)=m2+bx+c(a) 在△PBD中，由PQ⊥BD得BQ=DQ 由己知得 故AC+AQ=A0+AD=DQ=BQ f(-2)=4a-2b+c■1 二1.48. f2)=4a+2b+c=2 注意到 解得b=,c=子-4a 66…67…88…8 又x()(2+4)对一切实数x均 成立则 .82000=a m2+(b.1)x+c闭 由于的路位数之和 及(a-)2+m+(c-)可 100%+100灯+968+2=2070 对一切实数x均成立 能被9整除，于是，a能被9整除；又a的末 三位数能被8整除，则a又能被8整除.而8 若a=4,则c=之，此时，4x之0 与9互质，因此，a能被89=2整除.故原 对一切实数x不成立所以，。 数除以72的余数是48. 2.180° a>0. 如图5，分别过A (b-1)2.4a0 D作AE⊥BC于E、DF 有a-<0， ⊥BC于F则 BE=EC=BC 8a(c 图5 ∠CAE=∠BAC 考虑到b=寸，c=子4a,解不等式组 且四边形AEFD是矩形 在△BCD中.由BC=BD得∠BCD= 得a=居 ∠BDC,均为锐角所以，点F在线段EC上 当6=，=2时，c= 在△BCD中，由 DE LBC得 BD-BF=DF=CD-CF 故)-活+x+子 即BC2.(BC.C2=CD2.CF 将上式化简得 从而④=兴 CF=2BC=2+1)CD B.CD 2 6. 如图4，延长Q4到点D,使AD=AC,联 故AD=EF=EC.CF 结PA、PB、PC、PD.则 .blo-o PC=PB 于是，∠DAC=∠ACD ∠PBC=∠PCE 义∠DMC=∠ACB,则 =∠PAB 故∠PAC AB=∠Am=BCD=∠BDC =180°-∠PBC 又在R:△4FC中 =180° ∠PCB ∠CAE+∠ACB=90 =180°. ∠PAB=∠PAD 故∠BAC+∠BDC=180° 于是，△PAC≌△PAD,有PC=PD 3.6. 从而，PB=PD. 将方程左边分解得 1994-2009 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http://www.cnki.net
© 1994-2009 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net 设 f ( x) = ax 2 + bx + c ( a ≠0) . 由已知得 f ( - 2) = 4 a - 2 b + c = 1 , f (2) = 4 a + 2 b + c = 2. 解得 b = 1 4 , c = 3 2 - 4 a. 又 x ≤f ( x) ≤1 4 ( x 2 + 4)对一切实数 x 均 成立 ,则 ax 2 + ( b - 1) x + c ≥0 及 ( a - 1 4 ) x 2 + bx + ( c - 1) ≤0 对一切实数 x 均成立. 若 a = 1 4 ,则 c = 1 2 ,此时 , 1 4 x - 1 2 ≤0 对一切实数 x 不成立. 所以 , a ≠1 4 . 有 a > 0 , ( b - 1) 2 - 4 ac ≤0 , a - 1 4 < 0 , b 2 - 4 a - 1 4 ( c - 1) ≤0. 考虑到 b = 1 4 , c = 3 2 - 4 a ,解不等式组 得 a = 3 16 . 当 b = 1 4 , a = 3 16 时 , c = 3 4 . 故 f ( x) = 3 16 x 2 + 1 4 x + 3 4 . 从而 ,f (4) = 19 4 . 6.B. 如图 4 ,延长 QA 到点 D ,使 AD = AC ,联 图 4 结 PA、PB 、PC、PD. 则 PC = PB , ∠PBC = ∠PCB = ∠PAB . 故 ∠PAC = 180°- ∠PBC = 180°- ∠PCB = 180°- ∠PAB = ∠PAD. 于是 , △PAC ≌△PAD ,有 PC = PD. 从而 , PB = PD. 在 △PBD 中 ,由 PQ ⊥BD 得 BQ = DQ. 故 AC + AQ = AQ + AD = DQ = BQ. 二、1. 48. 注意到 66 …6 100个 77 …7 100个 88 …8 100个 = 66 …6 100个 77 …7 100个 88 …8 96个 2000 + 72 ×95 + 48. 令66 …6 100个 77 …7 100个 88 …8 96个 2000 = a. 由于 a 的各位数字之和 100 ×6 + 100 ×7 + 96 ×8 + 2 = 2 070 能被 9 整除 ,于是 , a 能被 9 整除 ;又 a 的末 三位数能被 8 整除 ,则 a 又能被 8 整除. 而 8 与 9 互质 ,因此 , a 能被 8 ×9 = 72 整除. 故原 数除以 72 的余数是 48. 2. 180°. 图 5 如图 5 ,分别过 A 、 D 作 AE ⊥BC 于 E、DF ⊥BC 于 F. 则 B E = EC = 1 2 BC , ∠CAE = 1 2 ∠BAC , 且四边形 AEFD 是矩形. 在 △BCD 中 ,由 BC = BD 得 ∠BCD = ∠BDC ,均为锐角 ,所以 ,点 F 在线段 EC 上. 在 △BCD 中 ,由 DF ⊥BC 得 BD 2 - B F 2 = DF 2 = CD 2 - CF 2 , 即 BC 2 - ( BC - CF) 2 = CD 2 - CF 2 . 将上式化简得 CF = CD 2 2BC = CD 2 2 ( 2 + 1) CD = 2 - 1 2 CD. 故 AD = EF = EC - CF = 2 + 1 2 CD - 2 - 1 2 CD = CD. 于是 , ∠DAC = ∠ACD. 又 ∠DAC = ∠ACB ,则 ∠ACB = ∠ACD = 1 2 ∠BCD = 1 2 ∠BDC. 又在 Rt △AEC 中 , ∠CAE + ∠ACB = 90°. 故 ∠BAC + ∠BDC = 180°. 3. 6. 将方程左边分解得 36 中 等 数 学
2009年第3期 31 [(n-)x-2n-1)][(n-1)x-3n+1)]=0. ①+②得S△MG+S△BG=S△4m. 由于n丸，则 两边同加SAm得S△G=2SAm 22+ 又S网边形BE=2S△用，则 n-l SAG=S边张E 3m出=3+4 月-1 n-1 上式两边同减SA:得 因为原方程至少有一个整数根，且n为 S△G=S△因D 整数，所以，n-1=士，2 ,4 因此，GD∥BE 解得n=2,0,3,-1,5,-3 故∠PGD=∠GPE=90°.∠APE 故所有n值的和为6. =90°.（∠ABP+∠BAP) 4.2 =90°.（∠ABC+∠BAC) 如图6，在△BC中 ∠4CB=90°，令∠A=a.则 =支ACB=∠cP 于是，C、D、P、G四点共圆 则∠ACB=∠APG=90 由己知及勾股定理得 三取任一排列将其分为10组每组20 3a+4业=5 个数.令A1-(b,h,…,b),d=(b,b 图6 a+62=2 ,b0),…,A0=（b1,b,…,bw） 解得a=,b=5故ana=-子 取10组数的平均值 瑞=1+2++200=2010. 10 第二试 显然A1,山2，，A中至少有一个不小 一、不妨设d2+6.c2<0.则c丸 于谦此时，总可找到连续20个数之和不小 构造关于1的二次函数，记 于2010. m=(a+6-7+2m+-c1+(2+2. 下面构造一个12，…200的排列，使任 则二次函数m的图像开口向下.注意到 意连续20个数之和不大于2010 m=(am+x)2+(b+) -(c+)i 构造一个10×20的数表：将200,199 取1=.三，于是，m0 ,101依次放在前面的1010数表中（大数 故二次函数m的图像与x轴有交点 在小数的左（上）侧)，将1,2，…，100依次放 则△=4(m+b-c)2-4(a+6.c)· 在后面的10×10数表中（小数在大数的右 (上)侧) (x2+y2-2)丸， (+cd+.2+广 将此数表的数从左到右、从上到下排成 二、如图7过P 一列，即为满足题设要求的排列（任意连续 作GH⊥AP分别交 20个数之和为2010-10(1=0,1，…，10)之 AC、AB于G、H,联 结GB、GD、CP.易 故a的最大值为2010. 注：此题证明中的构造性部分由本编辑 △MPG≌APH 图 部的宋强老师提供 有GP=HP. (李 明 安徽省五河县第三中学 于是，S△4E=S△4H ①233300尤登明安徽省五河县双庙职业中 S△e=S△sPH ② 学，233300) 1994-2009 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http://ww.cnki.ne
© 1994-2009 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net [ ( n - 1) x - (2n - 1) ][ ( n - 1) x - (3n +1) ] =0. 由于 n ≠1 ,则 x1 = 2 n - 1 n - 1 = 2 + 1 n - 1 , x2 = 3 n + 1 n - 1 = 3 + 4 n - 1 . 因为原方程至少有一个整数根 ,且 n 为 整数 ,所以 , n - 1 = ±1 , ±2 , ±4. 解得 n = 2 ,0 ,3 , - 1 ,5 , - 3. 故所有 n 值的和为 6. 4. 3 4 . 图 6 如 图 6 , 在 △ABC 中 , ∠ACB = 90°,令 ∠A =α. 则 sinα= a c ,cosα= b c . 由已知及勾股定理得 3 a c + 4 b c = 5 , a 2 + b 2 = c 2 . 解得 a = 3 c 5 , b = 4 c 5 . 故 tan α= a b = 3 4 . 第 二 试 一、不妨设 a 2 + b 2 - c 2 < 0. 则 c ≠0. 构造关于 t 的二次函数 ,记 m = ( a 2 + b 2 - c 2 ) t 2 +2( ax + by - cz) t + ( x 2 + y 2 - z 2 ). 则二次函数 m 的图像开口向下. 注意到 m = ( at + x) 2 + ( bt + y) 2 - ( ct + z) 2 . 取 t = - z c ,于是 , m ≥0. 故二次函数 m 的图像与 x 轴有交点. 则Δ= 4( ax + by - cz) 2 - 4( a 2 + b 2 - c 2 )· ( x 2 + y 2 - z 2 ) ≥0 , 即 ( ax + by - cz) 2 ≥( a 2 + b 2 - c 2 ) ( x 2 + y 2 - z 2 ) . 图 7 二、如图 7 ,过 P 作 GH ⊥AP ,分别交 AC、AB 于 G、H , 联 结 GB 、GD、CP. 易 知 △APG ≌APH , 有 GP = HP. 于是 , S △APG = S △APH , ① S △BPG = S △BPH . ② ①+ ②得 S △APG + S △BPG = S △APB . 两边同加 S △APB得 S △ABG = 2 S △APB . 又 S四边形ABDE = 2 S △APB ,则 S △ABG = S四边形ABDE . 上式两边同减 S △ABE得 S △EBG = S △EBD . 因此 , GD ∥B E. 故 ∠PGD = ∠GPE = 90°- ∠APE = 90°- ( ∠AB P + ∠BAP) = 90°- 1 2 ( ∠ABC + ∠BAC) = 1 2 ∠ACB = ∠DCP. 于是 , C、D、P、G 四点共圆. 则 ∠ACB = ∠APG = 90°. 三、取任一排列 ,将其分为 10 组 ,每组 20 个数. 令 A1 = ( b1 , b2 , …, b20 ) ,A2 = ( b21 , b22 , …, b40 ) , …,A10 = ( b181 , b182 , …, b200 ) . 取 10 组数的平均值 珔A = 1 + 2 + …+ 200 10 = 2 010. 显然 A1 , A2 , …, A10 中至少有一个不小 于珔A . 此时 ,总可找到连续 20 个数之和不小 于 2 010. 下面构造一个 1 ,2 , …,200 的排列 ,使任 意连续 20 个数之和不大于 2 010. 构造一个 10 ×20 的数表 :将 200 ,199 , …,101 依次放在前面的 10 ×10 数表中(大数 在小数的左 (上) 侧) ,将 1 ,2 , …,100 依次放 在后面的 10 ×10 数表中 (小数在大数的右 (上) 侧) . 将此数表的数从左到右、从上到下排成 一列 ,即为满足题设要求的排列 (任意连续 20 个数之和为 2 010 - 10 i ( i = 0 ,1 , …,10) 之 一) . 故 a 的最大值为 2 010. 注 :此题证明中的构造性部分由本编辑 部的宋强老师提供. (李 明 安徽省五河县第三中学 , 233300 尤登明 安徽省五河县双庙职业中 学 ,233300) 2009 年第 3 期 37