学科教学探索 快速判断整除五法 姜殿玺 (就县教育局教研室，河北邮郸056800 要：教学实中，教师应善于观察，善于归纳，善于总结，教给学生方法和技巧。常言道：教会了方法，就 教给了学生“点金术” 关键词：判断：整除：尼除法：位数和除法：位爱和差法：两结合法：三结合法 中图分类号：G424.1文藏标识码：A文章编号：1009-010X(2008)03-0050-02 在计算中经常需要断一个 68g4的末两位数94道去80后的 例9：2359025 能不能被另一个数整除，我们可根据 差数是14,14不能被4整除，所以 23590不是末两位上是025,50、 数的一些特征来进行判断。怎样才能6894就不能被4整除。 75的数.所以23590不能被25整除。 快速判断一个数能不能被另一个数整 3.能被8整除的数 例10：79800025 除呢？请看下列快速判断整除的五种 -个数的百位上的数是0,2、4,6、 798000末两位是0，所以798000 方法及其能被四十一个除数末尾是08时，末两位数能被8整除，这个数就 能被25整除 的数除外整除的数的特征。 能被8整除：一个数的百位上的数是 6.能被125整除的数 ·、尾除法 1、3、5、7,9时末两位数减去或者加上 末三位上是0、125、250、375、500 看一个数的尾数能不能被另一个20够减则减，不够减则加)后能被8 625、750.875的数，都能被125整除。 数整除，如果它的尾数能被另一个数 整除，这个数就能被8整除。 例11：35625325 整除。那么这个数就能被另一个数整 例5：285638 35625末三位是625.所以35625 除，这叫做尾除法 2856的百位上是8.末两位数56能被125整除 1.能被2整除的数 能枝8整除，所以2856就能被8整 例12：98755125 个位上是0246,8的数，都能除。 98755不是末三位上是0125 被2整除， 例6：175688 250.375、500.625、750,875的数，所以 例1：75602 17568的百位上的数是5.末两位98755不能被125整除 7560的个位上是0，所以7560能数68减去20等于48,48能被8整 二，位数和除 被2整除。 除，所以17568就能被8整除。 用被乘数各位上数的和除以除数 例2：96782 4.能被5整除的数。 来判断整除的方法，叫做位数和除法。 9678的个位上是8.所以9678能 个位上是0或者5的数，都能被5 1.能被3整除的数 被2整除。 整除 一个数的各位上的数的和能被 2,能皮4整除的数 例7：3205 整除，这个数就能被3整除。 一个数的末两位数（或者大于80 320的个位数是0，所以320能被 例13：76533 时，减去80后的差数，或者大于405整除。 7+6+5+3=21,213=7,所以7653 时，减去40后的差数)能被4整除，那 例8：76875 就能被3整除 么这个数就能被4整除 76875的个位数是5，所以76875 为了判断得更快些，几个数相加 例3：47284 能被5整除。 时，可以用“去三六九法”。“去三六九 4728的末两位数是28.28能被4 5,能被25整除的数」 法”就是在相加的口算中，遇见3、6，g 整除，所以4728就能被4整除 末两位上0,25、50,75的数，都能 的数舍去不加。如例13,7+5=126和3 例4：68944 被25整除， 舍去不四，123=4，所以7653能被3 1994-2009 China Academie Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http://www.enki.net
教 育 实 践 与 研 究 Educational Practice and Research 2008 03-A 在计算中, 经常需要判断一个数 能不能被另一个数整除, 我们可根据 数的一些特征来进行判断。怎样才能 快速判断一个数能不能被另一个数整 除呢? 请看下列快速判断整除的五种 方法及其能被四十一个除数( 末尾是 0 的数除外) 整除的数的特征。 一、尾除法 看一个数的尾数能不能被另一个 数整除, 如果它的尾数能被另一个数 整除, 那么这个数就能被另一个数整 除, 这叫做尾除法。 1.能被2整除的数。 个位上是 0、2、4、6、8 的数, 都能 被 2 整除。 例 1: 7560÷2 7560 的个位上是 0, 所以 7560 能 被 2 整除。 例 2: 9678÷2 9678 的个位上是 8, 所以 9678 能 被 2 整除。 2.能被4整除的数。 一个数的末两位数 ( 或者大于 80 时, 减去 80 后的差数, 或者大于 40 时, 减去 40 后的差数) 能被 4 整除, 那 么这个数就能被 4 整除。 例 3: 4728÷4 4728 的末两位数是 28, 28 能被 4 整除, 所以 4728 就能被 4 整除。 例 4: 6894÷4 6894 的末两位数 94 减去 80 后的 差 数 是 14, 14 不 能 被 4 整 除 , 所 以 6894 就不能被 4 整除。 3.能被8整除的数。 一个数的百位上的数是 0、2、4、6、 8 时, 末两位数能被 8 整除, 这个数就 能被 8 整除; 一个数的百位上的数是 1、3、5、7、9 时, 末两位数减去或者加上 20( 够减则减, 不够减则加) 后能被 8 整除, 这个数就能被 8 整除。 例 5: 2856÷8 2856 的百位上是 8, 末两位数 56 能被 8 整除, 所以 2856 就能被 8 整 除。 例 6: 17568÷8 17568 的百位上的数是 5, 末两位 数 68 减 去 20 等 于 48, 48 能 被 8 整 除, 所以 17568 就能被 8 整除。 4.能被5整除的数。 个位上是 0 或者 5 的数, 都能被 5 整除。 例 7: 320÷5 320 的个位数是 0, 所以 320 能被 5 整除。 例 8: 76875÷5 76875 的个位数是 5, 所以 76875 能被 5 整除。 5.能被25整除的数。 末两位上 0、25、50、75 的数, 都能 被 25 整除。 例 9: 23590÷25 23590 不是末两位上是 0、25、50、 75 的数, 所以 23590 不能被 25 整除。 例 10: 798000÷25 798000 末两位是 0, 所以 798000 能被 25 整除。 6.能被125整除的数。 末三位上是 0、125、250、375、500、 625、750、875 的数, 都能被 125 整除。 例 11: 35625÷125 35625 末三位是 625, 所以 35625 能被 125 整除。 例 12: 98755÷125 98755 不 是 末 三 位 上 是 0、125、 250、375、500、625、750、875 的数, 所以 98755 不能被 125 整除。 二、位数和除法 用被乘数各位上数的和除以除数 来判断整除的方法, 叫做位数和除法。 1.能被3整除的数。 一个数的各位上的数的和能被 3 整除, 这个数就能被 3 整除。 例 13: 7653÷3 7+6+5+3=21, 21÷3=7, 所以 7653 就能被 3 整除。 为了判断得更快些, 几个数相加 时, 可以用“去三六九法”。“去三六九 法”就是在相加的口算中, 遇见 3、6、9 的数舍去不加。如例 13, 7+5=12( 6 和 3 舍去不加) , 12÷3=4, 所以 7653 能被 3 快 速 判 断 整 除 五 法 姜殿玺 ( 魏县教育局教研室, 河北 邯郸 056800) 摘 要: 教学实践中, 教师应善于观察, 善于归纳, 善于总结, 教给学生方法和技巧。常言道: 教会了方法, 就 教给了学生“点金术”。 关键词: 判断; 整除; 尾除法; 位数和除法; 位数和差法; 两结合法; 三结合法 中图分类号: G424.1 文献标识码: A 文章编号: 1009- 010X( 2008) 03- 0050- 02 学科教学探索 50
整除。 15=5375=258375=1253 能否被另一个整除的方法，叫做三结 2.能被9整除的数。 18=2936=472=89 合法 个数的各位上的数的和能被9 45=59225=2591125=1259 当除数是66,198132、396、264 整除，这个数就能被9整除。 例17：678391272 792、165、195、825、2475、375、4125时. 例14：849639 6783912能被8整除，又能被9整 我们可以分别把它们分解成如下三个 8+4+9+6+3=30,309=3…3,所除，所以6783912也能被72整除. 因数，这样就可以根据能被这三个因 以84963就不能被9整除。 例18,756350925 数整除的数的特征，用尾除法、位数和 为了判断得更快些，几个数相加 756350能被25整除，但不能被9 除法和位数和差法快速判断一个数能 时，可以用去九法”。 “去九法”就 整除，所以756350就不能被225整 否被这个除数整除了 在相加的口算中遇里9或者两个数除 66=23A1 凑成9的数舍去不加，如例14,8+4=12 2尾除法与位数和差法相结合 198=29为1 (9、6,3舍去不加)，12不能被9整除， 当除数是22、44.8855、275,1375 132=43A1 所以84963就不能被9整除。 时，我们可以分别把它们分解成如下 396=4aM1 三、位数和差法 两个因数，这样就可以根据能被这两 165-=53为1 用被除数奇偶数位上数的和的差 个因数整除的数的特征。用尾除法和 195=59A1 来判断整除的方法，叫做位数和差法， 位数和差法快速判断一个数能否被这 825=25X11 1.能被11整除的数。 个除数整除了。 2475-=2591 个数的奇数位上的数的和与偶 22=2×1 4125=1258×1 数位上数的和的差能被11整除，这个 44=4入1 12375=125011 数就能被11整除。 8=8为 例22：467286 例15：1531211 55=8A1 46728能被2、3和11整除，所以 （1+3+2☑(5+10=6-6=0.0能被11 275=9501 46728也能被66整除。 整除，所以15312就能被11整除。 1375=125为1 例23：36729653237 例16：39092911 例19：96876888 3672965不能被125整除，所以 （9+9+9)43+0+月=27-5=22.22 968768能被8整除，但不能被113672965就不能被12375整除。 能被11整除，所以390929就能1山 整除，所以968768就不能被88整除 判断一个数能否被另一个数整 整除。 例20：959750H375 除，用结合法时，要先用尾除法，再用 四、两结合法 959750能被125整除.又能被11位数和除法.后用位数和差法，这们判 用两种基本的方法来判断一个数 整除，所以959750也能被1375整除 断整除比较简单捷。 能否被另一个数整除的方法，叫做两 3.位数和除法与位数和差法相结 判断整除五法表 结合法。两结合法有尾除法与位数和 合。 判整除法除数 除法相结合、尾除法与位数和差法相 当除数是33和99时，我们可以 尾除法 248525125 结合、位数和除法与位数和差法相结 分别把它们分解成如下两个因数，这 位数和除法39 合二种。 样就可以根据能被这两个因数整除的 位数和差法 1,尾除法与位数和除法相结合。 数的特征，用位数和除法和位数和差 618215455两 当除数是6、12、24、15、75、375 法快速判断一个数能香被这个除数龆 两结合法 18、36、72、45、225、1125时，我们可以除了。 247283751125137 分别把它们分解成如下两个因数 33=3199=9 3399 样就可以根据能被这两个因数整除的 例21：77774499 198165195 三结合油 数的特征，用尾除法和位数和除法快 777744能被9整除，又能被11整 792412512375 速判断一个数能否被这个除数整除 除，所以777744也能被99整除 了。 五、三结合法 【责任编辑高洁】 6=2312=4824=83 用三种基本的方法来判断一个数 194-2009 China Academie Joural Electronie Publishing House.All rights reserved.http://www.enki.net
教 育 实 践 与 研 究 Educational Practice and Res earch 2008 03-A 整除。 2.能被9整除的数。 一个数的各位上的数的和能被 9 整除, 这个数就能被 9 整除。 例 14: 84963÷9 8+4+9+6+3=30, 30÷9=3……3, 所 以 84963 就不能被 9 整除。 为了判断得更快些, 几个数相加 时, 可以用“去九法”。“去九法”就是 在相加的口算中, 遇见 9 或者两个数 凑成 9 的数舍去不加, 如例 14, 8+4=12 ( 9、6、3 舍去不加) , 12 不能被 9 整除, 所以 84963 就不能被 9 整除。 三、位数和差法 用被除数奇偶数位上数的和的差 来判断整除的方法, 叫做位数和差法。 1.能被11整除的数。 一个数的奇数位上的数的和与偶 数位上数的和的差能被 11 整除, 这个 数就能被 11 整除。 例 15: 15312÷11 ( 1+3+2) -( 5+1) =6- 6=0, 0 能被 11 整除, 所以 15312 就能被 11 整除。 例 16: 390929÷11 ( 9+9+9) -( 3+0+2) =27 - 5=22, 22 能被 11 整除, 所以 390929 就能被 11 整除。 四、两结合法 用两种基本的方法来判断一个数 能否被另一个数整除的方法, 叫做两 结合法。两结合法有尾除法与位数和 除法相结合、尾除法与位数和差法相 结合、位数和除法与位数和差法相结 合三种。 1.尾除法与位数和除法相结合。 当 除 数 是 6、12、24、15、75、375、 18、36、72、45、225、1125 时, 我们可以 分别把它们分解成如下两个因数, 这 样就可以根据能被这两个因数整除的 数的特征, 用尾除法和位数和除法快 速 判断一个数 能否被这个 除 数 整 除 了。 6=2×3 12=4×3 24=8×3 15=5×3 75=25×3 375=125×3 18=2×9 36=4×9 72=8×9 45=5×9 225=25×9 1125=125×9 例 17: 6783912÷72 6783912 能被 8 整除, 又能被 9 整 除, 所以 6783912 也能被 72 整除。 例 18: 756350÷225 756350 能被 25 整除, 但不能被 9 整除, 所以 756350 就不能被 225 整 除。 2.尾除法与位数和差法相结合。 当除数是 22、44、88、55、275、1375 时, 我们可以分别把它们分解成如下 两个因数, 这样就可以根据能被这两 个因数整除的数的特征, 用尾除法和 位数和差法快速判断一个数能否被这 个除数整除了。 22=2×11 44=4×11 88=8×11 55=8×11 275=25×11 1375=125×11 例 19: 968768÷88 968768 能被 8 整除, 但不能被 11 整除, 所以 968768 就不能被 88 整除。 例 20: 959750÷1375 959750 能被 125 整除, 又能被 11 整除, 所以 959750 也能被 1375 整除。 3. 位数和除法与位数和差法相结 合。 当除数是 33 和 99 时, 我们可以 分别把它们分解成如下两个因数, 这 样就可以根据能被这两个因数整除的 数的特征, 用位数和除法和位数和差 法快速判断一个数能否被这个除数整 除了。 33=3×11 99=9×11 例 21: 777744÷99 777744 能被 9 整除, 又能被 11 整 除, 所以 777744 也能被 99 整除。 五、三结合法 用三种基本的方法来判断一个数 能否被另一个整除的方法, 叫做三结 合法。 当 除 数 是 66、198、132、396、264、 792、165、195、825、2475、375、4125 时 , 我们可以分别把它们分解成如下三个 因数, 这样就可以根据能被这三个因 数整除的数的特征, 用尾除法、位数和 除法和位数和差法快速判断一个数能 否被这个除数整除了。 66=2×3×11 198=2×9×11 132=4×3×11 396=4×9×11 165=5×3×11 195=5×9×11 825=25×3×11 2475=25×9×11 4125=125×3×11 12375=125×9×11 例 22: 46728÷66 46728 能被 2、3 和 11 整除, 所以 46728 也能被 66 整除。 例 23: 3672965÷12375 3672965 不能被 125 整除, 所以 3672965 就不能被 12375 整除。 判 断 一 个 数 能 否 被 另 一 个 数 整 除, 用结合法时, 要先用尾除法, 再用 位数和除法, 后用位数和差法, 这们判 断整除比较简单捷。 判断整除五法表 判断整除法 除数 尾除法 2 4 8 5 25 125 位数和除法 3 9 位数和差法 11 两结合法 6 18 22 15 45 55 12 36 44 75 225 275 24 72 88 375 1125 1375 33 99 三结合法 66 198 165 195 132 396 825 2475 264 792 4125 12375 【责任编辑 高 洁】 51
