如何求单位分数和的最简真分数？ 数学探究课教学案例 徐教院附中何京尧 背景 如何联系学生实际情况进行数学探究课的教学，本人将于本学期作这一 节课的尝试。 本节课的教学目标是： 1解答求单位分数和的最简真分数问题，理解有关概念。 2指导学生尝试解决数学问题，从而对数学产生兴趣。 3.从解题的探索中，学会思维的方法：从特殊到一般，再从一般加以逻 辑推理，猜想结果的方法类比和分类讨论等数学思想 教学重点是：学会尝试、探索、推理和归纳的思维方法。 估计的教学难点是：探索如何有效解决这个问题的方法。 教学方法是：引导、讨论、归纳和探索。 实践 教学过 这是一道有趣的分数加法综合题。 “分子为1的真分数叫做单位分数，我们注意到某些真分数可以写成两个 单位分复的和，例如：名计号 )把7写成两个单位分数的和，请写出两种不同的答案。 (2)最简真分数？，对某些x的值，它可以写成两个单位分数的和，例 如当x=20时， 请再找出三个不同的x值，使得？可以写成两个单位分数的和，并写出 式子。 我们就从这道题开始吧。 分析：(1)从例题“=。+】”可以看到这个真分数的“分子恰好是 两个单位分数的分母之和，分母是两个单位分数的分母之积。' 相类似，由观察所得的这个真分数的特征，易于得到 “3+4=7,3×4=12.” 品子可得个答案 那么，另一个答案怎么考虑？我们知道：根据分数相加的法则，真分数的分 子7应是两数之和。7=1+6=2+5=3+4，这三种情况。而分母12应是两数之积：12=1 1
1 如何求单位分数和的最简真分数？ ————数学探究课教学案例 徐教院附中 何京尧 背景 如何联系学生实际情况进行数学探究课的教学，本人将于本学期作这一 节课的尝试。 本节课的教学目标是： 1.解答求单位分数和的最简真分数问题，理解有关概念。 2 .指导学生尝试解决数学问题，从而对数学产生兴趣。 3.从解题的探索中，学会思维的方法：从特殊到一般，再从一般加以逻 辑推理，猜想结果的方法；类比和分类讨论等数学思想。 教学重点是： 学会尝试、探索、推理和归纳的思维方法。 估计的教学难点是： 探索如何有效解决这个问题的方法。 教学方法是：引导、讨论、归纳和探索。 实践 教学过程： 这是一道有趣的分数加法综合题。 “分子为 1 的真分数叫做单位分数，我们注意到某些真分数可以写成两个 单位分数的和，例如： 3 1 2 1 6 5 。 （1）把 12 7 写成两个单位分数的和，请写出两种不同的答案。 （2）最简真分数 x 9 ，对某些 x 的值，它可以写成两个单位分数的和，例 如当 x=20 时， 5 1 4 1 20 9 。 请再找出三个不同的 x 值，使得 x 9 可以写成两个单位分数的和，并写出 式子。 我们就从这道题开始吧。 分析：（1）从例题“ 3 1 2 1 6 5 ”可以看到这个真分数的“分子恰好是 两个单位分数的分母之和，分母是两个单位分数的分母之积。” 相类似，由观察所得的这个 真分数的特征，易于得到 “3 4 7,34 12,” 4 1 3 1 12 7 。可得一个答案。 那么，另一个答案怎么考虑？我们知道：根据分数相加的法则，真分数的分 子 7 应是两数之和。7=1+6=2+5=3+4，这三种情况。而分母 12 应是两数之积：12=1
×12=2×6=3×4三种情况。这里“3+4和3×4恰好是我们的一个答案”。那么从 分子之和为7考虑是否还有两种情况： ①由分子7=1+6，分母为12。若立+-化简其中品=为真分数单 位，可得另一答案石-+立 @由分子7245，分母为12，应有后+音化简其中合-号为分子是1的单 位分数，而昌已经是最简分数，无法化为分子为1的单位分数，不能得到符合题 意的答案。从分子相加为7，分子相乘为12两者的角度考虑，写成7的两个单位 11和 分数的和。只有+号和两个答案。 7 方 分析：(2)将最简真分数2写成两个单位分数的和。从(1)的答案中启示 我们，可以从分子9=1+8=2+7=3+6=4+5这四种情况考虑，用穷举的方式归纳解出。 解：(1)满足分子相加1+8的分数之和： 11x8=8 (不合题意，舍去) 22x86(是一个答案) 9 4+4×82(是-个答案) 5+5×840(是-个答案) 1 后68（不是答案） 十8品（是-个答案 88×86)(是-个答案) 1 99×8（不是答案） 00。e 总结：当n≥1为自然数，1X8=8,.取x=8n,8n不是3的倍数时， 即可 9.1+上这样的单位分数和式有无数多个。 x n 8n (2)满足分子相加2+7的分数之积
2 ×12=2×6=3×4 三种情况。这里“3+4 和 3×4 恰好是我们的一个答案”。那么从 分子之和为 7 考虑是否还有两种情况： ①由分子 7=1+6，分母为 12。若 12 7 12 6 12 1 化简其中 2 1 12 6 为真分数单 位，可得另一答案 12 1 2 1 12 7 。 ②由分子 7=2+5，分母为 12，应有 12 5 12 2 化简其中 6 1 12 2 为分子是 1 的单 位分数，而 12 5 已经是最简分数，无法化为分子为 1 的单位分数，不能得到符合题 意的答案。从分子相加为 7，分子相乘为 12 两者的角度考虑，写成 12 7 的两个单位 分数的和。只有 4 1 3 1 12 7 和 12 1 2 1 12 7 两个答案。 方法 分析：（2）将最简真分数 x 9 写成两个单位分数的和。从（1）的答案中启示 我们，可以从分子 9=1+8=2+7=3+6=4+5 这四种情况考虑，用穷举的方式归纳解出。 解：（1）满足分子相加 1+8 的分数之和： 8 9 1 8 1 1 1 （不合题意，舍去.） 16 9 2 8 1 2 1 （是一个答案） 8 3 24 9 3 8 1 3 1 （不是答案） 32 9 4 8 1 4 1 （是一个答案） 40 9 5 8 1 5 1 （是一个答案） 16 3 48 9 6 8 1 6 1 （不是答案） 56 9 7 8 1 7 1 （是一个答案） 64 9 8 8 1 8 1 ）（是一个答案） 8 1 72 9 9 8 1 9 1 （不是答案） ······ 总结：当 n≥1 为自然数，∵1×8=8，∴取 x=8n ，8n 不是 3 的倍数时， 即可。 x n 8n 9 1 1 这样的单位分数和式有无数多个。 （2）满足分子相加 2+7 的分数之积
1 1 2+7 n=1, 2x17x1 144 (是一个答案) n=2, 7+2_9 2×2+7×2=28=28 (是一个答案) n=3, 1,17+23 6+21=42=14 (不是答案) 4, 8+28-56 (是一个答案) 当x=2×7n=14n时(n≥1为自然数)，且3不能整除14n为此时解， 91 x 2、 这样的单位分数和式有无数多个。 (3)满足分子相加3+6的单位分数之和。 因为分母取x=3×6n=18n为9的倍数，不能构成最简真分数，故此种情况无解。， (4)满足分子相加4+5的单位分数之和。 类似地有：当x=4×5n=20n时(n≥1为自然数)，且3不能整除20n为 此时解，9 +】这样的单位分数和式有无数多个。 x 4n 5n 结论 从这道综合题，我们能否得到这么一个结论。 一般地，最简真分数m(m为奇数)，可以写成两个单位分数之和的条件是： 当 m=n1+n2(1≤n1<n2) x=n,n,n(n为自然数，且m,为m的质因数，不能整除n,n,n)时， m1+1 x nn nn 如果有那位同学能给以证明，那就太好了！ 启示 本堂课的问题虽然看似简单，但要深入下去，却是相当困难的，它牵扯 到数学的整数理论一一“数学王冠上的明珠”。可是本节课编排，从学生己 学过的“分数加减法”基础知识入手，从兴趣出发，启发引导，步步深入 探索研究，不断归纳总结，会得到非常漂亮的结论。 它给我们的启示是：看似非常艰深和复杂的问题，只要老师了解学生 的实际情况，师生共同努力，教师善于启发引导、适当讨论、归纳和探索， 都会解决的。这里结果并不重要，重要的是：在师生互动过程中，学生学 到了如何分析问题和如何探索解决问题的思维方法，即初步学习到如何尝 试、探索、推理和归纳的思维方法，这对于学生的长远发展是最宝贵的
3 n=1 ， 14 9 14 2 7 7 1 1 2 1 1 （是一个答案） n=2 ， 28 9 28 7 2 7 2 1 2 2 1 （是一个答案） n=3 ， 14 3 42 7 2 21 1 6 1 （不是答案） n=4 ， 56 9 28 1 8 1 （是一个答案） ······ 当 x=2×7n=14n 时 (n≥1 为自然数) ，且 3 不能整除 14n 为此时解， x n 7n 1 2 9 1 这样的单位分数和式有无数多个。 （3）满足分子相加 3+6 的单位分数之和。 因为分母取 x=3×6n=18n 为 9 的倍数，不能构成最简真分数，故此种情况无解。， （4）满足分子相加 4+5 的单位分数之和。 类似地有：当 x=4×5n=20n 时 (n≥1 为自然数) ，且 3 不能整除 20n 为 此时解， x n 5n 1 4 9 1 这样的单位分数和式有无数多个。 结论 从这道综合题，我们能否得到这么一个结论。 一般地，最简真分数 x m （m 为奇数），可以写成两个单位分数之和的条件是： 当 (1 ) m n1 n2 n1 n2 , ( ) x n1n2n n为自然数，且mi为m的质因数，不能整除n1n2n 时， x n n n n m 1 2 1 1 。 如果有那位同学能给以证明，那就太好了！ 启示 本堂课的问题虽然看似简单，但要深入下去，却是相当困难的，它牵扯 到数学的整数理论——“数学王冠上的明珠”。可是本节课编排，从学生已 学过的“分数加减法”基础知识入手，从兴趣出发，启发引导，步步深入， 探索研究，不断归纳总结，会得到非常漂亮的结论。 它给我们的启示是：看似非常艰深和复杂的问题，只要老师了解学生 的实际情况，师生共同努力，教师善于启发引导、适当讨论、归纳和探索， 都会解决的。这里结果并不重要，重要的是：在师生互动过程中，学生学 到了如何分析问题和如何探索解决问题的思维方法，即初步学习到如何尝 试、探索、推理和归纳的思维方法，这对于学生的长远发展是最宝贵的