吉林大学：《医用高等数学》课程电子教案（PPT课件）第四章 多元函数微积分学（6/6）

上讲提要 直角坐标系下的二重积分的计算 1.D型域： fyd 2.D型域；先x后积分，即 (dd 3.交换积分次序。 fxw→f.y)da-→x冰

3 上 讲 提 要 直角坐标系下的二重积分的计算 1．Dx型域: ( , ) D f x y d  2 1 ( ) ( ) ( , ) b x a x dx f x y dy   =   2．Dy型域；先x 后y 积分,即 ( , ) D f x y d  2 1 ( ) ( ) ( , ) d x c x dy f x y dx   =   3．交换积分次序。 2 1 ( ) ( ) ( , ) b x a x dx f x y dy      ( , ) D f x y d  2 1 ( ) ( ) ( , ) d x c x dy f x y dx     

第五节 二重积分 二.二重积分的计算 (二)极坐标系下的二重积分的计算 1.二重积分极坐标系下的表示 坐标变换 x=pcos0 p(x,y) ly=psine 9 被积函数f(x,y)=f(pcos0,psin0) 面积元素 do pdpde (p,0),给0一增量d0,p一增量 dp。做射线0,0+d0做同心圆 X p,p+dp得小区域△o,并表示小 区域面积

4 第五节 二重积分 二．二重积分的计算 （二）极坐标系下的二重积分的计算 1．二重积分极坐标系下的表示 坐标变换 cos sin x y      =   = 被积函数 f x y f ( , ) ( cos , sin ) =     面积元素 d d d     = ( , )   ，给 一增量d ，一增量 d。做射线 ，  + d ；做同心圆    , + d 得小区域 ，并表示小 区域面积。 y x p x y ( , ) ( , )     x y

pp+dp do-o+dprd0-5pad0-nNna0+gpdpnd0 ≈pd pdo 故 do pdpde 所以 ∬fx,yag=J∬f(pcos8,psin8)pdpd0 5

5 1 1 1 2 2 2 ( ) ( ) 2 2 2 d d d d d d d d d                 = + − = +  故 d d d     = 所以 ( , ) ( cos , sin ) D D f x y d f d d         =      + d  d 

2. 计算方法 (1)极点在D外 过极点O做两条射线0=x,0=B使其切于D(α<B)的 边界，交点将D分成两部分，边界方程为 D=P(0) p=P(0) P(0) (p(8)<P2(0), R(0) &≤B≤B p(0)≤p≤P(0) 所以∬f,io=8.,psin0)pdp 6

6 2．计算方法 （1）极点在 D 外 过极点 O 做两条射线 = ，  = 使其切于D(   )的 边界,交点将D分成两部分,边界方程为 1    = ( ) 2    = ( ) 2  ( ) 1 2 ( ( ) ( ))      ， 1  ( ) 1 2 : ( ) ( ) D                所以 2 1 ( ) ( ) ( , ) ( cos , sin ) D f x y d d f d               =    o r

例1.计算∬x2do,其中D是由圆x2+y=1,x2+y2=4, D x=0及y=0围成的I象限部分 π 0≤0≤ 解法1D 2 1≤p≤2 所以Jj∬rdo=ao(pcos'pdp -cos'ode p'dp 号+es280d0:p 7

7 例 1．计算 2 D x d  ，其中 D 是由圆 2 2 x y + =1， 2 2 x y + = 4， x = 0及y = 0围成的Ⅰ象限部分 解法 1 0 2 1 2 D             所以 2 D x d  2 2 2 0 1 d d ( cos )  =        2 2 2 3 0 1 cos d d  =       2 2 4 0 1 1 1 (1 cos2 ) 2 4 d  = +      o y 1 2 x

-15(+sim2 215 i16 元 8 2 解法2 D=DUD, Dve 0≤x≤1 1≤x≤2 D0≤y≤N4-r xdo-xay-f db 3-0 2尤 8

8 2 0 15 1 ( sin 2 ) 8 2  = +   15 16 =  解法 2 D D D = 1 2 1 2 2 0 1 1 4 x D x y x       −   − 2 2 1 2 0 4 x D y x         − 2 D x d  2 2 1 4 2 0 1 x x dx x dy − − =   2 2 4 2 1 0 x dx x dy − +  o y 1 2 x

=∫(4-2-V-)d+2xV4-d -fx14-xdx-fxf-xdx x=2sint,dx =2costdt;x=0,t=0;x=2,t= π 4sin4-4sin12cosidt 4 sin?21dt-2(1-cos4r)dr = 9

9 1 2 2 2 0 = − − − x x x dx ( 4 1 )  2 2 2 1 + − x x dx 4  2 1 2 2 2 2 0 0 = − − − x x dx x x dx 4 1   令 x t dx tdt = = 2sin , 2cos ; 0, 0; 2, 2 x t x t  = = = = 2 2 2 2 2 2 0 0 4 4sin 4 4sin 2cos x x dx t t tdt  − = −   2 2 0 4 sin 2tdt  =  2 0 2 (1 s4 ) co t dt  = −  2 0 1 2( sin 4 ) 4 t t  = − = 

令 x=sint,dx costdt x=0,1=0x=l1=2 dx=sin-sin'i costdt -sm2h 0rdo=r4-k-小x-平dk π15π =π 1616 10

10 令 x t dx tdt = = sin , cos 0, 0; 1, 2 x t x t  = = = = 1 2 2 2 2 2 0 0 x x dx t t tdt 1 sin 1 sin cos  − = −   2 2 0 1 sin 2 4 tdt  =  2 0 1 (1 s4 ) 8 co t dt  = −  16  = 2 D x d  2 1 2 2 2 2 0 0 = − − − x x dx x x dx 4 1   15 16 16   = − = 

例2.求川e+do,区域D={(x,)川1≤x2+y2≤9且y≥x π 5π ≤0≤ 解 4 1≤p≤3 所t以eda-dof po X =7e-e 11

11 例 2．求 2 2 x y D e d +  ，区域 2 2 D x y x y y x =  +   {( , ) |1 9 } 且 解 5 4 4 1 3 D              所以 2 2 x y D e d +  2 5 3 4 1 4 d e d   =       2 3 1 5 1 4 4 2 e      = −     9 ( ) 2 e e  = − x y o

例3.求∬Vx2+ydo,区域D={(x,川1≤x2+y2≤4 解 ∫0≤8≤2π D51≤p2 d-["do"p.pdp =2x-n5 1 2 x 12

12 例 3．求 2 2 D x y d +   ，区域 2 2 D x y x y =  +  {( , ) |1 4} 解 0 2 1 2 D           2 2 D x y d +   2 2 0 1 d d  =        2 3 1 1 (2 0) 3 14 3    = − = x y o 1 2