吉林大学：《线性代数》课程电子教案（PPT课件）第三章 线性方程组与向量组的线性相关性

第三章线性方程组与向量组的线性相关性 第一节消元法与线性方程组的相容性 一、线性方程组的相容性与克莱姆法则 一般地，n个未知量m个方程的线性方程组可以表示为 a11X1+a12X2+…+a1nXn=b1, a21X1+a22X2+…+a2mXn=b2, (1) amx+am2X2++ammxn =bm2 其中X1,x2,…,x是方程组的n个未知量，a,(i=1,2,…,m,j=1,2,…,n) 是第个方程中第个未知量x的系数，b,(i=1,2,…,m)是第个方程 的常数项 2

2 第三章 线性方程组与向量组的线性相关性 第一节 消元法与线性方程组的相容性 一、线性方程组的相容性与克莱姆法则 一般地，n个未知量m个方程的线性方程组可以表示为                  , , , 1 1 2 2 21 1 22 2 2 2 11 1 12 2 1 1 m m mn n m n n n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b           （1） 其中 是方程组的n个未知量， 是第i个方程中第j个未知量 的系数， 是第i个方程 的常数项． n x , x , , x 1 2  a (i 1,2, ,m; j 1,2, ,n) ij     j x b (i 1,2, ,m) i  

若记 a11 12 a21 022 A= ,北s b= … am Xn b. 则按矩阵乘法和矩阵相等的定义，()式可写成 Ax=b, (2) 其中m×n矩阵A称为线性方程组(1)的系数矩阵，m×(n+1)矩阵 A=(A,b)称为方程组(1)的增广矩阵。 当b=0即b=b2=…=bm=0时，相应的方程组称为齐次线性方程组， 此时，方程(2)即为 Ax=0 (3) 3

3 其中 矩阵 称为线性方程组(1)的系数矩阵， 矩阵 称为方程组(1)的增广矩阵． m  n A m  (n 1) ( , ) ~A  A b 当b  0即 b1  b2  bm  0时,相应的方程组称为齐次线性方程组． , ,        m m mn n n a a a a a a a a a        1 2 21 22 2 11 12 1 A , 若记        xn x x x  2 1 1 2 , m b b b b         Ax  b (2) 则按矩阵乘法和矩阵相等的定义，(1)式可写成 ． 此时，方程(2)即为 Ax  0 （3）

如果用常薮1,52，…，5依次代替线性方程组(1)中的n个未知量 X1,X2,…,X时，(1)中m个方程均成为恒等式，则称x1三5，x2三 52,…,xn=5m为(1)的一个解.此时也说方程组(1)有解，并称向量 5 为(1)的一个解向量，或说x=是Ab的解。 当线性方程组有解时，就说该方程组是相容的，否则就说它 是不相容的. 若x=5≠0满足(3)式，则称X=ξ是齐次线性方 程组的一个非零解.很显然，任何齐次线性方程组都有零解x=0 所以齐次线性方程组总是相容的.那么，非齐次线性方程组 Ax=b(b≠0)在什么条件下才相容呢？

4 如果用常数 依次代替线性方程组(1)中的n个未知量 时，(1)中m个方程均成为恒等式，则称 ， 为(1)的一个解． , 1 x n ξ ,ξ , ,ξ 1 2  n x , , x 2  1   1 x x2  n n  2 ,, x           n    2 1 ξ 此时也说方程组(1)有解，并称向量 为(1)的一个解向量, 或说 xξ 是 Axb 的解． 当线性方程组有解时，就说该方程组是相容的，否则就说它 是不相容的． 若 满足(3)式，则称 是齐次线性方 程组的一个非零解． x ξ  0 x ξ 很显然，任何齐次线性方程组都有零解 ， 所以齐次线性方程组总是相容的． x  0 那么，非齐次线性方程组 Ax  b(b  0) 在什么条件下才相容呢？

我们先来看一种特殊情形.设m=n,且|A卡0，即方阵A 可逆，则线性方程组(1)有且仅有一个解 x A-'b, 其中 A A An A- A2 A2 42 A 从而 A A21 b b41+b241+…+br Am A b2 b42+b2A22+…+bnAn2 : |4 An bAin+b2An++bnAm

5 我们先来看一种特殊情形．设 ，且 ，即方阵 A 可逆，则线性方程组(1)有且仅有一个解 m  n | A | 0 1 x A b,   其中         n n nn n n A A A A A A A A A | |        1 2 12 22 2 11 21 1 1 1 A A 从而              n n nn n n n b b b A A A A A A A A A        2 1 1 2 12 22 2 11 21 1 | | 1 A x                 n n n nn n n n n b A b A b A b A b A b A b A b A b A | |        1 1 2 2 1 12 2 22 2 1 11 2 21 1 1 A

若记D,为以b代替A中的第列所得到的行列式 a1 D d21 a2-H1b2 2,j1 j=1,2,…,n an an.j bn an.j ann 注意到b,在D,中的代数余子式为A,,将D,按第列展开得 D,=b4,+b2A2,+…+bnA,j=1,2,…,n 则有 D D2 即x---为方程组()的解。 6

6 若记Dj为以b代替| A|中的第j列所得到的行列式 j n a a b a a a a b a a a a b a a D n n j n n j nn j j n j j n j , 1,2, , 1 , 1 , 1 21 2, 1 2 2, 1 2 11 1, 1 1 1, 1 1                     注意到bi在Dj中的代数余子式为 Aij ，将 Dj按第j列展开得 Dj  b1A1 j  b2A2 j  bnAnj , j 1,2,,n 则有        Dn D D  2 1 | | 1 A x 即 1 | A 1 |, 2 | A 2 |, , n | A n |为方程组(1)的解． D x D x D x    

克莱姆[Cramer]法则n个未知量n个方程的线性方程组Ax=b ,当其系数行列式A≠0时，有唯一解 D X)= j=1,2,…,n 其中D,是以b代替A中第列所得到的行列式. 例1解线性方程组 2x1+x2-5x3+x4=8 x1-3x2 -6x4=9, 2x2 -x3+2x4=-5 x1+4x2-7x3+6x4=0. 解方程组的系数行列式 2 1 -5 1 7-513 1 4 -3 0 -6 2 -1 2 02 -1 2 7-712 14 -7 6 2c2+C1 -3 -5 3 2c2+c3 3 0 -1 0 =-1( 27≠0. -7 -7 -2

7 克莱姆[Cramer]法则 n个未知量n个方程的线性方程组 ，当其系数行列式 时，有唯一解 , Ax  b | A| 0 j n D x j j , 1,2, , | |    A 其中 Dj是以b代替| A|中第j列所得到的行列式． 例1 解线性方程组                    4 7 6 0. 2 2 5, 3 6 9, 2 5 8, 1 2 3 4 2 3 4 1 2 4 1 2 3 4 x x x x x x x x x x x x x x 解 方程组的系数行列式 | A| 1 4 7 6 0 2 1 2 1 3 0 6 2 1 5 1      7 7 12 2 1 2 7 5 13     2c2+c1 2c2+c3 7 7 2 0 1 0 3 5 3        3 3 1( 1) 27 0. 7 2        

8 1-5 2 8 -5 1 2 18 1 2 1-5 8 9 -3 0 -6 0 -6 -3 9 -6 -3 0 D1= =81D2= =-108D3= =-27D4= 9 0 =27 -5 2 1 0-5-1 0 2-5 2 2 0 -7 6 1 0 -7 6 1 4 6 4 -7 0 根据克莱姆法则，原方程组有唯一一组解 X1=3,x2=-4,x3=-1,x4=1. 二、消元法 定义1若线性方程组4x=b,的解都是Ax=b的解，反之A,x=b, 的解也都是Ax=b,的解，则称线性方程组Ax=b,与Ax=b2是同解 方程组. 2x-x2+3x=1 例2解线性方程组 4x+2x2+5x3=4, 2x +2x=6 解将第1个方程的-2倍、-1倍分别加到第2、3两个方程上，得到 与原方程同解的方程组 2x1-x2+3x3=1 4x2-x3=2, x2-x3=5

8 81 0 4 7 6 5 2 1 2 9 3 0 6 8 1 5 1 1        D  108 1 0 7 6 0 5 1 2 1 9 0 6 2 8 5 1 2        D  27 1 4 0 6 0 2 5 2 1 3 9 6 2 1 8 1 3      D  27 1 4 7 0 0 2 1 5 1 3 0 9 2 1 5 8 4       D  根据克莱姆法则，原方程组有唯一一组解 1 2 3 4 x  3, x  4, x  1, x 1. 二、消元法 定义1 若线性方程组 的解都是 的解，反之 的解也都是 的解，则称线性方程组 与 是同解 方程组． 1 1 A x  b A2 x  b2 2 2 A x  b 1 1 A x  b 1 1 A x  b 2 2 A x  b 例2 解线性方程组              2 2 6. 4 2 5 4, 2 3 1, 1 3 1 2 3 1 2 3 x x x x x x x x 解 将第1个方程的-2倍、-1倍分别加到第2、3两个方程上,得到             5. 4 2, 2 3 1, 2 3 2 3 1 2 3 x x x x x x x 与原方程同解的方程组

在上述方程组中，将第3个方程的1倍，-4倍分别加到第1,2两个方 程上，并交换2,3两个方程的位置，得同解方程组 2x1+2x3=6, x2-X3=5, 3x3=-18, 第1个方程两端同乘以) 第3个方程两端同乘以。，得 3 +x3=3, x2-x3=5, x3=-6 再将第3个方程的-1倍，1倍分别加到第1,2两个方程上，得原方程 组的解 x1=9, x2=-1, 3=-6. 9

9 在上述方程组中，将第3个方程的1倍，-4倍分别加到第1，2两个方 程上，并交换 2 ，3两个方程的位置，得同解方程组            3 18. 5, 2 2 6, 3 2 3 1 3 x x x x x 第1个方程两端同乘以 ，第3个方程两端同乘以 ，得 2 1 3 1            6. 5, 3, 3 2 3 1 3 x x x x x 再将第3个方程的 -1倍，1倍分别加到第1，2两个方程上，得原方程 组的解           6. 1, 9, 3 2 1 x x x

在上述求解线性方程组的过程中，不外乎对方程组施行以下三 种变换： 1)用一个非零常数乘某一个方程； 2)把一个方程的若干倍加到另一个方程上； 3)互换两个方程的位置， 它们统称为线性方程组的初等变换.经过初等变换得到的方程组都与 原方程组同解.而解线性方程组的过程，就是利用这三种初等变换 逐次“消元”，使原方程组逐步化简为与其同解的、能够直接给出解 的方程组. 从例2的解答过程中，我们不难发现，在对方程组施行初等变换 时，参与变化的仅是未知量的系数和常数项.因此，对线性方程组 Ax=b施行初等变换，相当于对增广矩阵A=(A,b)施行初等行变换， 反之亦然那么，求解线性方程组的过程，就是用初等行变换将增 广矩阵化为行最简形的过程. 10

10 在上述求解线性方程组的过程中，不外乎对方程组施行以下三 种变换： 1）用一个非零常数乘某一个方程； 2）把一个方程的若干倍加到另一个方程上； 3）互换两个方程的位置， 它们统称为线性方程组的初等变换．经过初等变换得到的方程组都与 原方程组同解．而解线性方程组的过程，就是利用这三种初等变换 逐次“消元” ，使原方程组逐步化简为与其同解的、能够直接给出解 的方程组． 从例2的解答过程中，我们不难发现，在对方程组施行初等变换 时，参与变化的仅是未知量的系数和常数项．因此，对线性方程组 施行初等变换，相当于对增广矩阵 施行初等行变换， 反之亦然． Ax  b ( , ) ~A  A b 那么，求解线性方程组的过程，就是用初等行变换将增 广矩阵化为行最简形的过程．

设A=[a,]mxn,R(A)=5不妨设矩阵A的前r列中有r阶 非零子式，对增广矩阵A施行换法变换，将非零子式所 在的行调到前r行，再经过若干次初等行变换，将A化为行最简形 0 ·0C14 1…. ….0 d. (C,d) 0 0 0 0 0 : 0 0 0 它所对应的、与原方程组Ax=b同解的方程组为 x1+ Cr+xrH+…+Cnxn=d1, 2+C2,+1Xl+…+C2nxn=d2 X+Crr+Cmxn =d 0=d,+ 0=0, 0=0 11

11 设 ，不妨设矩阵A的前r列中有r阶 非零子式，对增广矩阵 施行换法变换，将非零子式所 在的行调到前r行，再经过若干次初等行变换，将 化为行最简形 a r A  [ ij]mn ,R(A)  A ~ A ~         0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 0 ( , ) 1 , 1 1, 1 1 1                   r r r rn r r n d c c d c c d C d 它所对应的、与原方程组 Ax  b同解的方程组为                            0 0. 0 0, 0 , , , , 1 , 1 1 2 2, 1 1 2 2 1 1, 1 1 1 1          r r r r r rn n r r r n n r r n n d x c x c x d x c x c x d x c x c x d (4)