上讲提要 1.空间直角坐标系、两点距离、空间曲面： 2.多元函数概念、二元函数定义域、图形； 3.多元函数的极限与连续。 3
3 上 讲 提 要 1．空间直角坐标系、两点距离、空间曲面； 2．多元函数概念、二元函数定义域、图形； 3． 多元函数的极限与连续
第二节偏导数与全微分 一、偏导数的概念 (一)实例 例已知理想气体的状态方程为 P=R(R为常量) 常需讨论： 1.在恒温下T看成常量)，当容积膨胀、压缩(W变 化)时，压强变化的快慢程度（即P对Ψ的变化率）： 2.在等积下(V看成常量)，当漫度升高或降低{变 化)时，压强变化的快慢程度（即P对的变化率）
4 第二节 偏导数与全微分 一、偏导数的概念 （一）实例 例 已知理想气体的状态方程为 T P R V = （R 为常量） 常需讨论： 1．在恒温下（T 看成常量），当容积膨胀、压缩（V 变 化）时，压强变化的快慢程度（即P 对V 的变化率）； 2．在等积下（V 看成常量），当漫度升高或降低（T 变 化）时，压强变化的快慢程度（即P 对T 的变化率）
(二)概念 1.偏增量 二元函数z=f(x,y)在P(x,y)的某邻域U(P)内有定义， 自变量x取增量△x,使(x。+△x,y,)∈U(P),函数有增量 f(x+△x,y)-f(x,)称为函数z=f(x,y)在P,点处关于 x的偏增量，记作△zx,即 △zx=f(x+△x,)-f(xo,) 同理可定义z=f(x,y)在P点处关于y的偏增量△2， △2v=f(x,%+△y)-f(xo,) 2.偏导数 定义4-4设函数z=f(x,y)在P(x,)点的某一邻域内有 定义，当△x→0时，函数关于x的偏增量与△x之比的极限， 5
5 （二）概念 1．偏增量 二元函数z f x y = ( , )在 0 0 0 P x y ( , )的某邻域 0 U P( )内有定义， 自变量 x取增量x， 使 0 0 0 ( , ) ( ) x x y U P + ，函数有增量 0 0 0 0 f x x y f x y ( , ) ( , ) + − 称为函数z f x y = ( , )在P0点 处关 于 x的偏增量，记作 x z ，即 x z 0 0 0 0 = + − f x x y f x y ( , ) ( , ) 同理可定义z f x y = ( , )在P0点处关于y的偏增量 y z , y z 0 0 0 0 = + − f x y y f x y ( , ) ( , ) 2．偏导数 定 义 4-4 设函数z f x y = ( , )在 0 0 0 P x y ( , )点的某一邻域内有 定义，当 →x 0时，函数关于x的偏增量与x之比的极限
即lim = im f(x+△x,)-fx2存在，则称此极 0△x △x→0 △x 限值为函数z=f(x,y)在B,(x)点处关于x的偏导数， 记作 f(xoYo).i 0z xx=%0 f）, v=Yo 同理可定义，函数z=f(x,y)在P(x,)点处关于y 的偏导数，记作 0z f(x%) Oy y=Yo y=Yo 说明 (1)若函数z=f(x,y)在区域D上每一点都有关于x或
6 即 0 0 0 0 0 0 ( , ) ( , ) lim lim x x x z f x x y f x y → → x x + − = 存在，则称此极 限值为函数z f x y = ( , )在 0 0 0 P x y ( , )点处关于x的偏导数， 记作 0 0 ( ) x f x y , 0 0 x x y y z x = = , 0 0 f x y ( , ) x , 0 0 x x x y y z = = 同理可定义，函数z f x y = ( , )在 0 0 0 P x y ( , )点处关 于y 的偏导数，记作 0 0 ( ) y f x y , 0 0 x x y y z y = = , 0 0 f x y ( , ) y , 0 0 y x x y y z = = 说明 （1）若函数z f x y = ( , )在区域 D 上每一点都有关于x或
y的偏导数，称其为偏导函数，常简称为偏导数，记作 fx,y), dz of(x,y) Ox'Ox 或 f(x,y) dz of(x,y) dy'ay z=f(x,y)在(x,y)点关于x或y的偏导数，可视为此 函数关于x或y的偏导函数在P,点的函数值。二元函数、偏 导数有二个产，（整体记号） Ox oy (2)推广到三元函数u=f(x,y,z),有三个偏导数 OuOuou Ox'Oy'Oz 7
7 y的偏导数，称其为偏导函数，常简称为偏导数，记作 ( , ) x f x y , z x , f x y ( , ) x , x z 或 ( , ) y f x y , z y , f x y ( , ) y , y z z f x y = ( , )在 0 0 0 P x y ( , )点关于 x或 y的偏导数，可视为此 函数关于x或y的偏导函数在P0点的函数值。二元函数、偏 导数有二个 z x , z y （整体记号） （2）推广到三元函数u f x y z = ( , , )，有三个偏导数 u x , u y , u z
例如 Bu lim f(x+Ax,y,z)-f(x,y,z) ,n 元函数 Ex △x-→0 △x 2=f(x,x2,…,xn),有n个偏导数 ax'ax2’ 0x (3)求偏导数，只需将其余变量看成常量，对一个变量 求一元函数导数，方法同一元函数求导。 (4)偏导数存在未必连续。 x2+y2≠0 在(0,0)点偏导数存 0 x2+y2=0 在，但在(0,0)点不连续。 8
8 例 如 u x 0 ( , , ) ( , , ) limx f x x y z f x y z → x + − = ，n 元函数 1 2 ( , , , )n z f x x x = ，有n 个偏导数 1 z x , 2 z x ,…, n z x （3）求偏导数，只需将其余变量看成常量，对一个变量 求一元函数导数，方法同一元函数求导。 （4）偏导数存在未必连续。 例 2 2 2 2 2 2 0 ( , ) 0 0 xy x y f x y x y x y + = + + = 在(0,0) 点偏导数存 在，但在(0,0)点不连续
证f'(0,0)=lim f(0+△x,0)-f(0,0) △x→0 △x 0- lim 0=0 △x-→0 △x (0,0)=lim f(0,0+△x)-f0,0) △y->0 △y 0=0 0- lim Ay-0△y 由此f(x,y)在(0,0)点关于x,关于y的偏导数都存在。 由上讲可知limf(x,)=1im,子 y x-→0 y-→0 ，不在，所以数 y-→0 f(x,y)在(0,0)点不连续。 9
9 证 0 (0 ,0) (0,0) x (0,0) lim x f x f f → x + − = 0 0 0 lim 0 →x x − = = 0 (0,0 ) (0,0) y (0,0) lim y f x f f → y + − = 0 0 0 lim 0 →y y − = = 由此 f x y ( , )在(0,0)点关于x，关于y的偏导数都存在。 由上讲可知 2 2 0 0 0 0 lim ( , ) lim x x y y xy f x y → → x y → → = + 不存在，所以函数 f x y ( , )在(0,0)点不连续
3. 几何意义 z=f(x,y)表示空间上一张曲面 (1)f(xy)表示空间曲线 ==f(x.y) (y=Yo APB在P(x,乃o,f(x0,)》点处的 切线的斜率tana; (2)f(x%)表示空间曲线 D z=f(x,y) X=X0 CPD在PB(xo,o,f(x,y)》点处切 线的斜率tanB。 10
10 3．几何意义 z f x y = ( , )表示空间上一张曲面 （1） 0 0 ( ) x f x y 表示空间曲线 0 z f x y ( , ) y y = = AP B0 在 0 0 0 0 0 P x y f x y ( , , ( , ))点处的 切线的斜率tan； （2） 0 0 ( ) y f x y 表示空间曲线 C 0 z f x y ( , ) x x = = CP D0 在 0 0 0 0 0 P x y f x y ( , , ( , ))点处切 线的斜率tan 。 y z x P0 D S A B T o
4.计算 例1已知f(x,y)=2x2y+3xy2+4x-9,求f(0,4),f(1,2)。 解f(x,y)=4xy+3y2+4,则f(0,4)=52 f(x,y)=2x2+6xy,则f(1,2)=14 例2已知：=x,求证x+L空=2： yOx Inx ay 证 因为 02 8x =x1 =x'Inx 8y 所以 x+1 1 x%Inx yox =xx+ Inx ay y Inx x'+x'=2x'=2z 11
11 4．计算 例 1 已知 2 2 f x y x y xy x ( , ) 2 3 4 9 = + + − ，求 (0,4) x f , (1,2) y f 。 解 2 ( , ) 4 3 4 x f x y xy y = + + ,则 f x (0,4) 52 = 2 f x y x xy y ( , ) 2 6 = + ,则 f y (1,2) 14 = 例 2 已知 y z x = ，求证 1 2 ln x z z z y x x y + = 证 因为 z y 1 yx x − = ln z y x x y = 所以 1 ln x z z y x x y + 1 1 ln ln x y y yx x x y x − = + 2 2 y y y x x x z + = =
例3已知z=arctan,求偏导数 解 器心 1+( 例4已知u=y,求偏导数 Ou Ou 解 Ox =yi ay =xy ou =xy Iny 例5已知理想气体的状态方程PΨ=RTR为常量)， ap av at 求证 av at ap 1。 12
12 例 3 已知 arctan y z x = ，求偏导数 解 2 2 2 2 1 1 ( ) z y y x x x y y x − = − = + + 2 2 2 1 1 1 ( ) z x y x x y y x = = + + 例 4 已知 z u xy = ，求偏导数 解 u z y x = u z 1 xzy y − = ln u z xy y z = 例 5 已知理想气体的状态方程PV RT = （R 为常量）， 求证 1 P V T VTP = −
