第四章多元函数微分学 第一节 多元函数 一、空间解析几何简介 (一)空间直角坐标系 1.坐标系 过空间一定点O作三条互相垂直的数轴，它们都 以O为原点，一般具有相同的长度单位，且它们的正 向符合右手法则，这样就构成了空间直角坐标系 O-yz,O称为坐标原点，三条数轴 称为坐标轴。 x轴（横轴） y轴（纵轴） 坐标轴 2轴（竖轴）
3 第四章 多元函数微分学 第一节 多元函数 一、空间解析几何简介 （一）空间直角坐标系 1．坐标系 过空间一定点 O 作三条互相垂直的数轴，它们都 以 O 为原点，一般具有相同的长度单位，且它们的正 向符合右手法则，这样就构成了空间直角坐标系 O xyz − ，O 称为坐标原点，三条数轴 称为坐标轴。 x 轴（横轴） y轴（纵轴） 坐标轴 z轴（竖轴） z y x o
2. 坐标平面 o 20X 0 三条坐标轴中每两条坐标轴可以确定一个平面，称 为坐标平面，共有三个坐标平面 x轴、y轴确定的xoy平面 y轴、z轴确定的yoz平面 坐标平面 z轴、x轴确定的z0x平面 4
4 2．坐标平面 三条坐标轴中每两条坐标轴可以确定一个平面，称 为坐标平面，共有三个坐标平面 x轴、y轴确定的xoy平面 y轴、z轴确定的yoz平面 坐标平面 z轴、x轴确定的zox平面 o x y z xoy yoz zox
3.卦限 Ⅲ VI VI xVⅧ 三个坐标平面将空间分成八个部分，每个部分叫做卦限， 含有x轴，y轴，z轴正方向的那个卦限称为第一卦限，在xoy 平面上方，按逆时针方向，依次称为第二、第三、第四卦 限，在平面下方与第一、第二、第三、第四卦限对称地有 第五、第六、第七、第八卦限。 5
5 o x y z Ⅱ Ⅰ Ⅲ Ⅳ Ⅴ Ⅵ Ⅶ Ⅷ 3.卦限 三个坐标平面将空间分成八个部分，每个部分叫做卦 限， 含有x轴，y轴，z轴正方向的那个卦限称为第一卦限，在xoy 平面上方，按逆时针方向，依次称为第二、第三、第四卦 限，在平面下方与第一、第二、第三、第四卦限对称地有 第五、第六、第七、第八卦限
坐亦 P B 设P为空间一点，过P作三个平面分别垂直铲轴'轴、 二轴与它们分别交于A、B、C三点，它们往轴、y轴、2轴 的坐标分别为、y、2,于是P点唯一确定一有序数组 (x,y,z); 反之，已知有序数组(x,y,),在轴上取坐标为的点 在'轴上取坐标为'点B,在轴上取坐标为的点C,过
6 4．坐标 z x y 设P为空间一点，过P 作三个平面分别垂直于x 轴、y 轴、 z轴与它们分别交于A、B 、C 三点，它们在x 轴、y 轴、z 轴 的坐标分别为x 、y 、z ，于是P 点唯一确定一有序数组 ( , , ) x y z ； 反之，已知有序数组( , , ) x y z ,在 x 轴上取坐标为x 的点A ， 在 y轴上取坐标为y 点B ，在z 轴上取坐标为z 的点C ，过A 、 o P B A C x y z
B、C点分别作为x轴、y轴、z轴的平面，这三个平面 交于P点，则有序数组(x,y,z)唯一确定空间的一点P。 因此，空间上一点P与一有序数组(x,y,z)建立了一 一对应关系，称(x,y,)为P点的坐标，并依次称为点的 横坐标，纵坐标，竖坐标或坐标、y坐标、2坐标。通 常记坐标为x,y,z的点P为P(x,y,z) 特殊点的坐标 坐标原点O(0,0,0) 坐标 「x轴(x,0,0) 坐标 xoy平面上(x,y,0) 轴上 y轴(0，y,0) 平面上 y0z平面上(0，y,2) 的点 轴(0,0，z) 的点 z0x平面上(x,0,2)
7 B、C 点分别作为x轴、y 轴、z 轴的平面，这三个平面 交于P点, 则有序数组( , , ) x y z 唯一确定空间的一点 P。 因此，空间上一点P 与一有序数组( , , ) x y z 建立了一 一对应关系，称( , , ) x y z 为P 点的坐标，并依次称为点的 横坐标，纵坐标，竖坐标或x 坐标、y 坐标、z 坐标。通 常记坐标为x y z , , 的点P 为P x y z ( , , )。 特殊点的坐标 坐标原点O(0,0,0) 坐标 x 轴( ,0,0) x 坐 标 xoy 平面上( , ,0) x y 轴上 y轴(0, ,0) y 平面上 yoz 平面上(0, , ) y z 的点 z轴(0,0, )z 的 点 zox 平面上( , , ) x o z
两点间的距离 设P(x1,y1,21),P(x2,y2,22)为空间上的两点，过P,P, 各做三个分别垂直于三个坐标轴的平面，这六个平面围 成了，以P为对角线的长方体，故 R IPBP-PBP+IBBP P =PAP+ABP+PBP =(x2-x)2+(2-)2+(32-)2 8
8 （二）两点间的距离 设 1 1 1 1 P x y z ( , , )， 2 2 2 2 P x y z ( , , )为空间上的两点,过 1 2 P P, 各做三个分别垂直于三个坐标轴的平面，这六个平面围 成了,以P P1 2为对角线的长方体，故 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 1 2 | | | | | | | | | | | | PP PB P B P A AB P B = + = + + P1 2 2 2 2 1 2 1 2 1 = − + − + − ( ) ( ) ( ) x x y y z z y x z R P2 Q A B o
1PB=V(x2-x)2+(y2-y)2+(32-2)月 特别P(x,y,z)与原点O(0,0,0)的距离 d=vx2+y2+z2 例1求证以A(4,3,1),B(7,1,2),C(5,2,3)为顶点的三角形是 等腰三角形。 证|AB=V(7-4)2+(1-3)2+(2-1)2 =V14 1BC=V(5-7)2+(2-1)2+(3-2)2=V6 CA=V5-4)2+(2-3)2+(3-1)2=V6 所以BC曰CA|,因此AABC为等腰三角形。 9
9 2 2 2 1 2 2 1 2 1 2 1 | | ( ) ( ) ( ) PP x x y y z z = − + − + − 特别P x y z ( , , )与原点O(0,0,0)的距离 2 2 2 d x y z = + + 例 1 求证以A(4,3,1),B(7,1,2),C(5,2,3)为顶点的三角形是 等腰三角形。 证 2 2 2 | | (7 4) (1 3) (2 1) AB = − + − + − = 14 2 2 2 | | (5 7) (2 1) (3 2) 6 BC = − + − + − = 2 2 2 | | (5 4) (2 3) (3 1) 6 CA = − + − + − = 所以| | | | BC CA = ，因此ABC 为等腰三角形
例2求与二定点A(1,2,0)和B(2,1,3)等距离的点的轨迹方 程。 解设与A,B点等距离的点M(x,y,z), 依题意|AM=BM| 即√(x-1)2+(y-2)2+(z-0)2 =V(x-2)2+(y-1)2+(z-3)2 化简2x-2y+6z-9=0 10
10 例 2 求与二定点A(1,2,0)和B(2,1,3)等距离的点的轨迹方 程。 解 设与A B, 点等距离的点M x y z ( , , ), 依题意| | | | AM BM = 即 2 2 2 ( 1) ( 2) ( 0) x y z − + − + − 2 2 2 = − + − + − ( 2) ( 1) ( 3) x y z 化简 2 2 6 9 0 x y z − + − =
例3在坐标y0z平面上，求一点P,使该点与A(3,0,4), B(3,4,0)的距离相等，且与原点的距离3√2。 解令P(0,y,z) 依题意|PA曰PB,POF3V2 V0-3}2+0y-0)2+(2-42=V0-32+(0y-42+(2-0 即 V02+y2+2=32 6 故P点为(0,3,3)或(0，-3，-3) 11
11 例 3 在坐标yoz 平面上，求一点P ，使该点与A(3,0,4) ， B(3,4,0)的距离相等，且与原点的距离为3 2 。 解 令P y z (0, , ) 依题意| | | | PA PB = ,| | 3 2 PO = 即 2 2 2 2 2 2 2 2 2 (0 3) ( 0) ( 4) (0 3) ( 4) ( 0) 0 3 2 y z y z y z − + − + − = − + − + − + + = 即 2 2 18 y z y z = + = 3 3 y z = = 故P点为(0,3,3)或(0, 3, 3) − −
(三)几种曲面方程 1.平面 Ax+By+Cz+D=0 其中A,B,C,D为常数，且A,B,C,D不同时为零。 2.球面 以M(x,,20)点为球心， 以R为半径的球面方程 R (x-x)2+y-%)2+(2-2)2=R2 Mo 特别，球心为原点(0,0,0)， 球面方程 X x2+y2+z2=R2 12
12 （三）几种曲面方程 1．平面 Ax By Cz D + + + = 0 其中A B C D , , , 为常数，且A B C D , , , 不同时为零。 2．球面 以 0 0 0 0 M x y z ( , , )点为球心， 以R为半径的球面方程 2 2 2 2 0 0 0 ( ) ( ) ( ) x x y y z z R − + − + − = 特别，球心为原点(0, 0, 0)， 球面方程2 2 2 2 x y z R + + = x x y z R M0
