第二章矩阵 矩阵是线性代数中最重要的内容之一，它贯穿 于线性代数的各个部分.矩阵也是许多应用学科中 不可缺少的有力工具 本章主要介绍矩阵概念、性质和运算，并把向 量视为特殊矩阵，很自然地引进向量概念及其线性 运算，还介绍矩阵的秩，初等变换，可逆矩阵和分 块矩阵等理论知识，为今后学习打下基础
2 矩阵是线性代数中最重要的内容之一，它贯穿 于线性代数的各个部分．矩阵也是许多应用学科中 不可缺少的有力工具． 本章主要介绍矩阵概念、性质和运算，并把向 量视为特殊矩阵，很自然地引进向量概念及其线性 运算，还介绍矩阵的秩，初等变换，可逆矩阵和分 块矩阵等理论知识，为今后学习打下基础． 第二章 矩 阵
第一节矩阵与向量的概念 一、矩阵的概念 X1-x2+3x3=2) 考察线性方程组 2x1-x2+2x3=0, x1-x2+X3=4, 它是由三个线性方程组成的，每个方程中含有三个未知量x,2,x, 现在隐去三个方程中的未知量x,x2,x3和等号“=”，分离出 各未知量的系数，上述线性方程组可简化成如下数表 32 2 -12 -11 它完全代表了方程组，而且形式更简捷。 数表中的横排称为行，竖排称为列。该数表叫做3行4列的矩阵
3 考察线性方程组 − + = − + = − + = 4, 2 2 0, 3 2, 1 2 3 1 2 3 1 2 3 x x x x x x x x x 它是由三个线性方程组成的，每个方程中含有三个未知量 1 2 3 x x x , , . 一、矩阵的概念 第一节 矩阵与向量的概念 现在隐去三个方程中的未知量 ， ， 和等号“ = ”，分离出 各未知量的系数，上述线性方程组可简化成如下数表 1 x 2 x 3 x 1 1 3 2 2 1 2 0 , 1 1 1 4 − − − 它完全代表了方程组，而且形式更简捷。 数表中的横排称为行，竖排称为列。该数表叫做3行4列的矩阵
定义1由m×n个数a,i=12,,m,j=12,…,m排成m行n列的数表 a11 12 a21 a22 a2n am am2 amn 叫做m行n列矩阵或m×n矩阵，记作A或Amxn 矩阵的记号“[]”也可用“()”代替，二者是通用的. 矩阵A中的mx个数叫做矩阵A的元素，a是矩阵A的第i行 第j列元素，简称(i,j)元.有时矩阵A也简记为[a,]或[a,lmn 元素为实数的矩阵称为实矩阵.元素为复数的矩阵称为复矩阵 本书中的矩阵除特别声明者外，都指实矩阵. 当m=时，A称为n阶方阵或n阶矩阵，并将Am简记为A,· 元素都是0的矩阵称为零矩阵，记作Om或O mxn
4 定义1 由 m n 个数 aij(i =1,2, ,m, j =1,2, ,n) 排成 m 行 n 列的数表 m m m n n n a a a a a a a a a 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 叫做 m 行 n 列矩阵或 m n 矩阵，记作 A 或 . A m n 矩阵的记号“[ ]”也可用“（ ）”代替，二者是通用的． 矩阵 中的 个数叫做矩阵 的元素， 是矩阵 的第 行 第 列元素，简称 元． A m n A aij A i j ( , ) i j 元素为实数的矩阵称为实矩阵．元素为复数的矩阵称为复矩阵． 有时矩阵 A 也简记为 [aij] 或 [aij] mn． 本书中的矩阵除特别声明者外，都指实矩阵． 当 m = n 时， A 称为 n 阶方阵或 n 阶矩阵，并将 Ann 简记为An ． 元素都是0的矩阵称为零矩阵，记作 Om n 或 O ．
行数相同且列数也相同的两个矩阵称为同型矩阵， 设有两个同型矩阵A=[a,l和B=[b,]mn,如果它们对应位置的元 素都相等，即 a=b,i=1,2,…,m;j=1,2,…,n, 则称矩阵A与B相等，记作A=B. 二、向量的概念 定义2n行1列矩阵称为n维列向量，1行n列矩阵称为n维行 向量，n维列向量与n维行向量统称为n维向量，简称向量. 常用表示向量的记号有a,?,x,y,z等 向量就是特殊的矩阵，即一行或一列的矩阵.因此，按矩阵相 等和零矩阵的定义，可得两个向量相等和零向量的概念，不过零向 量记作0.n维向量实质上是一个n元有序数组，它的第i个元素又 称为向量的第i个分量. 5
5 行数相同且列数也相同的两个矩阵称为同型矩阵． 设有两个同型矩阵 和 ，如果它们对应位置的元 素都相等，即 = aij mn A [ ] = bij mn B [ ] , 1,2, , ; 1,2, , , ij ij a b i m j n = = = 则称矩阵 A 与 B 相等，记作 A= B ． 常用表示向量的记号有 α β γ x y z 等. , , , , , 向量就是特殊的矩阵，即一行或一列的矩阵．因此，按矩阵相 等和零矩阵的定义，可得两个向量相等和零向量的概念，不过零向 量记作0． 维向量实质上是一个 元有序数组，它的第 个元素又 称为向量的第 个分量． n i i n 二、向量的概念 定义2 行1列矩阵称为 维列向量，1行 列矩阵称为 维行 向量， 维列向量与 维行向量统称为 维向量，简称向量． n n n n n n n
第二节矩阵的运算 一、矩阵的加法 定义3两个m×n矩阵A=[a,与B=[b,]的和记作A+B,规定 a1+b1a2+b2…an+bn a21+b2 422+b22… A+B= am+bm am2+bm2.amn+bmn 矩阵加法显然满足下列算律（设A,B,C是同型矩阵）： i A+B=B+A; iⅱ(A+B)+C=A+(B+C). 设矩阵A=[a,],记 -A=[-a], 则侧称-A为矩阵A的负矩阵. 6
6 定义3 两个 m n 矩阵 A =[aij] 与 B =[bij] 的和记作 A+ B ，规定 + + + + + + + + + + = m m m m m n m n n n n n a b a b a b a b a b a b a b a b a b 1 1 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 2 1 2 1 1 A B 矩阵加法显然满足下列算律（设 是同型矩阵）： i ； ii ． A,B,C A+ B = B + A (A+ B) + C = A+ (B + C) 设矩阵 ，记 ， 则称 为矩阵 的负矩阵． [ ] A = aij [ ] − A = −aij − A A 一、矩阵的加法 第二节 矩阵的运算
显然有 A+(-A)=O 由此可定义两个同型矩阵的减法为 A-B=A+(-B). 二、数乘矩阵 定义4数k与矩阵A的乘积记作k4或Ak,规定 kan ka2 kan kA=Ak= kaz ka22 ka2n kam 即数乘矩阵A等于用这个数k遍乘矩阵A的每一个元素. 7
7 显然有 ． 由此可定义两个同型矩阵的减法为 ． A + (−A) = O A − B = A + (−B) 二、数乘矩阵 定义4 数 与矩阵 的乘积记作 或 ，规定 ， 即数乘矩阵 A 等于用这个数 k 遍乘矩阵 的每一个元素． kA Ak = = m m m n n n ka ka ka ka ka ka ka ka ka k k 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 A A k A A
数乘矩阵满足下列算律（设A与B是同型矩阵，k,是常数）： i k(A)=()A: iⅱ (k+1A=kA+lA; ii k(A+B)=kA+kB. 通常我们把加法和数乘这两种运算统称为线性运算. 例1设3×4矩阵 [1 01 2 -2101 A= 2 3 -1 ,B= 1111 -1 2 13 3021 求3A,3A-2B和3A+B 解据定义4，有 0 3 6》 [-4 20 2] 3A= 6 9 -3 6 2B= 2 22 2 -36 3 9 16 04 2
8 数乘矩阵满足下列算律（设 与 是同型矩阵， 是常数）： i ； ii ； iii ． A B k,l k(lA) = (kl)A (k + l)A = kA + lA k(A + B) = kA + kB 通常我们把加法和数乘这两种运算统称为线性运算． 例1 设 3 4 矩阵 − = − 1 2 1 3 2 3 1 2 1 0 1 2 A 2 1 0 1 1 1 1 1 3 0 2 1 − = ，B ， 求3 , 3 2 3 . A A B A B − + 和 据定义4，有 ， ， − = − 3 6 3 9 6 9 3 6 3 0 3 6 3A 4 2 0 2 2 2 2 2 2 6 0 4 2 B − = 解
则有 3 0 3 6） -4 2 0 2 3A-2B= 6 9 -3 6 2 2 2 -3 63 9 6 042 「7 -2 3 4 4 7 -5 4 9 6 -1 7 3 0 3 6 -21 0 1 3A+B= 6 9 -3 6 1 1 1 1 -3 6 393 021 1 1 3 7 7 10 -2 7 0 6 5 10 9
9 ， 则有 3 0 3 6 4 2 0 2 3 2 6 9 3 6 2 2 2 2 3 6 3 9 6 0 4 2 7 2 3 4 4 7 5 4 9 6 1 7 A B − − = − − − − = − − − ， 3 0 3 6 2 1 0 1 3 6 9 3 6 1 1 1 1 3 6 3 9 3 0 2 1 1 1 3 7 7 10 2 7 0 6 5 10 A B − + = − + − = −
三、矩阵的乘法 定义5设A=[a,]是mxI矩阵，B=b,]是×n矩阵，那么规定矩阵A 与B的乘积是一个m×n矩阵C=[c,]，其中 Cg=ab+a2b2,+…+ab =2a.6,i=12.,m:j=12.…m 并把此乘积矩阵C记作AB. 由定义5可知，只有当前一矩阵A的列数等于后一矩阵B的行数 时，两个矩阵才能相乘，此时也说A与B具有可乘性. 乘积矩阵C的行数与A的行数一致，列数与B的列数一致. 10
10 三、矩阵的乘法 定义5 设 是 矩阵， 是 矩阵，那么规定矩阵 与 的乘积是一个 矩阵 ， [ ] ij A = a ml [ ] ij B = b l n A B m n [ ] ij C = c 其中 并把此乘积矩阵 记作 ． ( 1,2, , ; 1,2, ), 1 1 1 2 2 a b i m j n c a b a b a b l k ik kj ij i j i j il lj = = = = + + + = C AB 由定义5可知，只有当前一矩阵 的列数等于后一矩阵 的行数 时，两个矩阵才能相乘，此时也说 与 具有可乘性． A A B B 乘积矩阵 C 的行数与A 的行数一致，列数与 B的列数一致．
因此，一个1×1矩阵与一个1×1矩阵的乘积是1阶方阵， 也就是一个数： (a1,a2,…,a1） =(a1by+a2b2,+…+ab) 由此表明，乘积矩阵C=AB的第i行第j列元素C,就是A的第行 与B的第，列的乘积，换言之，c,-工6，是A的第1行与B的第 列元素的“对乘加”· 11
11 因此，一个 矩阵与一个 矩阵的乘积是1阶方阵， 也就是一个数： 1l l 1 , ( , , , ) ( ) 1 1 1 2 2 2 1 1 2 ij l k ik kj i j i j il lj lj j j i i il a b c a b a b a b b b b a a a = = = + + + = 由此表明，乘积矩阵 的第 行第 列元素 就是 的第 行 与 的第 列的乘积．换言之， 是 的第 行与 的第 列元素的“对乘加”． C = AB i j ij c A i j B = = l k ij aikbkj c 1 i A B j