上讲提要 1.微元法 2.平面图形的面积、旋转体的体积 3.变力做功、连续函数的平均值 3
3 上 讲 提 要 1．微元法 2．平面图形的面积、旋转体的体积 3．变力做功、连续函数的平均值
第四节广义积分 一.无穷区间的广义积分 引例求面线中轴、：箱围成的半面图形的面积S, 分析he0,+ess-1十子-c或-arean 显然s=mSe=m 6+oJ01+x V= =lim arctan x 1+x2 b→+00 由积分的思想S=1+ r+o01 。dx
4 第四节 广义积分 一．无穷区间的广义积分 引例 求曲线 2 1 1 y x = + 与x 轴、y 轴围成的平面图形的面积 S。 分析 + b [0, ), 2 0 1 1 b S dx x = + 曲边梯形 0 arctan arctan b = = x b 显然 2 0 1 lim lim 1 b b b S S dx →+ →+ x = = + 曲边梯形 0 lim arctan 2 b b x →+ = = 由积分的思想 2 0 1 1 S dx x + = + y o b x 2 1 1 y x = +
解s=4子=1本=m- 6+0J01+x 2 定义3-4设函数在区间a,+o)上连续，Hb∈[0，+oo),若极限 mf(x)d本存在，则称此极限为(x)在a,+∞)上的广义 积分，简称无穷积分，记作f(x)d,即 ∫fx)dc=lim心fax)dkr 这时也称无穷积分f(x)存在或收敛，若极限不存在， 则称无穷积分f(x)不存在或发散。 5
5 解 2 0 1 1 S dx x + = + 2 0 1 lim 1 b b dx →+ x = + 0 lim arctan 2 b b x →+ = = 定义 3-4 设函数在区间[ , ) a + 上连续， + b [0, ),若极限 lim ( ) b b a f x dx →+ 存在，则称此极限为 f x( )在[ , ) a + 上的广义 积分，简称无穷积分，记作 ( ) a f x dx + ，即 ( ) a f x dx + lim ( ) b b a f x dx →+ = 这时也称无穷积分 ( ) a f x dx + 存在或收敛，若极限不存在， 则称无穷积分 ( ) a f x dx + 不存在或发散
nf(x)=F(x)=F(+oo)-F(a),其中 F(+oo)=limF(x),F'(x)=f(x),同理 (1)无穷积分∫f(x)d=1imfx)dk亦可写为 ∫°f(x)dk=F(ax)地 (2)无穷积分f(x)d=fx)d+fx)d lim [f(x)dx+lim f(x)dx 亦可写为」f(x)d=f(x)k+∫f(x)d =F(x)+F(x) 6
6 ( ) ( ) ( ) ( ) a a f x dx F x F F a + + = = + − ，其中 ( ) lim ( ) x F F x →+ + = ,F x f x ( ) ( ) = ，同理 (1)无穷积分 ( ) b f x dx − lim ( ) b a a f x dx →− = 亦可写为 ( ) ( ) b b f x dx F x − − = (2)无穷积分 f x dx ( ) + − ( ) c f x dx − = + ( ) c f x dx + lim ( ) c a a f x dx →− = lim ( ) b b c f x dx →+ + 亦可写为 f x dx ( ) + − ( ) c f x dx − = + ( ) c f x dx + ( ) c F x − = ( ) c F x + +
例1求广义积分 解了 d=inxh"=im Inx= X)+00 放发散 X 例2求广义积分∫+本 解 arctan x+arctan x -0-lim arctanx+lim arctanx-0 X→-00 X→十00 7
7 例 1 求广义积分 1 1 dx x + 解 1 1 dx x + 1 ln x + = lim ln x x →+ = = + 故 1 1 dx x + 发散 例 2 求广义积分 2 1 1 dx x + − + 解 2 1 1 dx x + − + 0 2 1 1 dx x − = + + 2 0 1 1 dx x + + 0 arctan x − = 0 arctan x + + 0 lim arctan x x →− = − lim arctan 0 x x →+ + − 2 2 = − − + =
例3求广义积分 +00 cosxdx 2 cosxdx=sinx-lim sinx-1 解 X→+00 因为lim=sinx不存在，故cosxdx发散 例4皮广义积分9 dx 解6中a m-吲》 1 8
8 例 3 求广义积分 2 cos xdx + 解 2 cos xdx + 2 sin x + = lim sin 1 x x →+ = − 因为lim sin x x →+ = 不存在,故 2 cos xdx + 发散 例 4 求广义积分 2 4 1 9 dx x + − 解 2 4 1 9 dx x + − 4 1 1 1 6 3 3 dx x x + = − − + 1 3 ln 6 3 4 x x − + = + 1 3 1 lim ln ln 6 3 7 x x →+ x − = − + 1 3 1 ln lim ln 7 ln 7 6 3 6 x x →+ x − = + = +
注意：例4中 点中 也就是说：若f(x)ac,g(x)d存在，则 ∫(fx)±g(x)dk=∫。fx)a±∫gx)a 若f(x)adk,g(x)dx不存在，则 (f(x)±g(x)adk≠[f(x)ak±g(x)dk 9
9 注意：例 4 中 2 4 1 9 dx x + − 4 1 1 1 6 3 3 dx x x + = − − + 4 4 1 1 1 ( ) 6 3 3 dx dx x x + + − − + 也就是说：若 ( ) a f x dx + ， ( ) a g x dx + 存在，则 ( ( ) ( ) ( ) ( ) ) a a a f x g x dx f x dx g x dx + + + = 若 ( ) a f x dx + ， ( ) a g x dx + 不存在，则 ( ( ) ( ) ( ) ( ) ) a a a f x g x dx f x dx g x dx + + +
网5r义现分d 1-r- 解 =-2 lim ev +2e-=2e- 例6求广义积公分x小 ￥=rrs[ga 10
10 例 5 求广义积分 1 x e dx x − + 解 1 x e dx x − + 1 2 x e d x + − = 1 2 x e + − = − 1 1 2 lim 2 2 x x e e e − − − →+ = − + = 例 6 求广义积分 3 0 ( 1) x dx x + + 解 3 0 ( 1) x dx x + + 3 0 ( 1) 1 ( 1) x dx x + + − = + 2 3 0 1 1 ( 1) ( 1) dx x x + = − + + 2 1 1 1 x x 1 2 ( 1) 0 + = − + + +
-▣a]〔 或。 x,d三x+） (x+1)3 -dx 1+0,1 11 =1 x+102(x+1001-22 例7求广义积分。 -dx +x 解令x=tant,dc=sec2tdt,x=0,t=0,x=+oo,t= 2 11
11 2 1 1 1 1 1 lim 1 x→+ x x 1 2 ( 1) 2 2 = − + − − + = + + 或 3 0 ( 1) x dx x + + 3 0 ( 1) 1 ( 1) x dx x + + − = + 2 0 1 ( 1) dx x + = + 3 0 1 ( 1) dx x + − + 2 1 1 1 x x 1 2 ( 1) 0 0 + + = − + + + 1 1 1 2 2 = − = 例 7 求广义积分 ( ) 0 3 2 1 1 dx x + + 解 令x t = tan ， 2 dx tdt = sec ， 0, 0; , 2 x t x t = = = + =
-sec'tdt -[costdt=sin =1 例8求广义积分xe* 解∫e'a=-∫xde'=-(e-∫e'a） =-xe -e* +C e=(←xe-e*=lm(←xe-e)-(-)） =lim x-lim e*+1 x-→+0e X-→十00 1 =-lim-0+1=1 x-→+o0e1 12
12 ( ) 0 3 2 1 1 dx x + + ( ) 2 2 0 3 2 1 sec 1 tan tdt t = + 2 2 0 0 cos sin 1 tdt t = = = 例 8 求广义积分 0 x xe dx + − 解 x xe dx − x xde− = − ( ) x x xe e dx − − = − − x x xe e c − − = − − + 0 x xe dx + − 0 ( ) x x xe e + − − = − − lim ( ) ( 1) x x x xe e − − →+ = − − − − lim lim 1 x x x x x e e − →+ →+ = − − + 1 lim 0 1 1 x x→+ e = − − + =