微分方程在医学上的应用 一、 生物数学简介 21世纪将是生命科学的世纪，而生命科学的一个显 著特点就是对数学方法的应用的日益广泛与深入，数学 与生物科学相结合，由此产生了一门新兴的学科一一生 物数学。 近代生物科学有两个特点，一是微观方面的发展。 如“细胞生物学”，“分子生物学”，“量子生物学”的发 展等等。显微镜的出现使生命科学向微观方向发展成为 了可能。显微镜下人们可以看到生物的细胞和细胞的结 3
3 微分方程在医学上的应用 一、生物数学简介 21 世纪将是生命科学的世纪，而生命科学的一个显 著特点就是对数学方法的应用的日益广泛与深入，数学 与生物科学相结合，由此产生了一门新兴的学科——生 物数学。 近代生物科学有两个特点，一是微观方面的发展。 如“细胞生物学”，“分子生物学”，“量子生物学”的发 展等等。显微镜的出现使生命科学向微观方向发展成为 了可能。显微镜下人们可以看到生物的细胞和细胞的结
构。但是显微镜下无法使人们了解各种细胞群体之间的 相互作用。作为一个系统，它的发展过程以及发展趋势 就必须用数学方法来研究。人们可以通过显镜观察和实 验去了解生物细胞的各种特性，但是显微镜和实验都不 可能得到综合的结论，而这种结论也必须用数学方法来 进行研究。因此说，只有通过数学的方法才能使生命科 学真正向微观方向发展；二是宏观方向上的发展。从研 究生物体的器官、整体到研究种群、群落、生态圈。而 生物体、生物器官、细胞分子的研究，我们都可以通过
4 构。但是显微镜下无法使人们了解各种细胞群体之间的 相互作用。作为一个系统，它的发展过程以及发展趋势 就必须用数学方法来研究。人们可以通过显镜观察和实 验去了解生物细胞的各种特性，但是显微镜和实验都不 可能得到综合的结论，而这种结论也必须用数学方法来 进行研究。因此说，只有通过数学的方法才能使生命科 学真正向微观方向发展；二是宏观方向上的发展。从研 究生物体的器官、整体到研究种群、群落、生态圈。而 生物体、生物器官、细胞分子的研究，我们都可以通过
观察进行。但是对于生态学的研究，数学的推理显示了 特别的重要性。人们深信数学将象显微镜一样帮助人们 去揭示生命的奥秘。 生物数学起源于二十世纪六十年代，它是利用数学 的方法来研究生物科学中的数量关系的一门新兴的边缘 性学科。它是以研究生命科学中的各种数量变化规律为 主要的研究对象，其主要任务在于为生物现象的定量研 究提供必要的数学手段，并从理论上数值上进行分析、 研究，以揭示生命现象内部隐藏着的数量规律性。生物 数学的研究就是通过数学模型来实现的，只要数学模型 研究，的建立符合生物发展的规律，然后通过对模型的
5 观察进行。但是对于生态学的研究，数学的推理显示了 特别的重要性。人们深信数学将象显微镜一样帮助人们 去揭示生命的奥秘。 生物数学起源于二十世纪六十年代，它是利用数学 的方法来研究生物科学中的数量关系的一门新兴的边缘 性学科。它是以研究生命科学中的各种数量变化规律为 主要的研究对象，其主要任务在于为生物现象的定量研 究提供必要的数学手段，并从理论上数值上进行分析、 研究，以揭示生命现象内部隐藏着的数量规律性。生物 数学的研究就是通过数学模型来实现的，只要数学模型 研究， 的建立符合生物发展的规律，然后通过对模型的
推理，进而发现新的生命现象。数学模型不但可以帮助人 们去研究生物体，了解生物体，而且还可以帮助人们把生 物现象与工程联系起来，为生物工程的理论工作展现出美 好的前景。 数学模型，就是描述与必然现象有关的各变量之间的 数量关系，以数学表达式（方程、图象、框图等）加以表 述，这种各变量之间的数学表达式，称为数学模型。它描 述了客观事物的特征及其内在的联系，建立数学模型就是 收集数据并将数据进行处理的过程。有了数学模型，便可 以用数学计算或数学推理方法对客观过程从定性分析发 展成为定量研究，从而更深入地了解事物的变化特点、变
6 推理，进而发现新的生命现象。数学模型不但可以帮助人 们去研究生物体，了解生物体，而且还可以帮助人们把生 物现象与工程联系起来，为生物工程的理论工作展现出美 好的前景。 数学模型，就是描述与必然现象有关的各变量之间的 数量关系，以数学表达式（方程、图象、框图等）加以表 述，这种各变量之间的数学表达式，称为数学模型。它描 述了客观事物的特征及其内在的联系，建立数学模型就是 收集数据并将数据进行处理的过程。有了数学模型，便可 以用数学计算或数学推理方法对客观过程从定性分析发 展成为定量研究，从而更深入地了解事物的变化特点、变
化趋势等客观规律。这种描述以人们对自然界认识水平的 发展为基础，同时又是自然科学发展深化的一个重要标 志。 数学模型可按不同的方式进行分类。按变量性质分 类，可分为确定性模型的随机性模型等。按研究方法分 类，可分为初等模型、微分方程模型、概率模型和运筹 模型等等。按研究对象所在的领域分类，可分为生态模 型、人口模型、药物动力学模型等等。 还有其它分类方法，不一一列举。 微分方程是最常见的数学方程（数学模型）之一。下 面仅举一些实例，说明建立数学模型的方法和大致步骤
7 化趋势等客观规律。这种描述以人们对自然界认识水平的 发展为基础，同时又是自然科学发展深化的一个重要标 志。 数学模型可按不同的方式进行分类。按变量性质分 类，可分为确定性模型的随机性模型等。按研究方法分 类，可分为初等模型、微分方程模型、概率模型和运筹 模型等等。按研究对象所在的领域分类，可分为生态模 型、人口模型、药物动力学模型等等。 还有其它分类方法，不一一列举。 微分方程是最常见的数学方程（数学模型）之一。下 面仅举一些实例,说明建立数学模型的方法和大致步骤
1、提出问题 抓住本质提出需要定量研究的问题，简 称提出问题。 2.提出假设经过分析、简化，弄清已知和未知条件 及其相互关系，简称提出假设。 3.建立模型利用科学知识，找出量化关系，即列出 数学关系式，这是关健，简称建立模型。 4.检验与修改反复检验和修改，直至满意为止，简 称检验与修改。 5.求解与应用 由其不同的数学知识，解出数学方程 的解。说明解的实际意义。 8
8 1、 提出问题 抓住本质,提出需要定量研究的问题,简 称提出问题。 2．提出假设 经过分析、简化，弄清已知和未知条件 及其相互关系，简称提出假设。 3．建立模型 利用科学知识，找出量化关系，即列出 数学关系式，这是关健，简称建立模型。 4．检验与修改 反复检验和修改，直至满意为止，简 称检验与修改。 5．求解与应用 由其不同的数学知识，解出数学方程 的解。说明解的实际意义
二、实例 例1.传染病模型 传染病的流行，可以从医学角度探讨其传染机理， 然而对于传染病的蔓延过程，即被传染的人数的变化状 况，可以从数学上建立模型加以探索。 研究传染病的传播，其中需要分析的因素很多，如 疾病的传染力、潜伏期、人群的密度、人群的流动性、 年龄、人群中每个个体的免疫力、患者的死亡率、病人 的隔离条件和反复感染的可能性等等。如何从纷杂的数 据中，抽出科学的结论，即建立出符合客观规律的数学
9 二、实例 例 1．传染病模型 传染病的流行，可以从医学角度探讨其传染机理， 然而对于传染病的蔓延过程，即被传染的人数的变化状 况，可以从数学上建立模型加以探索。 研究传染病的传播，其中需要分析的因素很多，如 疾病的传染力、潜伏期、人群的密度、人群的流动性、 年龄、人群中每个个体的免疫力、患者的死亡率、病人 的隔离条件和反复感染的可能性等等。如何从纷杂的数 据中，抽出科学的结论，即建立出符合客观规律的数学
模型，这就需要在研究过程中，有所侧重，有所舍弃。 任何问题通常都不可能一开始就对它做出恰当的假设， 建立完善有效的模型，建模是一个不断修改、逐步接近 客观现关的过程。下面就具体分析： 由于传染病往往是病人通过空气、食物等接触将病 菌传播给健康者。因此，不妨设单位时间内一个病人能 传染的人数是常数k,病人的人数随时间变化而变化，设 时刻病人人数为I=I(t),从而 I(t+△t)-I(t)=k·I(t)△i 即 d =kl dt 0
10 模型，这就需要在研究过程中，有所侧重，有所舍弃。 任何问题通常都不可能一开始就对它做出恰当的假设， 建立完善有效的模型，建模是一个不断修改、逐步接近 客观现关的过程。下面就具体分析： 由于传染病往往是病人通过空气、食物等接触将病 菌传播给健康者。因此，不妨设单位时间内一个病人能 传染的人数是常数 k,病人的人数随时间变化而变化，设t 时刻病人人数为I I t = ( )，从而 I t t I t k I t t ( ) ( ) ( ) + − = 即 dI kI dt =
设t=0时，有I个病人，即 Il=o=Io 解此方程 dl-kdt InI=kt+Inc 将Io=I代入上式得解 I=loeM 此式表明病人人数按指数无限增加，与实际情况不符。 故此式作为传染病模型并不合适。分析原因来的假设， 一个病人在单位时间内传染的人数k不应是常数。因为随 着病人的增多，健康者减少，那么一个病人在单位时间里 能够接触的健康者也相应减少。故修改原假设：单位时 间内一个病人能传染的人数与当时的健康者人数成正比
11 设t = 0时，有 0 I 个病人，即 0 0 | t I I = = 解此方程 1 dI kdt I = ln ln I kt c = + kt I ce = 将 0 0 | t I I = = 代入上式得解 0 kt I I e = 此式表明病人人数按指数无限增加，与实际情况不符。 故此式作为传染病模型并不合适。分析原因来的假设， 一个病人在单位时间内传染的人数k不应是常数。因为随 着病人的增多,健康者减少,那么一个病人在单位时间里 能够接触的健康者也相应减少。故修改原假设：单位时 间内一个病人能传染的人数与当时的健康者人数成正比
比例系数为B,并设某地区总人数为常数n。(为避免过 于复杂，其它情况不计)。设t时刻健康人数为S),故 S(t)+1(t)=n,k=BS(t)=B(n-1) I(t+△t)-I(t)=k·I(t)·S(t)△t=BI(n-)△i 即 Il=o=Io I(n-) In-1 =Bnt+lnc,即 =C ebmr n-l n- 2
12 比例系数为 ，并设某地区总人数为常数 n。（为避免过 于复杂，其它情况不计)。设t 时刻健康人数为S t( )，故 S t I t n ( ) ( ) + = ，k S t n I = = − ( ) ( ) I t t I t k I t S t t I n I t ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + − = = − 即 0 0 ( ) | t dI I n I dt I I = = − = 1 ( ) dI dt I n I = − , 1 1 ( )dI n dt I n I + = − ln ln I nt c n I = + − , 即 1 nt I c e n I = −