2009年第6期 中考数学中的方程思想问题例析 山东省聊城商校(252000)李玉芳 所谓方程思想，就是从分析问题的数量关 系入手，通过设定未知数，把问题中的己知量与 所以mn=2y2.严 未知量的数量关系，转化为方程或方程组等数 3求取值范围 学模型，然后运用方程的理论或方法，使问题获 例3(2007年南通市)己知2a-3x+1= 解用方程思想分析、处理问题，思路清晰，灵 0.3b.2x.16=0,且a≤44 ② (A)2006(B)2007(C)2008(D)2009 由1)，得x≤3由2).得x>.2 解：因为抛物线y=之，x·1与x轴的 个交点为(m,0, 故x的取值范围是 2<x≤3 4构造方程组求值 所以m2.m。1=0, 例4(2006年成都市)已知代数式 所以m2.m=1. 从而有m2.m+2008=2009 与·3x““是同类项，那么a6的值 故选D). 分别是() 2寻找规律 例22007年威海市)观察下列等式 (A=2 (B)a=2 (b=.1 b=1 39X41=40.，48×52=50.z a=-2 56X64=602.4.65×75=702.52 (D) a=.2 6=。1 b=1 83×97=90.7. 解：由同类项的定义，得 请你把发现的规律用字母表示出来：mn= a-1=-h 解：由已知等式，可设 2a+b=3 mn=x-y,mn=(x+y)(x·y以 解之，得口=2 b=-1 于是有x+)=m或x+y=m 故选(A) x-y =n x-y =m. 5求最值 2‘或 例5(2006年江阴市)已知抛物线y= 解之得 2y=2 ar2+br+c经过点1.2). 2 1)若a=1,抛物线顶点为A,它与x轴 。7 1994-2009 China Academie Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http://www.enki.net
中考数学中的方程思想问题例析 山东省聊城商校 (252000) 李玉芳 所谓方程思想 ,就是从分析问题的数量关 系入手 ,通过设定未知数 ,把问题中的已知量与 未知量的数量关系 ,转化为方程或方程组等数 学模型 ,然后运用方程的理论或方法 ,使问题获 解. 用方程思想分析、处理问题 , 思路清晰 , 灵 活、简便. 中考试题中 , 运用方程思想解题 , 可分三 大类 ,分别举例如下 : 一、列方程解代数问题 1. 列方程求值 例 1 (2008年福州市 ) 已知抛物线 y = x 2 - x - 1与 x轴的一个交点为 (m , 0) ,则代数式 m 2 - m + 2008的值为 ( ) (A) 2006 (B) 2007 (C) 2008 (D) 2009 解 :因为抛物线 y = x 2 - x - 1与 x轴的一 个交点为 (m , 0) , 所以 m 2 - m - 1 = 0, 所以 m 2 - m = 1, 从而有 m 2 - m + 2008 = 2009. 故选 (D). 2. 寻找规律 例 2 (2007年威海市 ) 观察下列等式 : 39 ×41 = 40 2 - 1 2 , 48 ×52 = 50 2 - 2 2 , 56 ×64 = 60 2 - 4 2 , 65 ×75 = 70 2 - 5 2 , 83 ×97 = 90 2 - 7 2 , …… 请你把发现的规律用字母表示出来 : m n = . 解 :由已知等式 ,可设 m n = x 2 - y 2 , m n = ( x + y) ( x - y) , 于是有 x + y = m , x - y = n; 或 x + y = n, x - y = m. 解之 ,得 x = m + n 2 , y = m - n 2 ; 或 x = m + n 2 , y = n - m 2 . 所以 m n = ( m + n 2 ) 2 - ( m - n 2 ) 2 . 3. 求取值范围 例 3 (2007年南通市 ) 已知 2a - 3x +1 = 0, 3b - 2x - 16 = 0,且 a ≤4 4. (1) (2) 由 (1) ,得 x ≤ 3. 由 (2) ,得 x > - 2. 故 x的取值范围是 - 2 < x ≤ 3. 4. 构造方程组求值 例 4 (2006 年 成 都 市 ) 已 知 代 数 式 1 2 x a - 1 y 3与 - 3x - b y 2a +b是同类项 ,那么 a、b的值 分别是 ( ) (A) a = 2 b = - 1 (B) a = 2 b = 1 (C) a = - 2 b = - 1 (D) a = - 2 b = 1 解 :由同类项的定义 ,得 a - 1 = - b, 2a + b = 3. 解之 ,得 a = 2, b = - 1. 故选 (A). 5. 求最值 例 5 (2006年江阴市 ) 已知抛物线 y = ax 2 + bx + c经过点 (1, 2). (1) 若 a = 1,抛物线顶点为 A,它与 x轴 ·7· 2009年第 6期
数理化学习初中版 交于B、C两点，且△4BC为等边三角形，求b y=a(x+1)2+2 的值： 因为点0子)在此二次函数的图象上 (2)若abc=4.且a≥b≥c 求1a|+1b1+川c1的最小值 所以号=。+2所以。=.寸 解：)b的值为-225 (2)因为抛物线y=a+br+c过点1， 所以y=.(x+1)+2图象略 3 (2)证明：若点M(m,-m2)在此二次函数 所以a+b+c=2 图象上，则有 所以b+c=2.a 又因为abc=4. m2=.之m++2 所以be=马 ② 化简，得m22m+3=0 因为△=(2)2·43=.80所以a(2-a216≥0 (A)0°0. 解：设这个锐角为x则 所以a-4≥0.所以a≥4 1x-(180°-x1=|2x-180°1=a 从而b+c=2-c1,b= ·8 1994-2009 China Academic Joumal Elect ing House.All rights reserved http://www.cnki.ne
交于 B、C两点 , 且 △ABC为等边三角形 , 求 b 的值; (2) 若 abc = 4,且 a ≥ b ≥ c, 求 | a | +| b | +| c | 的最小值. 解 : (1) b的值为 - 2 ±2 5. (2) 因为抛物线 y = ax 2 + bx + c过点 (1, 2) , 所以 a + b + c = 2, 所以 b + c = 2 - a. ① 又因为 abc = 4, 所以 bc = 4 a . ② 所以 a、b、c中至少有一个正数 , 不妨设 a > 0. 由 ①②知 b、c是方程 x 2 - (2 - a) x + 4 a = 0的两个实数根 , 所以 Δ = (2 - a) 2 - 16 a ≥ 0. 因为 a > 0,所以 a (2 - a) 2 - 16 ≥ 0, a 3 - 4a 2 + 4a - 16 ≥ 0, a 2 ( a - 4) + 4 ( a - 4) ≥ 0, 所以 ( a - 4) ( a 2 + 4) ≥ 0. 因为 a 2 + 4 > 0, 所以 a - 4 ≥ 0,所以 a ≥ 4, 从而 b + c = 2 - c 1, b = ·8· 数理化学习 (初中版 )
2009年第6期 2ka+c=2R,ac=1,则以a、c为边的 DN =EN =(8.x)cm. 三角形() A)一定是等边三角形 EC -BC-x8-4 cm (B)一定是等腰三角形 在Rt△ENC中，EN2=EC2+CW (C)一定是直角三角形 所以(8·x划2=4+. (D)形状无法确定 解得x=3 解：由a+c=2,ac=+l,知a、c是关 故选(A). 于x的方程，2x+(,1=0的两个根 4解平移问题 解之，得=+1，=.1 例12(2008年新疆维 设a=2+1,c=k.1,又b=2k 吾尔自治区)如图3.⊙0的 因为k>1,所以a≠b≠c 半径OC=10am.直线1 G=(R+1)2=k+2R+1, C0,垂足为H,交⊙0于A、5 6=4 两点，AB=16cm.直线1平 2=R.2=.2R+1, 移多少厘米时能与⊙0相切 图3 所以d=6+ 解：设直线平移xcm时能与⊙0相切 三角形一定是直角三角形.故选(C) 则 3求线段长 (10.x)2+8=10 例10(2008年青岛市) 解之，得=4=16 如图1，AB是⊙0的直径，弦 所以CH=4am,DH=16am CD⊥AB于E如果AB=10 答：直线AB向左平移4cm,或向右平移 CD=&.那么AE的长为， 16m时与⊙O相切 解：由题意得 5判断说理 CE -DE -CD-4 例132006年内蒙古鄂尔多斯)阅读理 解 设⊙0半径为：则 给定一个矩形.如果存在另一个矩形.它的 AE =r-OE.BE =r+OE 周长和面积是已知矩形的周长和面积的2倍】 因为CE·DE=AE·BE 则这个矩形是给定矩形的“加倍”矩形.如图4 所以4=(r-OE)(r+OE) 矩形A,B1C,D,是矩形ABCD的“加倍”矩形 即4=5-0E D长4C 长：12 所以OE=3,所以AE=2 宽2 例11(2008年哈尔滨 市)如图2，将边长为8cm B 的正方形纸片ABCD折叠 图4 使点D落在BC边中点E处 请你解决下列问题： 点A落在点F处，折痕为 )边长为a的正方形存在“加倍”正方 MN,则线段CN的长是() 形吗如果存在，求出加倍”正方形的边长：如 (A)3 cm (B)4 cm 果不存在，说明理由 (C)5 cm (D)6 cm (2)当矩形的长和宽分别为m,n时，它是 解：设C=xam,则 否存在“加倍”矩形请作出判断，说明理由 。g。 1994-2009 China Academic Joumal Electronic Publishing House.All rights reserved.http://www.cnki.net
2k, a + c = 2k 2 , ac = k 4 - 1,则以 a、b、c为边的 三角形 ( ) (A) 一定是等边三角形 (B) 一定是等腰三角形 (C) 一定是直角三角形 (D) 形状无法确定 解 :由 a + c = 2k 2 , ac = k 4 +1,知 a、c是关 于 x的方程 x 2 - 2k 2 x + k 4 - 1 = 0的两个根. 解之 ,得 x1 = k 2 + 1, x2 = k 2 - 1. 设 a = k 2 + 1, c = k 2 - 1,又 b = 2k, 因为 k > 1,所以 a ≠ b ≠ c, a 2 = ( k 2 + 1) 2 = k 4 + 2k 2 + 1, b 2 = 4k 2 , c 2 = ( k 2 - 1) 2 = k 4 - 2k 2 + 1, 所以 a 2 = b 2 + c 2 . 三角形一定是直角三角形. 故选 (C). 3. 求线段长 例 10 (2008 年青岛市 ) 如图 1, AB 是 ⊙O 的直径 , 弦 CD ⊥AB 于 E,如果 AB = 10, CD = 8,那么 A E的长为 . 解 :由题意 ,得 CE = D E = 1 2 CD = 4. 设 ⊙O半径为 r,则 A E = r - O E, B E = r + O E. 因为 CE·D E = A E·B E, 所以 4 2 = ( r - O E) ( r + O E) , 即 4 2 = 5 2 - O E 2 , 所以 O E = 3,所以 A E = 2. 例 11 (2008年哈尔滨 市 ) 如图 2, 将边长为 8 cm 的正方形纸片 ABCD 折叠 , 使点 D落在 BC边中点 E处 , 点 A 落在点 F 处 , 折痕为 MN,则线段 CN 的长是 ( ) (A) 3 cm (B) 4 cm (C) 5 cm (D) 6 cm 解 :设 CN = x cm,则 DN = EN = (8 - x) cm, EC = 1 2 BC = 1 2 ×8 = 4 cm. 在 R t△ENC中 , EN 2 = EC 2 + CN 2 , 所以 (8 - x) 2 = 4 2 + x 2 , 解得 x = 3. 故选 (A). 4. 解平移问题 例 12 (2008 年新疆维 吾尔自治区 ) 如图 3, ⊙O 的 半径 OC = 10 cm, 直线 l ⊥ CO,垂足为 H,交 ⊙O 于 A、B 两点 , AB = 16 cm, 直线 l平 移多少厘米时能与 ⊙O相切 ? 解 :设直线 l平移 x cm 时能与 ⊙O 相切 , 则 (10 - x) 2 + 8 2 = 10 2 , 解之 ,得 x1 = 4, x2 = 16, 所以 CH = 4 cm,DH = 16 cm. 答 :直线 AB 向左平移 4 cm,或向右平移 16 cm时与 ⊙O相切. 5. 判断说理 例 13 (2006年内蒙古鄂尔多斯 ) 阅读理 解 : 给定一个矩形 ,如果存在另一个矩形 ,它的 周长和面积是已知矩形的周长和面积的 2倍 , 则这个矩形是给定矩形的“加倍 ”矩形. 如图 4, 矩形 A1B1 C1D1 是矩形 ABCD的“加倍 ”矩形. 请你解决下列问题 : (1) 边长为 a 的正方形存在“加倍 ”正方 形吗 ?如果存在 ,求出“加倍 ”正方形的边长;如 果不存在 ,说明理由; (2) 当矩形的长和宽分别为 m , n 时 ,它是 否存在“加倍 ”矩形 ?请作出判断 ,说明理由. ·9· 2009年第 6期
数理化学习初中版) 解：1)不存在 例152008年成都市)金泉街道改建工 因为两个正方形是相似图形，当它们的周 程指挥部.要对某路段工程进行招标，接到了 长比为2时，面积比必定是4，所以不存在 甲、乙两个工程队的投标书.从投标书中得知 2)存在. 甲队单独完成这项工程所需天数是乙队单独完 设“加倍”矩形的长和宽分别为x则 成这项工程所需天数的二：若由甲队先做10 x+y=2(m+刚， (Xy=2m形 天，剩下的工程再由甲、乙两队合作30天可以 xy是关于的方程.2(m+m)1+2mn 完成 =0的两个正根」 1)求甲、乙两队单独完成这项工程各需 因为△=「-2(m+n)子.8mn=4m2+ 多少天？ (2)己知甲队每天的施工费用为084万 当m≠0，n≠0时，此题中m>0,n>0 元，乙队每天的施工费用为Q56万元，工程预 所以△=4m2+42>0, 算的施工费用为50万元.为缩短工期以减少对 所以方程有两个不相等的正实数根：和 住户的影响拟安排甲、乙两队合作完成这项工 程则工程预算的施工费用是否够用？若不够 即存在一个矩形是已知矩形的“加倍”矩 用需追加预算多少万元请给出你的判断并说 明理由 三列方程解应用题 解：(1)设乙队单独完成这项工程需x天 例142008年益阳市)5·12议川大地震 则有 引起山体滑坡堵塞河谷后，形成了许多堰塞湖 10 =1 据中央电视台报道：唐家山堰塞湖危险性最大 为了尽快排除险情，决定在堰塞体表面开挖 解得 条泄洪槽.经计算需挖出土石方134万立方 x=90 经检验，x=90是原方程的根 米，开挖2天后，为了加快施工速度，又增调了 大量的人员和设备，每天挖的土石方比原来的 子：=号90=60 2倍还多1万立方米.结果共用5天完成任务 答：甲、乙两队单独完成这项工程各需要 比计划时间大大提前 60天和90天 根据以上信息，求原计划每天挖土石方多 2)设甲、乙两队合作完成这项工程需y 少万立方米增调人员和设备后每天挖土石方 天则有 多少万立方米？ 解：设原计划每天挖士石方x万立方米， y0+动=1 增调人员和设备后每天挖y万立方米，根据题 解得y=36 意得 需要施工费用 v=2x+1 36×1084+056)=504万元) (2x+(5-2)y=134 504>50. 解之得=13 所以工程预算的施工费用不够用，需追加 、y=36 预算04万元 答：原计划每天挖土石方13万立米，增调 人员和设备后每天挖36万立方米. 初二) ·10 994-2009 China Academie Joumal Electronic Publishing House.All rights reserved. http://www.cnki.net
解 : (1) 不存在. 因为两个正方形是相似图形 , 当它们的周 长比为 2时 ,面积比必定是 4,所以不存在. (2) 存在. 设“加倍 ”矩形的长和宽分别为 x、y,则 x + y = 2 (m + n) , xy = 2m n. x, y是关于 t的方程 t 2 - 2 (m + n) t + 2m n = 0的两个正根. 因为 Δ = [ - 2 (m + n) ] 2 - 8m n = 4m 2 + 4n 2 , 当 m ≠0, n ≠0时 ,此题中 m > 0, n > 0. 所以 Δ = 4m 2 + 4n 2 > 0, 所以方程有两个不相等的正实数根 x 和 y. 即存在一个矩形是已知矩形的“加倍 ”矩 形. 三、列方程解应用题 例 14 (2008年益阳市 ) 5·12汶川大地震 引起山体滑坡堵塞河谷后 ,形成了许多堰塞湖. 据中央电视台报道 :唐家山堰塞湖危险性最大 , 为了尽快排除险情 ,决定在堰塞体表面开挖一 条泄洪槽 , 经计算需挖出土石方 13. 4万立方 米 ,开挖 2天后 ,为了加快施工速度 ,又增调了 大量的人员和设备 ,每天挖的土石方比原来的 2倍还多 1万立方米. 结果共用 5天完成任务 , 比计划时间大大提前. 根据以上信息 ,求原计划每天挖土石方多 少万立方米 ?增调人员和设备后每天挖土石方 多少万立方米 ? 解 :设原计划每天挖土石方 x 万立方米 , 增调人员和设备后每天挖 y 万立方米 ,根据题 意 ,得 y = 2x + 1, 2x + (5 - 2) y = 13. 4. 解之 ,得 x = 1. 3, y = 3. 6. 答 :原计划每天挖土石方 1. 3万立米 ,增调 人员和设备后每天挖 3. 6万立方米. 例 15 (2008年成都市 ) 金泉街道改建工 程指挥部 , 要对某路段工程进行招标 , 接到了 甲、乙两个工程队的投标书. 从投标书中得知 : 甲队单独完成这项工程所需天数是乙队单独完 成这项工程所需天数的 2 3 ; 若由甲队先做 10 天 ,剩下的工程再由甲、乙两队合作 30天可以 完成. (1) 求甲、乙两队单独完成这项工程各需 多少天 ? (2) 已知甲队每天的施工费用为 0. 84万 元 ,乙队每天的施工费用为 0. 56万元 ,工程预 算的施工费用为 50万元. 为缩短工期以减少对 住户的影响 ,拟安排甲、乙两队合作完成这项工 程 ,则工程预算的施工费用是否够用 ?若不够 用 ,需追加预算多少万元 ?请给出你的判断并说 明理由. 解 : (1) 设乙队单独完成这项工程需 x天 , 则有 10 2 3 x + 30 ( 1 2 3 x + 1 x ) = 1, 解得 x = 90. 经检验 , x = 90是原方程的根 , 2 3 x = 2 3 ×90 = 60. 答 :甲、乙两队单独完成这项工程各需要 60天和 90天. (2) 设甲、乙两队合作完成这项工程需 y 天 ,则有 y ( 1 60 + 1 90 ) = 1, 解得 y = 36. 需要施工费用 : 36 ×(0. 84 + 0. 56) = 50. 4 (万元 ) , 50. 4 > 50, 所以工程预算的施工费用不够用 , 需追加 预算 0. 4万元. (初二 ) ·10· 数理化学习 (初中版 )