上讲提要 二重积分的概念、性质 fx,Wda=lm∑f5,Ao Towo- f(x,y)≥0 f(x,y)≤0 3
3 上 讲 提 要 二重积分的概念、性质 0 1 ( , ) lim ( , ) n i i i d D i f x y d f → = = ( , ) 0 ( , ) ( , ) 0 D V f x y f x y d V f x y = − 曲 曲
第五节 二重积分 二、二重积分的计算 (一)在直角坐标系下 1.D型域 设有界闭区域D是由曲线y=p(x), y=(x)(g(x)≤，(x)和两条直线x=a,x=b(a≤b)所围 成的区域，称为D,型域，（如图）记作 y y=p(x) y=p(x) a≤x≤b y=0(x) y=0(x) A(x)≤y≤4(x b x a b x
4 第五节 二重积分 二、二重积分的计算 （一）在直角坐标系下 1．Dx型域 设有界闭区域 D 是 由 曲 线 1 y x = ( ) ， 2 y x = ( ) 1 2 ( ( ) ( )) x x 和两条直线x a x b a b = = , ( )所 围 成的区域，称为Dx 型域，(如图)记作 1 2 ( ) ( ) x a x b D x y x o x y 2 y x = ( ) 1 y x = ( ) a b o x y 2 y x = ( ) 1 y x = ( ) a b
定理 若有界闭区域 a≤x≤b p(x)≤y≤p2(x) fxo存在，且xela小，定积分fx存 在，则累次积分fx,d存在，且有 (d(. 或 ∬f,do=心afxd 5
5 定理 若有界闭区域 D 1 2 ( ) ( ) a x b x y x ( , ) D f x y d 存在，且 x a b [ , ]，定积分 2 1 ( ) ( ) ( , ) x x f x y dy 存 在，则累次积分 2 1 ( ) ( ) [ ( , ) ] b x a x f x y dy dx 存在，且有 ( , ) D f x y d 2 1 ( ) ( ) [ ( , ) ] b x a x f x y dy dx = 或 ( , ) D f x y d 2 1 ( ) ( ) ( , ) b x a x dx f x y dy =
几何解释 设z=f(x,y)≥0 ∬fx,)do=" 2↑ z=f(x,y) V为以D为底，以 4(x z=f(x,y)为顶的曲顶 (x) 柱体的体积。 y=0(x) Vx∈[a,b]过x做垂直 a xx+dxb x 于x轴的平面，得一截 面，其面积为A(x), 6
6 几何解释 设 z f x y = ( , ) 0 ( , ) D f x y d V = 曲 V曲 为 以D 为底，以 z f x y = ( , ) 为 顶 的 曲 顶 柱体的体积。 x a b [ , ]过x 做垂直 于 x 轴的平面，得一截 面，其面积为A x( )， x y z z f x y = ( , ) a x dx + b x 2 y x = ( ) 1 y x = ( ) A x( )
p2(x) A(x)d 给x一增量d,过x+dx做垂直于x轴的平面，从 而得一小曲顶柱体，其体积 △V≈A(x)dx 故 dW=A)dk=国fox,nd 所以 Va-dv-f(x.dvlx 故 f(d= 7
7 2 1 ( ) ( ) ( ) ( , ) x x A x f x y dy = 给x一增量dx，过x dx + 做垂直于x轴的平面，从 而得一小曲顶柱体，其体积 V A x dx ( ) 故 dV A x dx = = ( ) 2 1 ( ) ( ) [ ( , ) ] x x f x y dy dx 所以 V曲 2 1 ( ) ( ) [ ( , ) ] b b x a a x dV f x y dy dx = = 故 ( , ) D f x y d 2 1 ( ) ( ) [ ( , ) ] b x a x f x y dy dx =
步骤： 1.画出积分区域D的草图，确定x的变化范围a,b,在 (a,b)上找出D的边界y=f(x) 2.确定D为一个或几个D型域，在D,型域上，利用定 理将二重积分化为累次（二次）定积分计算。 3.D型域上的二重积分化为累次积分的积分次序为先y 后x积分。 例1.计算(x2+y2)do,其中D是由y=x2及x=y2所围 D 成的区域 8
8 步骤： 1． 画出积分区域D的草图，确定x的变化范围[ , ] a b ，在 ( , ) a b 上找出D的边界y f x = ( ) 2．确定 D 为一个或几个Dx型域，在Dx型域上，利用定 理将二重积分化为累次（二次）定积分计算。 3．Dx型域上的二重积分化为累次积分的积分次序为先y 后x积分。 例 1．计算 2 2 ( ) D x y d + ，其中D是由 2 y x = 及 2 x y = 所围 成的区域
解由 V=x2 得交点(0,0,1,1)，故 0≤x≤1 (x=y2 所以 ∬x+yd=as(ax2+y2y y y=x2 y2=x 2 15 21 35
9 解 由 2 2 y x x y = = , 得交点(0,0),(1,1),故 2 0 1 x D x y x 所以 2 2 ( ) D x y dxdy + 2 1 2 2 0 ( ) x x = + dx x y dy 2 1 2 3 0 1 ( ) 3 y x y x x y y dx = = = + 3 1 2 4 6 2 0 1 1 ( ) 3 3 = + − − x x x x x dx = 7 5 2 2 5 7 1 0 2 2 1 1 ( )| 7 15 5 21 x x x x + − − 6 35 x = y o 2 y x = 2 y x = 1
例2.计算xydo,其中D是由y=x,y=2x,x=1,x=2围 成的区域 y=2x 所以 八do- -f-x V=x 3xw- 2 10
10 例 2．计算 D xyd ，其中D是由y x y x x x = = = = , 2 , 1, 2围 成的区域 解 1 2 2 x D x y x 所以 D xyd 2 2 1 x x = dx xydy 2 2 2 1 1 ( ) 2 x x = x y dx 2 2 2 1 1 (4 ) 2 = − x x x dx 2 3 1 1 3 2 = x dx 2 4 1 3 45 8 8 = = x x o y y x = 2 y x = 1 2
例3.计算小1-言年o,D是出=-1=1=-2y-2 所围成的区域 2 解 -1≤x≤1 所以j-言o=小-首单坊 2 =0-有名=8 11
11 例 3．计算 (1 ) 3 4 D x y − − d ，D是由x = −1,x =1, y = −2, y = 2 所围成的区域 解 1 1 2 2 x D y − − 所以 (1 ) 3 4 D x y − − d 1 2 1 2 (1 ) 3 4 x y dx dy − − = − − 2 2 1 1 2 [(1 ) ] 3 8 y y x y y dx = − = − = − − 1 1 4 (1 ) 3 x dx − = − 1 2 1 4( ) 8 6 x x − = − = x y −1 o 1 −2 2
例4.计算x灯do,其中D是由y=x,y=x围成的区域 y=x 解由D 得交点(0,0)，(1,1) y=x 0≤x≤1 故 x2≤y≤x 所以o=aw-小片 =x =)0x(x2-x y=x2 12
12 例 4．计算 D xyd ，其中D是由 2 y x y x = = , 围成的区域 解 由 2 y x D y x = = 得交点(0,0),(1,1) 故 2 0 1 x D x y x 所以 D xyd 2 1 0 x x = dx xydy 2 1 2 0 1 ( ) 2 x x = x y dx 1 2 4 0 1 ( ) 2 = − x x x dx 4 6 1 0 1 1 1 ( ) | 2 4 6 = − x x 1 24 = x y o 2 y x = y x =