上讲提要 1.多元函数的偏导数 2.多元函数的全微分 二元函数z=f(x,y) 0z lim f(x+△x,y)-f(x,y) Ox △x→0 △x 8z lim f(x,y+△y)-f(x,y) 8y △y-→0 △y △z=A△x+B△y+O(P) dz k+d=d正，+d, 02d+1 Ox 3
3 上 讲 提 要 1．多元函数的偏导数 2．多元函数的全微分 二元函数z f x y = ( , ) 0 ( , ) ( , ) limx z f x x y f x y x x → + − = 0 ( , ) ( , ) limy z f x y y f x y y y → + − = = + + z A x B y o( ) x y z z dz dx dy dz dz x y = + = +
第三节 多元函数的微分法 一、复合函数的微分法 (一)概念 设函数z=f(u,v)是u,v的函数，而4，v又分别是x,y的函 数，u=p(x,y),v=(x,y),且(u,v)部分或全部在 z=f(u,)的定义域内，则称为x,y的复合函数，记作 z=f(0(x,y),(x,y),其中u,v称为中间变量。 (二)求导法则 4
4 第三节 多元函数的微分法 一、复合函数的微分法 （一）概念 设函数z f u v = ( , )是u v, 的函数，而u v, 又分别是x y, 的函 数 ， u x y v x y = = ( , ), ( , ) ， 且( , ) u v 部分或全部在 z f u v = ( , )的定义域内，则z 称为x y, 的复合函数，记作 z f x y x y = ( ( , ), ( , )) ，其中u v, 称为中间变量。 （二）求导法则
定理4-2（链锁法侧） 设函数u=p(x,y),v=(x,y)在x,y点处具有偏导数，函数 z=f(u,v)在对应的(u,v)点处有连续偏导数，则复合函数 z=f(0(x,y),(x,y)在(x,y)点分别有关于x,y的偏导数， 且有 0z_ Oz ou Oz Ov x Ou ax v Ox 02 Oz Ou Oz Ov 8y Ou dy Ov ay 5
5 定理 4-2 （链锁法则） 设函数u x y v x y = = ( , ), ( , )在x y, 点处具有偏导数，函数 z f u v = ( , )在对应的( , ) u v 点处有连续偏导数，则复合函数 z f x y x y = ( ( , ), ( , )) 在( , ) x y 点分别有关于x y, 的偏导数， 且有 z z u z v x u x v x = + z z u z v y u y v y = +
证 固定y,给x一增量△x,相应地有 △ux,△VxAz 因为z=f(u,v)在(x,y)的对应点(u,v)处具有连续 的偏导数，所以z=f(u,v)在(u,v)点可微， 故 完y+年a,+on Azs= 其中p=V(A4)2+(Ay)》2 - DAuAv(p) △x Ou△xOv△x △x 因为u=p(x,),v=(x,y)在(x,y)点具有偏导数，所以 6
6 证 固定y ，给x一增量x，相应地有 ux , x v , x z 因 为z f u v = ( , )在( , ) x y 的对应点( , ) u v 处具有连续 的偏导数，所以z f u v = ( , )在( , ) u v 点可微， 故 ( ) x x x z z z u v o u v = + + 其中 2 2 ( ) ( ) = + u v x x ( ) x x x z z u z v o x u x v x x = + + 因为u x y v x y = = ( , ), ( , )在( , ) x y 点具有偏导数，所以
△u- Ou lim lim △y- Ov Ar-0△x Ox'Ar0△x 8x 又 lim△ux=0,lim△yx=0, △x→0 △x→>0 从而 lim p=0 △x-→0 所以，li o(p）=lim o()V(Au,)+(Av)2 x→0△X Ax-→0 △x =±lim =0 7
7 0 lim x x u u → x x = , 0 lim x x v v → x x = 又 0 lim 0 x x u → = , 0 lim 0 x x v → = , 从而 0 lim 0 x → = 所以, 2 2 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) lim lim[ ] x x x x o o u v x x → → + = 2 2 0 0 ( ) lim lim ( ) ( ) ] x x x x o u v x x → → = + 2 2 0 ( ) ( ) ] u v x x = + = 0
lim △={ lim lim △Vx △x-0△X OuAr-0△x OyAr→0△x lim o(p) △x-→0 △x Oz Ou . Oz Ov Ou Ox 8y Ox 故 Oz Oz Ou ， Oz 0v 8x Ou Ox Oy Ox Oz Oz Ou 同理可证 L Oz Ov ay Ou 8y
8 0 0 0 0 lim lim lim ( ) lim x x x x x x x z z u z v x u x v x o x → → → → = + + z u z v u x v x = + 故 z z u z v x u x v x = + 同理可证 z z u z v y u y v y = +
复合关系图 一条链之间依次求导相乘；各条链之间求导后逐项相 加。 推论1设函数u=p(x,y),v=(x,y),w=r(x,y)在(x,y)点 处具有偏导数，函数z=f(u,y,w)在对应的点(u,y,w)处具有 连续偏导数，则复合函数z=f((x,y),(x,y),r(x,y》在 (x,y)点处有关于x,y的偏导数，且有 Oz Oz ou Oz Ov Oz Ow Ox Ou ax Ov ax Ow Ox 9
9 复合关系图 u x z v y 一条链之间依次求导相乘；各条链之间求导后逐项相 加。 推 论 1 设函数u x y v x y w r x y = = = ( , ), ( , ), ( , )在( , ) x y 点 处具有偏导数，函数z f u v w = ( , , )在对应的点( , , ) u v w 处具有 连续偏导数，则复合函数 z f x y x y r x y = ( ( , ), ( , ), ( , )) 在 ( , ) x y 点处有关于x y, 的偏导数，且有 z z u z v z w x u x v x w x = + +
6z Oz Ou oz Ov Oz Ow ay ou dy av ay Ow Oy 复合关系图 说明三条链，三项之和，每条链依次求导相乘。 推论2设函数u=p(x),v=(x)在点可导，z=f(u,v)在 对应的(u,v)点具有连续偏导数，则复合函数 z=f(p(x),(x)》在点可导，这时中对的导数称为全导 dz Oz du oz dv 数，记为你，且有左品出 dz Oy dx 复合关系图 10
10 z z u z v z w y u y v y w y = + + 复合关系图 说明 三条链，三项之和，每条链依次求导相乘。 推论 2 设函数u x v x = = ( ), ( )在x 点可导，z f u v = ( , )在 对 应 的 ( , ) u v 点 具 有 连 续 偏 导 数 ， 则 复 合 函 数 z f x x = ( ( ), ( )) 在x 点可导，这时z 对x 的导数称为全导 数，记为dz dx ，且有dz z du z dv dx u dx v dx = + 复合关系图 u z x v u x z v w y
推论3设函数u=p(x,y)在(x,y)点具有偏导数，z=f(u) 在对应的u点具有导数，则复合函数z=f(p(x,y)在(x,y) 点处具有关于x,y的偏导数，且有 0z dz ou 8x du ax oz dz ou 8y du Oy 复合关系图 Z-V 11
11 推论 3 设函数u x y = ( , )在( , ) x y 点具有偏导数，z f u = ( ) 在对应的u点具有导数,则复合函数z f x y = ( ( , )) 在( , ) x y 点处具有关于x y, 的偏导数，且有 z dz u x du x = z dz u y du y = 复合关系图 x z u y
推论4设函数y=p(x)在x点处可导，函数z=f(x,y)在相 应地(x,y)点处具有连续的偏导数，则复合函数z=f(x,(x)》 在x点可导，这时：对x的导数称为全导数，记为，且有 dx dz oz oz dy dx ox dy dx 复合关系图 注意亚是全导数，是将z看作一元复合函数的全部的变化 dx 率，三是z=fx,)时，对x的偏导数，是函数的部分变化率。 Ox 12
12 推论 4 设函数y x = ( )在x点处可导，函数z f x y = ( , )在相 应地( , ) x y 点处具有连续的偏导数,则复合函数z f x x = ( , ( )) 在x点可导,这时z对x的导数称为全导数，记为dz dx ，且有 dz z z dy dx x y dx = + 复合关系图 x z x y 注意dz dx是全导数，是将z看作一元复合函数的全部的变化 率, z x 是z f x y = ( , )时,对x的偏导数,是函数的部分变化率
