上讲提要 1.微分方程及其有关概念； 2.可分离变量微分方程及其解法； =-fag) d f0-j+d 3.一阶线性微分方程及其解法； dx +P(xy=Q)齐次+Py= 0 dx 其通解y=ce 令非齐次通解y=c(x)e d'(x)e=Q(x) 所以cx)=∫Oxkk+c 非齐次方程的通解为y=ceJ咖+e∫O(xed
3 上 讲 提 要 1．微分方程及其有关概念； 2．可分离变量微分方程及其解法； ( ) ( ) dy f x g y dx = 1 ( ) ( ) dy f x dx c g y = + 3．一阶线性微分方程及其解法； ( ) ( ) dy P x y Q x dx + = 齐次 ( ) 0 dy P x y dx + = 其通解 P x dx ( ) y ce − = 令非齐次通解 ( ) ( ) P x dx y c x e − = ( ) ( ) ( ) P x dx c x e Q x − = 所以 ( ) ( ) ( ) P x dx c x Q x e dx c = + 非齐次方程的通解为 ( ) ( ) ( ) ( ) P x dx P x dx P x dx y ce e Q x e dx − − = +
第三节可降阶的二阶微分方程 一，y”=f(x)型的微分方程 解法 对方程两边积分两次； 便可得到方程的通解。 例1.求微分方程y"=e2x-cosx的通解。 解两边积分 y=-sinx+c 2 再两边积分 +c0sx+0x+C y=4e9 4 例2.解微分方程y”+lnx=0。 解 原方程可写为 y=-LIx
4 第三节 可降阶的二阶微分方程 一．y f x = ( )型的微分方程 解法 对方程两边积分两次； 便可得到方程的通解。 例 1．求微分方程 2 cos x y e x = − 的通解。 解 两边积分 2 1 1 sin 2 x y e x c = − + 再两边积分 2 1 2 1 cos 4 x y e x c x c = + + + 例 2．解微分方程xy x + = ln 0。 解 原方程可写为 1 y x ln x = −
两边积分y=∫片-Inxdx+G =-Jin.xdInx+-c=一2nx+G 再两边积分y=（-)lnx+G)+G =-(xIn'x-Sx2lnx-dx)+cx+c. X xln'x+fInxds+cx+c )xIn2x+xnx-∫xc+cx+G xlnx(2-lnx)+c3x+c2,其中c3=Gl
5 两边积分 1 1 y xdx c ln x = − + 1 = − + ln ln xd x c 2 1 1 ln 2 = − +x c 再两边积分 2 1 2 1 ( ln ) 2 y x c dx c = − + + 2 1 2 1 1 ( ln 2ln ) 2 x x x x dx c x c x = − − + + 2 1 2 1 ln ln 2 = − + + + x x xdx c x c 2 1 2 1 1 ln ln 2 x x x x x dx c x c x = − + − + + 3 2 1 ln (2 ln ) 2 = − + + x x x c x c ，其中c c 3 1 = −1
二.y”=f(x,y)型微分方程 解法令-p,则- dx 原方程可写为 d迎=fx,p) dx 解此一阶微分方程 p=p(x,c) 故 dy =p(x,c) 两边积分 y=p(x,ci)dx+c2 (1+x2)y"=2xy 例1.求微分方程少。=1 的特解 y1=3 6
6 二．y f x y = ( , )型微分方程 解法 令y p = ，则 dp y dx = 原方程可写为 ( , ) dp f x p dx = 解此一阶微分方程 1 p p x c = ( , ) 故 1 ( , ) dy p x c dx = 两边积分 1 2 y p x c dx c = + ( , ) 例 1．求微分方程 2 0 0 (1 ) 2 1 3 x x x y xy y y = = + = = = 的特解
解 令y=p, 则y”=迎 dx 代入原方程 (1+x2) 2xp 1 分离变量 x dp= dx p 1+x2 两边积分 Inp=In(1+x2)+Inc,p=c(1+x2) 将Plo=y儿x0=3代入上式 G1=3 即 =p=31+x) dx 两边再积分 y=3x+x3+c2 将y以。=1代入上式，C2=1 于是所求特解为 y=x3+3x+1
7 解 令y p = ，则 dp y dx = 代入原方程 2 (1 ) 2 dp x xp dx + = 分离变量 2 1 2 1 x dp dx p x = + 两边积分 2 1 ln ln(1 ) ln p x c = + + ，故 2 1 p c x = + (1 ) 将 0 0 | 3 x x p y = = = = 代入上式 c1 = 3 即 2 3(1 ) dy p x dx = = + 两边再积分 3 3 2 y x x c = + + 将 0 1 x y = = 代入上式，c2 =1 于是所求特解为 3 y x x = + + 3 1
例2.求微分方程y”=y+x的通解。 解令-p,则= dx 代入原方程 dp dx =p+x dp 二p 1 对应齐次方程 dp=dx Inp=x+Inc dx 齐次方程通解p=ce', 令非齐次方程通解p=c(x)e 代入方程 ( (x)e*=x, 即c(x)=xe 两边积分 c(x)=Jxe"dx+c=-[xde*+c =-(xe*-e"dx)+c=-(xe *+e*)+c
8 例 2．求微分方程y y x = + 的通解。 解 令y p = ，则 dp y dx = 代入原方程 dp p x dx = + 对应齐次方程 dp p dx = 1 dp dx p = 1 ln ln p x c = + 齐次方程通解 1 x p c e = , 令非齐次方程通解 1 ( ) x p c x e = 代入方程 1 ( ) x c x e x = , 即 1 ( ) x c x xe − = 两边积分 1 1 ( ) x c x xe dx c − = + 1 x xde c − = − + 1 ( ) x x xe e dx c − − = − − + 1 ( ) x x xe e c − − = − + +
非齐次方程通解p=-x-1+ce 即 =-x-1+ce dy dx 两边积分 =ce- 2-x+C2。 三.y”=f(y,y)型微分方程 解法 令y=p,y=p=业血=p虫 dx dy dx dy 代入原方程 =f0y,p)(y为自变量) p dy 解此一阶方程 p=p(y,c) 即 =py,c） dx
9 非齐次方程通解 1 1 x p x c e = − − + 即 1 1 dy x x c e dx = − − + 两边积分 2 1 2 1 2 x y c e x x c = − − + 。 三．y f y y = ( , )型微分方程 解法 令y p = , dp dp dy dp y p p dx dy dx dy = = = = 代入原方程 ( , ) dp p f y p dy = （y为自变量） 解此一阶方程 1 p p y c = ( , ) 即 1 ( , ) dy p y c dx =
1 故 dy dx p(y,c) 两边积分，通解 dy =x+C2 例1.求微分方程y= 的通解。 y 解 令y=p dp y=P dy 代入原方程 d迎 dy 1 1 若p≠0 dp= dy p y 两边积分lnp=lny+lnc, 即 p-cy 0
10 故 1 1 ( , ) dy dx p y c = 两边积分，通解 2 1 1 ( , ) dy x c p y c = + 例 1．求微分方程 2 y y y = 的通解。 解 令y p = dp y p dy = 代入原方程 2 dp p p dy y = 若 p 0 1 1 dp dy p y = 两边积分 1 ln ln ln p y c = + , 即 p c y = 1
所以少=cy,分离变量 dy =cdx d y 两边积分 lny=Cx+lnc2,故y=c2e 若p=0,得y=c 综上，此方程的通解为y=c2e。 y"=2yy 例2.求微分方程儿。=1 的特解 y1o=2 解令y=p, 则 dp y= 代入原方程 dp=2yp p dy 11
11 所以 1 dy c y dx = , 分离变量 1 dy c dx y = 两边积分 1 2 ln ln y c x c = + ，故 1 2 c x y c e = 若 p = 0，得y c = 综上，此方程的通解为 1 2 c x y c e = 。 例 2．求微分方程 0 0 2 1 2 x x y y y y y = = = = = 的特解 解 令y p = ， 则 dp y p dy = 代入原方程 2 dp p yp dy =
即迎=2y,则dp=2d妙 dy 两边积分p=y+C J0=1 将 代入上式，得c=1 y。=2 故p=1+y,即少=1+二，分离变量 dy dx dx +y 两边积分 arctany=x+c2,y=tan(x+c2) 将yl=1代入上式，得G=4 所求的特解为 y=tan(x+
12 即 2 dp y dy = ，则dp ydy = 2 两边积分 2 p y c = + 1 将 0 0 1 2 x x y y = = = = 代入上式，得c1 =1 故 2 p y = +1 , 即 2 1 dy y dx = + ，分离变量 2 1 1 dy dx y = + 两边积分 2 arctan y x c = + ，即 2 y x c = + tan( ) 将 0 | 1 x y = = 代入上式，得 2 4 c = 所求的特解为 tan( ) 4 y x = +