前言 二十一世纪将是生命科学的世纪，医学科学是 生命科学的重要组成部分。 现代医学科学发展的一个显著特点是：突破了 单纯观察、描述和积累经验的传统研究方式，将现 代化实验手段与各种数学方法紧密结合起来，向着 数量化、精确化，即数学化的方向迈进。数学将象 显微镜一样帮助人们去揭示生命的奥秘。二十世纪 六十年代，生物数学的崛起，显示出数学与医学相 结合，具有强大的生命力，它不仅拓宽了医学研究 领域，也丰富了增进人类福祉的知识宝库。因此， 医用高等数学是高等医学院校各专业的必修课程。 吉林大学运程放育学院
吉林大学远程教育学院 前言 二十一世纪将是生命科学的世纪，医学科学是 生命科学的重要组成部分。 现代医学科学发展的一个显著特点是：突破了 单纯观察、描述和积累经验的传统研究方式，将现 代化实验手段与各种数学方法紧密结合起来，向着 数量化、精确化，即数学化的方向迈进。数学将象 显微镜一样帮助人们去揭示生命的奥秘。二十世纪 六十年代，生物数学的崛起，显示出数学与医学相 结合，具有强大的生命力，它不仅拓宽了医学研究 领域，也丰富了增进人类福祉的知识宝库。因此， 医用高等数学是高等医学院校各专业的必修课程。 吉林大学远程教育学院
高等数学以微积分为主线。微积分是十七世纪 自然科学最重大的发现之一。它是由英国数学家牛 顿(Isaac Newton1642-1727)和德国数学家莱布尼 兹(G.W.Leibniz,1646-1716)几乎同时发明的。微 积分的出现是由初等数学向高等数学转变的一件具 有划时代意义的大事。它不仅成为学习高等数学各 个分支必不可少的基础。而且，毫不夸张地说，不 掌握微积分就无法学习和掌握近代任何一门自然科 学和工程技术。医学作为一门自然科学也不例外。 ■ 本课程的学习内容为，第一章至第五章： 一元函数微积分学（第一章至第三章） 多元函数微积分学（第四章） (常)微分方程基础（第五章） 吉林大学远程教育学院
吉林大学远程教育学院 高等数学以微积分为主线。微积分是十七世纪 自然科学最重大的发现之一。它是由英国数学家牛 顿(Isaac Newton 1642-1727)和德国数学家莱布尼 兹(G.W.Leibniz, 1646-1716)几乎同时发明的。微 积分的出现是由初等数学向高等数学转变的一件具 有划时代意义的大事。它不仅成为学习高等数学各 个分支必不可少的基础。而且，毫不夸张地说，不 掌握微积分就无法学习和掌握近代任何一门自然科 学和工程技术。医学作为一门自然科学也不例外。 本课程的学习内容为，第一章至第五章： 一元函数微积分学（第一章至第三章） 多元函数微积分学（第四章） （常）微分方程基础（第五章）
第一章函数和极限 第一节函数 一、 函数的概念 1、实例 例1.在出生后1-6个月期间内，正常婴儿的体 重近似满足以下关系式： y=0.6x+3 式中，表示婴儿的年龄（月），表示体重（千克） 吉林大学远程教育学院
吉林大学远程教育学院 第一章 函数和极限 一、函数的概念 第一节 函数 １、实例 例１．在出生后1-6个月期间内，正常婴儿的体 重近似满足以下关系式： y = 0.6x + 3 式中，表示婴儿的年龄（月），表示体重（千克） x y
·例2.监护仪自动记录了某患者在 T 一段时间内体温T的变化曲线，如 T(t) 图所示，对于这段时间内的任意时 刻t的值，都能读出患者体温T的 37 值。 ·例3.某地区统计了某年1~12月中 当地流行性出血热的发病率，见表 所示。对每一个月份t都可查出流 to 行性出血热的发病率y。 t(月份) 1 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 y(%) 16.6 8.3 7.6 6.5 7.0 10.0 2.5 3.5 5.7 10.0 17.1 7.0 吉林大学远程教育学院
吉林大学远程教育学院 例２．监护仪自动记录了某患者在 一段时间内体温Ｔ的变化曲线，如 图所示，对于这段时间内的任意时 刻t 的值，都能读出患者体温Ｔ的 值。 例3．某地区统计了某年1~12月中 当地流行性出血热的发病率，见表 所示。对每一个月份 t 都可查出流 行性出血热的发病率y。 O t 0 t 370 T t( ) T t(月份) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 y(%) 16.6 8.3 7.6 6.5 7.0 10.0 2.5 3.5 5.7 10.0 17.1 7.0
2、概念 定义1-1设x,y是同一变化过程中的两个变量，若对应 于变量x的每一个允许值，变量y依照某一对应规律f 总有唯一个确定的值与之对应，则称变量y是变量x的函 数。其中称x为自变量，y称为因变量。记为y=f(x)。 只有一个自变量的函数，称为一元函数。自变量的 所有允许值的集合称为函数的定义域。若x,是函数f(x) 的定义域中一点，则称函数f(x)在x点有定义，与x,对 应的因变量的值称为函数值，记为f),或记为川 所有函数值的全体称为值域。 吉林大学远程教育学院
吉林大学远程教育学院 ２、概念 定义 1-1 设x, y是同一变化过程中的两个变量，若对应 于变量x 的每一个允许值，变量y 依照某一对应规律 f 总有唯一个确定的值与之对应，则称变量y是变量x的函 数。其中称x为自变量，y称为因变量。记为y f x = ( )。 只有一个自变量的函数，称为一元函数。自变量的 所有允许值的集合称为函数的定义域。若 0 x 是函数 f x( ) 的定义域中一点，则称函数 f x( )在 0 x 点有定义，与 0 x 对 应的因变量的值称为函数值，记为 0 f x( )，或记为 0 x x y = 。 所有函数值的全体称为值域
3、函数的表示方法 (1)解析法（公式法）(2)图形法（图像法）(3)列表法 4、定义域的求法： (1)实际问题：由实际问题确定； (2)解析式：使解析表达式有意义的一切实数的集合。 例1.求y= 1 的定义域 /4-x2 解4-x2>0,-20,x-3>2,即x-3>2或x-35或x<1,所以函数的定义域为(-oo,1)U(5,+oo)。 吉林大学远程教育学院
吉林大学远程教育学院 ３、函数的表示方法 (1)解析法（公式法）(2)图形法（图像法）(3)列表法 ４、定义域的求法： (1)实际问题：由实际问题确定； (2)解析式：使解析表达式有意义的一切实数的集合。 例１．求 2 1 4 y x = − 的定义域 解 2 4 0 − x ,− 2 2 x ,函数y的定义域为( 2,2) − 。 例２．求 y x = − − lg(| 3| 2)的定义域 解 | 3| 2 0 x − − ,| 3| 2 x − ,即x − 3 2或x − − 3 2，故 x 5或x 1，所以函数的定义域为( ,1) (5, ) − +
二、初等函数 1、基本初等函数 幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三 角函数及常函数统称为基本初等函数。 2、复合函数 定义1-2设变量y是变量u的函数，变量u又是变量x 的函数，即y=f(),u=p(x),若p(x)的值域部分或 全部在f(u)的定义域内，变量x的某些值可通过变量u 确定变量y的值，则称y是x的复合函数，记为 y=f(p(x)。其中称u为中间变量 吉林大学远程教育学院
吉林大学远程教育学院 二、初等函数 ２、复合函数 定义 1-2 设变量y是变量u的函数，变量u又是变量x 的函数，即y f u = ( )，u x =( )，若( ) x 的值域部分或 全部在 f u( )的定义域内，变量x的某些值可通过变量u 确定变量 y 的值，则称 y 是 x 的复合函数，记为 y f x = ( ( )) 。其中称u为中间变量。 １、基本初等函数 幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三 角函数及常函数统称为基本初等函数
例1.试通过y=√u,u=1-x2求出y关于x的复合函数。 解y=Vu,u=1-x2复合函数是y=V1-x2,其定义域 为[-1,1]。 例2.试通过y=lgu,u=arctanv,v=x+l,求出y关 于x的复合函数。 解y=lgu,u=arctanv,v=x+l的复合函数为 y=Igarctan(x+l),其定义域为(-l,+oo)。 由基本初等函数的四则运算得到的函数称为简单函 数。复合函数是由多个简单函数复合而成的一个函数， 但在后面许多计算中，常常需要将复合函数分解成简 单函数的形式。 吉林大学远程教育学院
吉林大学远程教育学院 例１．试通过 y u = ， 2 u x = −1 求出y关于x的复合函数。 解 y u = ， 2 u x = −1 复合函数是 2 y x = −1 ，其定义域 为[ 1,1] − 。 例２．试通过 y u = lg ，u v = arctan ，v x = +1 ，求出 y 关 于x的复合函数。 解 y u = lg ， u v = arctan ， v x = +1的复 合函数 为 y x = + lgarctan( 1)，其定义域为( 1, ) − + 。 由基本初等函数的四则运算得到的函数称为简单函 数。复合函数是由多个简单函数复合而成的一个函数， 但在后面许多计算中，常常需要将复合函数分解成简 单函数的形式
例3.将函数y=asin(bx+c)分解成简单函数。 解y=asin(bx+c)可看成由y=asinu,u=bx+c复合 而成。 例4.将函数y=lg(1+V1+cos2x)分解成简单函数。 解y=lg(1+V1+cos2x)可看成y=lgu,u=1+V下， v=1+w2,w=cosx复合而成的。 3、初等函数 定义1-3由基本初等函数经过有限次四则运算以及 复合所得到的仅用一个解析表达式表示的函数称为 初等函数。 例如y= V广x'y=xtanx-+sine*等等。 Igx 吉林大学远程教育学院
吉林大学远程教育学院 例 3．将函数y a bx c = + sin( )分解成简单函数。 解 y a bx c = + sin( )可看成由y a u u bx c = = + sin , 复合 而成。 例 4．将函数 2 y x = + + lg(1 1 cos ) 分解成简单函数。 解 2 y x = + + lg(1 1 cos )可看成 y u = lg ，u v = +1 ， 2 v w = +1 ，w x = cos 复合而成的。 ３、初等函数 定义 1-3 由基本初等函数经过有限次四则运算以及 复合所得到的仅用一个解析表达式表示的函数称为 初等函数。 例如 2 lg 1 x y x = − ， tan sin x y x x e = + 等等
4、分段函数 函数在其定义域内不同的范围内有不同的 解析表达式，这一函数称为分段函数。 例1.函数yx{不≥0的定义域-，+o), -xx<0 称为绝对值函数。 例2。设某药物的每天剂量为y(g),对于16岁以 上的成年人用药剂量是一常量，设为2mg,而对于16 岁以下未成年人，则每天用药剂量y正比于年龄x,比 例常数为0.125mg/岁，其函数关系为 0.125x0<x<16 12 x≥16 吉林大学远程教育学院
吉林大学远程教育学院 ４、分段函数 函数在其定义域内不同的范围内有不同的 解析表达式，这一函数称为分段函数。 例1． 函数 0 | | 0 x x y x x x = = − 的定义域( , ) − + ， 称为绝对值函数。 例２．设某药物的每天剂量为 y mg ( )，对于 16 岁以 上的成年人用药剂量是一常量，设为2mg ，而对于 16 岁以下未成年人，则每天用药剂量y正比于年龄x，比 例常数为0.125mg／岁，其函数关系为 0.125 0 16 2 16 x x y x =