一元函数积分学习题课 一、不定积分 (一)基本要求 1、理解原函数与不定积分的概念 ∫f(x)dx=F(x)+C,其中F'(x)=f(x) 2、掌握不定积分的基本性质 3、牢记并熟练地运用不定积分基本公式 4、熟练掌握换元法、分部积分法 5、掌握较简单的有理函数的积分 3
3 一元函数积分学习题课 一、不定积分 （一）基本要求 1、理解原函数与不定积分的概念 f ( x)d x = F ( x) + c ，其中F ( x) = f ( x) 2、掌握不定积分的基本性质 3、牢记并熟练地运用不定积分基本公式 4、熟练掌握换元法、分部积分法 5、掌握较简单的有理函数的积分
(二)典型例题 例1函数2simx,4c0s2x,2cosx是否为同-函数 2 的原函数？ 解法1是 因为行nxj2 sin.rco5x分n2x co2s)-sin2)2-sin23 cos2cosinsin2x 所以它们是同一函数的原函数 4
4 （二）典型例题 例 1 函 数1 2 sin 2 x , 1 cos2 4 − x , 1 2 cos 2 − x 是否为同一函数 的原函数？ 解法 1 是 因为 1 1 1 2 sin 2sin cos sin 2 2 2 2 x x x x = = 1 1 1 cos2 ( sin 2 )2 sin 2 4 4 2 x x x − = − − = 1 1 1 2 s 2cos ( sin ) sin 2 2 2 2 co x x x x − = − − = 所以它们是同一函数的原函数
解法2因为 1 2 -sy-sx 2 2 1 os2x=-42c0s'x-l=-2c0sx+4 1 4 4 1 -C0s2x=-c0s2x+0 即它们彼此之间只差一个常数，所以它们是同一函数的 原函数。 例2求 1+cos'x dx 1+cos 2x 解 o2na+c
5 解法 2 因为 1 2 sin 2 x 1 2 (1 cos ) 2 = − x 1 1 2 cos 2 2 = − +x 1 1 1 1 2 2 cos2 (2cos 1) cos 4 4 2 4 − = − − = − + x x x 1 1 2 2 cos cos 0 2 2 − = − + x x 即它们彼此之间只差一个常数，所以它们是同一函数的 原函数。 例 2 求 2 1 cos 1 cos2 x dx x + + 解 2 1 cos 1 cos2 x dx x + + 2 2 1 cos 2cos x dx x + = 2 1 1 ( 1) 2 cos dx x = + 1 (tan ) 2 = + + x x c
例3求+e 解 j-' -ja-j1+eae+0 =x-In(1+e*)+c 1-xdx -立- 6
6 例 3 求 1 1 x dx + e 解 1 1 1 1 x x x x e e dx dx e e + − = + + 1 ( 1) 1 x x dx d e e = − + + ln(1 )x = − + + x e c 例 4 求 1 1 1 x dx x x − + 解法 1 1 1 1 x dx x x − + 2 1 1 1 x dx x x − = − 2 2 1 1 1 1 dx dx x x x = − − − 2 1 arcsin 1 dx x x x = − −
令x=sint,dx=costdt d= 1 costdt sintv1-sin2t 一dt sint =In csct-cott|+C 1V1-x I+C X X [杰=sesinx+.hl-i-1-al1到c 解2片二-j子 令=cost dx =-sin tdt 7
7 令x t = sin ，dx tdt = cos 2 2 1 1 cos 1 sin 1 sin dx tdt x x t t = − − 1 sin ln | csc cot | dt t t t C = = − + 2 1 1 ln | | x C x x − = − + 1 1 1 x dx x x − + 2 = − + − − − + arcsin ln |1 1 | ln | | x x x c 解法 2 1 1 1 x dx x x − + 2 1 1 1 x dx x x − = + 令 x t = cos ， dx tdt = −sin
sint (-sint)dt cost 1+cost t 4sin-cos 2 2 di cost 2 7 2co 2 -2sin2! -joc2aoh=- cost cost =t-In sect+tant+C 1 1,V1-x2 =arccos- .-ln-+ +C X 1 1+V1-x2 arccos -In +C x
8 1 1 1 x dx x x − + 1 sin ( sin ) cos 1 cos t t dt t t = − + 2 2 2 4sin s 1 2 2 cos 2 s 2 t t co dt t t co − = 2 2sin 2 cos t dt t − = cos 1 cos t dt t − = 1 cos dt dt t = − = − + + t t t C ln | sec tan | 2 1 1 1 arccos ln x C x x x − = − + + 2 1 1 1 arccos ln | | x C x x + − = − +
解法3 =1,x 1-t2 1+ -4t (+d Feas - -n-刘--%2 -4t2 -2arctan/-In +t - +c -2arctan, 1-x-In! +-X+C 1+x x 9
9 解法 3 令 1 1 x t x − = + , 2 2 1 1 t x t − = + , 2 2 4 (1 ) t dx dt t − = + 1 1 1 x dx x x − + 2 2 2 2 1 4 1 (1 ) t t t dt t t + − = − + 2 2 2 4 (1 )(1 ) t dt t t − = − + 2 2 2 2 (1 ) (1 ) 2 (1 )(1 ) t t dt t t − − + = − + 2 2 1 1 2 ( ) 1 1 dt t t = − + − 1 2arctan ln 1 t t c t + = − + − 2 1 1 1 2arctan ln 1 | | x x C x x − + − = − + +
例5求 dx xVx2-1 解法l令x=sect,则dk=secttantdt secttantdr 1 =∫df=t+c=arccos-+c 弦25皮-小 1 x2-1=1,x2=12+1,xdx =tdt jwi=j+wajr arctant+c=arctanx2-1+c 10
10 例 5 求 2 1 1 dx x x − 解法 1 令x t = sec ，则dx t tdt = sec tan 2 1 1 sec tan 1 sec tan 1 arccos dx t tdt x x t t dt t c c x = − = = + = + 解法 2 2 2 2 1 1 1 [( 1) 1] 1 dx xdx x x x x = − − + − 令 2 x t − = 1 ， 2 2 x t = +1，xdx tdt = 2 2 2 1 1 1 1 ( 1) 1 dx tdt dt x x t t t = = − + + 2 = + = − + arctan arctan 1 t c x c
可-j小 -dx 2 例6本 e 解令ve-i=t,x=lnr+),=+i 2t di J-rw,=jhe+w +1 11
11 解法 3 2 2 2 1 1 1 1 1 1 dx dx x x x x = − − 2 1 1 1 arccos 1 1 d c x x x = − = + − 例 6 求 1 x x xe dx e − 解 令 1 x e t − = ， 2 x t = + ln( 1)， 2 2 1 t dx dt t = + 1 x x xe dx e − 2 2 2 ln( 1)( 1) 2 1 t t t dx t t + + = + 2 = + 2 ln( 1) t dt
+- 2w-- =2lnr+0-4-+h 2tIn(t2 +1)-4t+4arctant+c =2xve*-1-4ve*-1+4arctanve*-1+c 例7求「 sinx dx sinx-cosx 解法1 人 dkE号LSInx+cOSx)+6n-cos8 sinx nx-cosx sinx-cosx sinx-cosx 12
12 2 2 2 2[ ln( 1) ] 1 t t t t dt t = + − + 2 2 2 1 1 2 ln( 1) 4 1 t t t dt t + − = + − + 2 2 1 2 ln( 1) 4 (1 ) 1 t t dt t = + − − + 2 = + − + + 2 ln( 1) 4 4arctan t t t t c 2 1 4 1 4arctan 1 x x x = − − − + − + x e e e c 例 7 求 sin sin cos x dx x x − 解法 1 sin sin cos x dx x x − 1 (sin cos ) (sin cos ) 2 sin cos x x x x dx x x + + − = − 1 (sin cos ) 1 2 sin cos 2 x x dx dx x x + = + −
