第二章一元函数微分学 第一节导数的概念 一、实例 1、变速直线运动的瞬时速度 设有质点M沿直线做变速直线运动，其运动规律（函 数)为 5=s(t) 当时间由变到，+△时，其路程的增量 △S=S(t+△t)-S(t) 则M在At时间内，平均速度为v=△=S6+A)-S,) △t △t 3
3 第二章 一元函数微分学 第一节 导数的概念 一、实例 1、变速直线运动的瞬时速度 设有质点 M 沿直线做变速直线运动,其运动规律(函 数)为 s s t = ( ) 当时间由 0 t 变到 0 t t + 时,其路程的增量 0 0 = + − S S t t S t ( ) ( ) 则M 在t时间内,平均速度为 0 0 s S t t S t ( ) ( ) v t t + − = =
瞬时速度v=limv=lim As=lim (t。+△t)-s(t) A1】 A-0△t △1→0 △t 可称其为函数s=s()相对于自变量t的变化率。 2、细胞的增殖速度 设增殖细胞在t时刻的总数为W=N(),则在△t时 间内，细胞的平均增长率为 △NN(t。+△t)-N(t) △t △t 细胞在时刻，的瞬时增长率为 △N lim=lim WN(t+△t)-N(t) AM-→0△t △1-→0 △t 可称为函数N=N(t)相对于自变量t的变化率。 4
4 瞬时速度 0 0 0 0 0 ( ) ( ) lim lim lim t t t s s t t s t v v t t → → → + − = = = 可称其为函数s s t = ( )相对于自变量t的变化率。 2、细胞的增殖速度 设增殖细胞在t时刻的总数为N N t = ( ),则 在t 时 间内,细胞的平均增长率为 0 0 N N t t N t ( ) ( ) t t + − = 细胞在时刻 0 t 的瞬时增长率为 0 0 0 0 ( ) ( ) lim lim t t N N t t N t t t → → + − = 可称为函数 N N t = ( )相对于自变量 t 的变化率
二、导数的定义及几何意义 1.定义 定义2-1 设函数y=f(x)在x点的某邻域U(x)内有定 义，当自变量x在x,处有增量△x(x,+△x∈U(x,),函数相应 地有增量 △y=f(x+△x)-f(x,) 若极限 lim Ay=lim f(x,+△x)-f(x) Ax→0△x r→0 △x 存在，则称函数y=f(x)在x,点处可导，此极限值称为函 数y=f(x)在x,点的导数或变化率，记作 大密 df(x) dx x=xo 5
5 二、导数的定义及几何意义 1.定义 定 义2-1 设函数 y f x = ( )在 0 x 点的某邻域 0 U x( )内有定 义,当自变量x在 0 x 处有增量x( 0 x x + 0 U x( )),函数相应 地有增量 0 0 = + − y f x x f x ( ) ( ) 若极限 0 0 0 0 ( ) ( ) lim lim x x y f x x f x → → x x + − = 存 在,则称函数 y f x = ( )在 0 x 点处可导,此极限值称为函 数y f x = ( )在 0 x 点的导数或变化率,记作 0 0 0 0 ( ) ( ); , , x x x x x x dy df x f x y dx dx = = =
如果极限不存在，就称函数f(x)在x,点处不可导。若不可 导，是因为极限为无穷大，为方便，称函数f(x)在x点的 导数为无穷大，记为f'(x)=0。 f(x)=lim I(x)-f() X→X0 x-Xo 若lim Ay=lim f(x+△x)-f(x) =lim f(x)-f(xo) △x→0- △x △x→0 △x x-Xo 与lim Ay lim f(x,+△x)-f(x) -lim f(x)-f(x) △x→0△X△r-→0* △x x→0 x-xo 都存在，分别称为函数f(x)在x点左方可导和右方可导， 其极限值分别称为函数f(x)的左导数和右导数，分别记 为f(x)和()。 结论f(x)在x点可导的充分必要条件是，函数f(x)在x。 点左导数、右导数都存在，且相等
6 结论 f x( )在 0 x 点可导的充分必要条件是,函数 f x( )在 0 x 点左导数、右导数都存在,且相等。 如果极限不存在,就称函数 f x( )在 0 x 点处不可导。若不可 导,是因为极限为无穷大,为方便,称函数 f x( )在 0 x 点的 导数为无穷大,记为 0 f x ( ) = 。 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) lim x x f x f x f x → x x − = − 若 0 0 0 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) lim lim lim x x x x y f x x f x f x f x x x x x − − − → → → + − − = = − 与 0 0 0 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) lim lim lim x x x x y f x x f x f x f x x x x x + + + → → → + − − = == − 都存在,分别称为函数 f x( )在 0 x 点左方可导和右方可导, 其极限值分别称为函数 f x( )的左导数和右导数,分别记 为 0 f x( ) − 和 0 f x( ) +
(1)f(x)在开区间(a,b)内的每一点都可导，则称f(x) 在开区间(a,b)上是可导。xe(a,),其导数f'(x)称为f)的导 函数，记为 ', d’dx f(x)在x点的导数f'(x)等于导函数f'(x)在x点函数值。 (2)f(x)在(a,b)上可导，且f(a)和f(b)都存在，则 称f(x)在[a,b]上可导。 例1.已知y=x2,求y。 解△y=(x+△x)2-x2=2x△x+(△x)2 △y=2x+Ax △x y'=lim y=lim(2x+△x)=2x △x-→0 △x→0 7
7 (1) f x( )在开区间( , ) a b 内的每一点都可导,则 称 f x( ) 在开区间( , ) a b 上是可导。x a b ( , ),其导数 f x ( )称为 f x( )的导 函数,记为 ( ) ( ), , , dy df x f x y dx dx f x( )在 0 x 点的导数 0 f x ( )等于导函数 f x ( )在 0 x 点函数值。 (2) f x( )在( , ) a b 上可导,且 f a( ) + 和 f b( ) − 都存在,则 称 f x( )在[ , ] a b 上可导。 例1.已知 2 y x = ,求 y 。 解 y 2 2 2 = + − = + ( ) 2 ( ) x x x x x x y x = + 2x x 0 lim x y y → x = 0 lim(2 ) 2 x x x x → = + =
例2.己知y=√，求y及|1。 解 Ay=Vx+△x-√E △y-Vx+△x-V_(Wx+△x-V)Vx+△+√F △x △x △x Vx+△x+VF √x+△x+√ y'=lim Ay=lim 1 Ar0Ax△-0Vx+△x+√ y= 例3.据1985年人口调查，我国有10.15亿人口，人口平均 年增长率为1.489%，根据马尔萨斯(Malthus)人口理论， 人口增长模型 f(x)=10.15e0.o1489.x 8
8 例2.已知 y x = ,求 y 及 x 1 y = 。 解 y = + − x x x y x x x x x + − = ( ) x x x x x x x x x x + − + + = + + 1 x x x = + + 0 lim x y y → x = 0 1 1 lim 2 x x x x x → = = + + 1 1 2 x y = = 例3.据1985年人口调查,我国有10.15亿人口,人口平均 年增长率为1.489%,根据马尔萨斯(Malthus）人口理论, 人口增长模型 0.01489 ( ) 10.15 x f x e =
其中，x代表年数(0,1,2，…)，按照此模型可以预测我国在 2005年人口将有13.6710亿。求我国人口增长率函数？怎 样控制人口增长速度？ 解△y=f(x+△x)-f(x) =10.15e001489(x+aw)-10.15e01489x =10.15e0.01489x(e.01489△r-1) Ay=10.15e014xe0149s-l △ △x lim Ay=10.150*lim △r→0△x △r-→0 e0149a-l=10.15e0049r.0.01489 △x 由导数定义，人口增长率函数为f'(x)=0.01489×10.15eo1489x 让人口年增长率0.01489变小，人口的增长速度就变 小，故可控制人口的增长。 9
9 其 中, x代表年数(0,1,2,…),按照此模型可以预测我国在 2005 年人口将有 13.6710 亿。求我国人口增长率函数？怎 样控制人口增长速度？ 解 = + − y f x x f x ( ) ( ) 0.01489( ) 10.15 x x e + = 0.01489 10.15 x − e 0.01489 0.01489 10.15 ( 1) x x e e = − 0.01489 0.01489 1 10.15 x y e x e x x − = 0.01489 0.01489 0 0 1 lim 10.15 lim x x x x y e e x x → → − = 0.01489 10.15 0.01489 x = e 由导数定义,人口增长率函数为 0.01489 ( ) 0.01489 10.15 x f x e = 让人口年增长率0.01489变 小,人口的增长速度就变 小,故可控制人口的增长
2.几何意义 如图，曲线y=f(x),Mo(x,f(》, M(+△x,fx+△x),割线MM, Kuu tan B=Ay △x =,+Ax)-f) △x y=f(x) K切线=KM,r=tan M =lim KoM=lim tan B M→Mo B-→a △y lim Ar0△X =lim f(xo+Ax)-f(xo) Mo △x->0 △x =f'(x) Xo x+△xx 10
10 2.几何意义 如图,曲线y f x = ( )，M0 0 0 ( , ( )) x f x , M 0 0 ( , ( )) x x f x x + + ,割线M0 M ， 0 0 0 tan ( ) ( ) M M y K x f x x f x x = = + − = 0 0 0 0 0 0 0 0 tan lim lim tan lim ( ) ( ) lim ( ) M T M M M M x x K K K y x f x x f x x f x → → → → = = = = = + − = = 切线 x y o y f x = ( ) M M0 0 x0 x x + x y T
结论f'(x)表示曲线y=f(x)在M(x,f(x)》点处的切线 的斜率。 切线方程： (1)f'(x)≠0， y-f(xo)=f(xo)(x-x); (2)f'(x)=0, y=f(o); (3)f'(x)=0, x=Xoo 法线方程： (1)f'(x)≠0， 1一-x): (2)f'(x)=0, x=Xo; (3)'(x)=0, y=f(x)。 11
11 结 论 0 f x ( )表示曲线 y f x = ( )在M0 0 0 ( , ( )) x f x 点处的切线 的斜率。 切线方程： (1) 0 f x ( ) 0 , 0 0 0 y f x f x x x − = − ( ) ( )( ) ； (2) 0 f x ( ) 0 = , 0 y f x = ( )； (3) 0 f x ( ) = , 0 x x = 。 法线方程： (1) 0 f x ( ) 0 ， 0 0 0 1 ( ) ( ) ( ) y f x x x f x − = − − ； (2) 0 f x ( ) 0 = ， 0 x x = ； (3) 0 f x ( ) = ， 0 y f x = ( )
变速直线运动的路程函数s=s(),s'(,)为变速直线运 动在t时刻的速度，即v()=s'()。 3.物理意义 例.求曲线y=x在(3,9)点处的切线方程、法线方程。 解由例1知，y=2x,故y1x=6, 故切线方程y-9=6(x-3),即y-6x+9=0 法线方程y-9=-(x-3,即6y+x-57=0 三、函数的可导与连续的关系 结论 函数y=f(x)在x点可导，则有f(x)在x点连续。 lim△y=lim △y lim A lim Ax=f'(x).0=0 △x-→0 △x Ar→0△XAr-→0 12
12 3.物理意义 变速直线运动的路程函数s s t = ( )， 0 s t ( )为变速直线运 动在 0 t 时刻的速度，即 0 0 v t s t ( ) ( ) = 。 例.求曲线 2 y x = 在(3,9)点处的切线方程、法线方程。 解 由例1知, y x = 2 ,故y x=3 = 6, 故切线方程y x − = − 9 6( 3)，即y x − + = 6 9 0 法线方程 1 9 ( 3) 6 y x − = − − ,即 6 57 0 y x + − = 三、函数的可导与连续的关系 结论 函数y f x = ( )在x点可导,则有 f x( )在x点连续。 0 0 0 0 lim lim lim lim ( ) 0 0 x x x x y y y x x f x → → → → x x = = = =
