微分方程是十七、十八世纪产生的一个新的数学分 支，它为寻找变量之间的函数关系提供了新的方法。自 微分方程产生以来，它就有着极其广泛的应用。如在医 药学中，药物吸收与排泄过程，疾病的传播方式，人口 的增长理论，肿瘤的生长规律等等。在药物动力学、微 生物动力学中充分显示了它的应用前景。 在科学研究中，寻求变量之间的函数关系十分重 要。 微分学： f(x)→f'(x)或df(x)=f'(x)dk 积分学： f(x)=F'(x)→F(x) 但通常无法确定变量间的函数关系，只能建立这些 变量和导数间关系式，通过这个关系式来寻求函数关 系。这就是微分要方程要讨论的问题。 3
3 微分方程是十七、十八世纪产生的一个新的数学分 支，它为寻找变量之间的函数关系提供了新的方法。自 微分方程产生以来，它就有着极其广泛的应用。如在医 药学中，药物吸收与排泄过程，疾病的传播方式，人口 的增长理论，肿瘤的生长规律等等。在药物动力学、微 生物动力学中充分显示了它的应用前景。 在科学研究中，寻求变量之间的函数关系十分重 要。 微分学： f x( ) f x ( )或df x f x dx ( ) ( ) = 积分学： f x F x ( ) ( ) = F x( ) 但通常无法确定变量间的函数关系，只能建立这些 变量和导数间关系式，通过这个关系式来寻求函数关 系。这就是微分要方程要讨论的问题
第五章 微分方程基础 第一节一般概念 一.实例 1.预备知识 方程含有未知量的等式，称为方程 说明 (1)未知量可以是变量（数），也可以是函数， (2)对未知量施加不同的运算，便会得到不同的方程， 例如，未知量是一变量x变量)时， ①对其施加代数运算，便得到代数方程，如： x2+2x-1=0 4
4 第五章 微分方程基础 第一节 一般概念 一．实例 1．预备知识 方程 含有未知量的等式，称为方程 说明 (1)未知量可以是变量（数），也可以是函数， (2)对未知量施加不同的运算，便会得到不同的方程， 例如，未知量是一变量（x 变量）时， ①对其施加代数运算，便得到代数方程，如： 2 x x + − = 2 1 0
②对其施加三角运算，便得到三角方程，如： sinx+cosx =1,tanx-1=0 (3)若未知量是函数，对其施加微分运算，便会得到微 分方程。 2.实例 例1.一曲线过M(1,2)点，且在该曲线上任意一点M(x,y) 处的切线的斜率为2x,求这曲线方程。 解设所求曲线方程y=f(x) -2x,放=2x,两边积分∫-2 依题意dx 以=1 y=x2+c,将=1代入上式=1，故所求方程y=x2+1 5
5 ② 对 其 施 加 三 角 运 算 , 便 得 到 三 角 方 程 ， 如 ： sin cos 1,tan 1 0 x x x + = − = （3）若未知量是函数，对其施加微分运算，便会得到微 分方程。 2．实例 例 1.一曲线过 M(1,2)点，且在该曲线上任意一点M x y ( , ) 处的切线的斜率为2x ，求这曲线方程。 解 设所求曲线方程y f x = ( ) 依题意 1 2 1 x d y x d x y = = = ，故dy xdx = 2 ，两边积分 dy xdx = 2 2 y x c = + ，将 1 1 x y = = 代入上式c =1 ，故所求方程 2 y x = +1
y=x2+c皆满足=2，而y=x+c视为=x2上、下平 dx 移c个单位，且每条曲线上横坐标相同时，切线平行。 例2.质量为m的物体从空中自由下落（忽略空气阻力 不计)，己知物体下落初始位置时的位移为S。=0,速度 为，=0，求物体下落的路程S /y=x2+1 与时间t的关系。 解设路程S与时间t的关系 s=s(t) 6
6 2 y x c = + 皆满足 2 dy x dx = ,而 2 y x c = + 视为 2 y x = 上、下平 移| | c 个单位，且每条曲线上横坐标相同时，切线平行。 例 2．质量为 m 的物体从空中自由下落（忽略空气阻力 不计），已知物体下落初始位置时的位移为 0 S = 0，速度 为v0 = 0，求物体下落的路程 S 与时间 t 的关系。 解 设路程 S 与时间 t 的关系 s s t = ( ) o x y 2 y x = +1
d's dr =8 依题意 S0=0=0 s1==0 ds ds dt gdt =8t+C dt ds (gt +c)dt s= 28r2+ct+6 将 S1=0=50=0 代入上边两式9=0，C2=0 s0=0=0 1 故所求的路程与时间关系一28r >
7 依题意 2 2 0 0 0 0 0 0 t t d s g d t s s s v = = = = = = = ds d gdt dt = 1 ds gt c dt = + 1 ds gt c dt = + ( ) 2 1 2 1 2 s gt c t c = + + 将 0 0 0 0 0 0 t t s s s v = = = = = = 代入上边两式 1 2 c c = = 0, 0 故所求的路程与时间关系 1 2 2 s gt =
概念 1.微分方程 含有自变量、未知函数和未知函数的导数或微分的 方程，称为微分方程。 若微分方程中，未知函数为一元函数，这种方程称 为常微分方程。 若微分方程中，未知函数为多元函数，则称这种方 程为偏微分方程。 本章只介绍常微分方程，上两例尖-2x d's dx =g皆为常微 分方程，为简便，以后称常微分方程为微分方程或方程
8 二、概念 1．微分方程 含有自变量、未知函数和未知函数的导数或微分的 方程，称为微分方程。 若微分方程中，未知函数为一元函数，这种方程称 为常微分方程。 若微分方程中，未知函数为多元函数，则称这种方 程为偏微分方程。 本章只介绍常微分方程，上两例 2 d y x d x = , 2 2 d s g d t = 皆为常微 分方程，为简便，以后称常微分方程为微分方程或方程
2. 微分方程的阶 微分方程中，未知函数的导数或微分的最高阶 数，称为微分方程的阶。 少=2x为一阶微分方程 dx d2s 2=8为二阶微分方得 一阶微分方程，记为：F(x,y,y)=0 二阶微分方程，记为：F(x,y,y',y")=0 ”阶微分方程，记为：F(x,yy,…,y)=0 9
9 2．微分方程的阶 微分方程中，未知函数的导数或微分的最高阶 数，称为微分方程的阶。 2 dy x dx = 为一阶微分方程 2 2 d s g dt = 为二阶微分方程 一阶微分方程，记为：F x y y ( , , ) 0 = 二阶微分方程，记为：F x y y y ( , , , ) 0 = n阶微分方程，记为： ( ) ( , , , , ) 0 n F x y y y =
3.微分方程的解 若把某函数及其导数代入微分方程，使该方程成为恒 等式，则称这个函数为该微分方程的解。 由例1，y=2+c,y=2+1,y=2皆为=2x的解 dx h例2，s8r+e以+e,=方r+c,5=5+c 8以皆为方=8的解。 10
10 3．微分方程的解 若把某函数及其导数代入微分方程，使该方程成为恒 等式，则称这个函数为该微分方程的解。 由例 1， 2 y x c = + , 2 y x = +1, 2 y x = 皆为 2 dy x dx = 的解 由例 2， 2 1 2 1 2 s gt c t c = + + , 2 1 1 2 s gt c t = + , 1 2 2 s gt c = + , 1 2 2 s gt = 皆为方程 2 2 d s g dt = 的解
(1)通解 含有独立的任意常数，常数的个数与微方程的阶数 相同的解，则称这种解为微分方程的通解。 例1，y=x2+c为少=2x的通解： dx y=x2+1,y=x2都不是通解。 创2亏46号=g份道： s=282+c4,s=8r+c,s=28不是通解
11 （1）通解 含有独立的任意常数，常数的个数与微方程的阶数 相同的解，则称这种解为微分方程的通解。 例 1， 2 y x c = + 为 2 dy x dx = 的通解； 2 y x = +1， 2 y x = 都不是通解。 例 2， 2 1 2 1 2 s gt c t c = + + 为 2 2 d s g dt = 的通解； 2 1 1 2 s gt c t = + , 1 2 2 s gt c = + , 1 2 2 s gt = 不是通解
(2)特解、初始条件 在通解中，利用已知条件，确定出任意常数的数值， 从而得到的解，称为微分方程的特解，已知条件，称为 微分方程的初始条件。 在例1中，微分方程少=2x,初始条件=2， dx 特解为y=x2+1。 在例2，微分方种-5，初始条=0 s10=%=0 12
12 （2）特解、初始条件 在通解中，利用已知条件，确定出任意常数的数值， 从而得到的解，称为微分方程的特解，已知条件，称为 微分方程的初始条件。 在例 1 中，微分方程 2 dy x dx = ，初始条件 1 2 x y = = ， 特解为 2 y x = +1。 在例 2 中，微分方程 2 2 d s g dt = ,初始条件 0 0 0 0 0 0 t t s s s v = = = = = =
