第七章 参数估计 第一节参数的点估计 一、点估计问题 设总体X的分布函数的形式为已知的F(x,0),其中x是自变量，0为未 知参数（它可以是一个数，也可以是一个向量）·借助于总体X的一个样本 (X1,X2…Xn),来估计未知参数的值的问题，称为参数的点估计问题. 点估计的问题就是要构造一个适当的统计量6=(X,X2,Xn),用样 本的一组观察值（x1,x2,xn），得到6的观察值0=0(x1,x2,,xn,以此 来估计未知参数0.称统计量0=6X1,X2.…,Xn)为的估计量，称 0=0(x1,2,xn)为0的估计值
第七章 参数估计 第一节 参数的点估计 一、点估计问题 设总体 X 的分布函数的形式为已知的F ( x,θ ) ，其中 x 是自变量,θ为未 知参数（它可以是一个数，也可以是一个向量）．借助于总体 X 的一个样本 （X 1,X 2,…, X n），来估计未知参数θ的值的问题，称为参数的点估计问题． 点估计的问题就是要构造一个适当的统计量 ( X1 , X2 , …,Xn )，用样 本的一组观察值（ x1 , x2 , …,xn ），得到 的观察值 （ x1 , x2 , …,xn ), 以此 来估计未知参数θ．称统计量 （ X 1, X 2,…,X n ）为θ的估计量，称 ˆ ˆ = ˆ ˆ ˆ = ˆ ˆ = ˆ ˆ = （ x1 , x2 , …,xn ）为θ的估计值．
二、矩估计法 设总体X的分布函数为F(x,0,02,…,0)， 其中0,02，…，0为k个未知参数.假设总体X的 各阶原点矩E(X)(I=1,2,,k)存在，则EX)是 01,02,…,0的函数，记作u斤以01,02，…，0即 41(81,02,…,0k)=E(X1=1,2,,k. 对于总体X的样本(X,X2,Xn)，样本的1阶原点矩为 4=2好1=12…k 令 4=A21=1,2,…,k
二、矩估计法 的函数，记作μl=μl ( ) 即 ，l=1,2,…，k． 设总体 X 的分布函数为 , 其中 为 k 个未知参数. 假设总体 X 的 各阶原点矩 存在, 则E (X l )是 ( , , , , ) 1 2 k F x k , , , 1 2 E(X ) (l 1,2, ,k) l = k , , , 1 2 ( , , , ) ( ) 1 2 l l k = E X k , , , 1 2 对于总体 X 的样本（ X1 , X2 , …,Xn），样本的 l 阶原点矩为 ，l = 1, 2, …，k． = = n i l l Xi n A 1 1 令 μl = Al , l=1,2,…，k
即 4(88,…,8)=2X n i= 4,00,,0)=2x n i= 40,0,…,0)=1x 从上述方程组中解出0,02，…，0：，分别记作 1=0L(X1,X2,…,Xn月 62=02(X1,X2,…,Xn) 0=0(X1,X2,…,Xn) 以此作为未知参数日，02，…，0的估计量，称为矩估计量
= = = = = = n i k k k i n i k i n i k i X n X n X n 1 1 2 1 2 2 1 2 1 1 1 2 1 ( , , , ) , 1 ( , , , ) , 1 ( , , , ) 即 从上述方程组中解出 1 , 2 , , k ，分别记作 ( , , , ). ˆ ˆ ( , , , ), ˆ ˆ ( , , , ), ˆ ˆ 1 2 2 2 1 2 1 1 1 2 k k n n n X X X X X X X X X = = = 以此作为未知参数 1 , 2 , , k 的估计量，称为矩估计量．
如果样本观察值为(x1,x2,n)，则 得未知参数0,02，…，0的矩估计值为 01=01(x1,x2,…,xn) 82=02x1,x2,…,xm) 04=0(x1,x2,…,xn) 上述估计未知参数的方法就叫做矩估计法. 例1设总体X服从参数为几的泊松分布，其中几>0为未知，又设X, X,,X,为X的样本，求1的矩估计量. 解X~π(2)，E(X=九，即4=E(X=九， 令4=A,即 =2X,= ni=l 得孔的矩估计量为元=灭
如果样本观察值为（ x1 , x2 , …,xn ），则 得未知参数 的矩估计值为 上述估计未知参数的方法就叫做矩估计法． k , , , 1 2 ( , , , ). ˆ ˆ ( , , , ), ˆ ˆ ( , , , ), ˆ ˆ 1 2 2 2 1 2 1 1 1 2 k k n n n x x x x x x x x x = = = 例1 设总体 X 服从参数为 的泊松分布，其中 >0 为未知，又设X1 , X2 , …,Xn为 X 的样本，求 的矩估计量． 解 令 ，即 得 的矩估计量为 ． ~ ( ), ( ) , ( ) , X E X = 即1 = E X = 1 = A1 , 1 1 X X n n i = i = = ˆ = X
例2设总体X服从参数为2的指数分布，其 概率密度为 e x>0, 0，x≤0 其中九>0为未知，又设X,X2,,Xn为X的 样本，求入的矩估计量. 解由F4=0)克令 41=4 即 日三=风 因此将到2的斑估计损为月=是
例2 设总体 X 服从参数为 的指数分布，其 概率密度为 其中 为未知，又设 为 X 的 样本，求 的矩估计量． = − 0 , 0, e , 0, ( ) x x f x x 0 X X Xn , , , 1 2 解 由于 ， 即 因此得到 的矩估计量为 ． , 令 1 ( ) 1 = E X = 1 = A1 = = = n i Xi X n 1 , 1 1 X 1 ˆ =
例3设总体X在区间[a,b]上服从均匀分 布，a与b为未知，X,X2,,X,是来自总体 X的样本，求a与b的矩估计量， 4=E(X)=a+6 解 2 4=B(X2)=D(X)+[Ex=6-a)+a+b2 4 令 12 4=A, 4=A2, 即 04-Σx-无 n i= b-a+a+b=4=2x. 12 4 n i=l 整理得 a+b=24, b-a=V12(4,-4)
例3 设总体 X 在区间 [a, b] 上服从均匀分 布，a 与 b 为未知，X1 ，X2 ， ，Xn是来自总体 X 的样本，求 a 与 b 的矩估计量． , 2 ( ) 1 a b E X + = = + + − = = + = 4 ( ) 12 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 b a a b E X D X E X 解 令 即 整理得 = = , , 2 2 1 1 A A = = + + − = = = + = = , 1 4 ( ) 12 ( ) , 1 2 1 2 2 2 2 1 1 n i i n i i X n A b a a b X X n A a b − = − + = 12( ). 2 , 2 2 1 1 b a A A a b A
于是得到a、b的矩估计量为 g=A---2- 6=4+4-)=X+2-0
于是得到 a、b 的矩估计量为 ( ) . 3 3( ) ˆ ( ) , 3 ˆ 3( ) 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 = = = + − = + − = − − = − − n i i n i i X X n b A A A X X X n a A A A X
例4设总体X的均值为，方差为。2， 且o>0,但t与o均未知，又设总体X的一 个样本为(X,名，，X,)，求与o的矩估 计量. 解4=E()=4, 42=E(X2)=D(X)+[E(X)=o2+2. 令 4=A, 42=A2, 即 u=4-Σx,=X 2+=4,=2x ni= 解此方程组得到4与σ2的矩估计量为 =A=X, G2=4-4=12x-X=∑(X- n ni≥1
解此方程组得到 与 的矩估计量为 2 ( ) . 1 1 ˆ ˆ , 1 2 1 2 2 2 2 1 2 1 = = = − = − = − = = n i i n i i X X n X X n A A A X 令 即 = = , , 2 2 1 1 A A + = = = = = = = . 1 , 1 1 2 2 2 2 1 1 n i i n i i X n A X X n A ( ) , 1 = E X = = = + = + 2 2 2 2 2 E(X ) D(X ) E(X ) 解 例4 设总体 X 的均值为 ，方差为 ， 且 ，但 与 均未知，又设总体 X 的一 个样本为（X1, X2 , , Xn），求 与 的矩估 计量． 2 0 2
注此例说明，无论总体X服从什么分 布，样本均值灭都是总体均值“的矩估计量， 样本二阶中心矩就是总体方差。2的矩估计 量 例5某厂生产一批铆钉，现要检验铆钉头部直径，从这批产品中随机抽 取12只，测得头部直径（单位：mm)如下： 13.30 13.3813.4013.4313.3213.48 13.54 13.3113.3413.4713.44 13.50 设铆钉头部直径这一总体X服从正态分布N(4,σ2)，试求4与σ2的矩估计 值。 解由例4可得 立=元=2(1330+1338++1350)=1341 12 =2c-P03334y+338-34P++(350-4 =0.0059
解 由例4可得 0.0059 . [(13.31 13.41) (13.38 13.41) (13.50 13.41) 12 1 ( ) 12 1 ˆ (13.30 13.38 13.50 ) 13.41, 12 1 ˆ 2 2 2 1 2 1 2 2 = = − = − + − + + − = = + + + = = i i x x x 例5 某厂生产一批铆钉，现要检验铆钉头部直径，从这批产品中随机抽 取12只，测得头部直径（单位：mm）如下： 13.30 13.38 13.40 13.43 13.32 13.48 13.54 13.31 13.34 13.47 13.44 13.50 设铆钉头部直径这一总体 X 服从正态分布 ，试求 与 的矩估计 值． ( , ) 2 N 2 注 此例说明，无论总体 X 服从什么分 布，样本均值 都是总体均值 的矩估计量， 样本二阶中心矩就是总体方差 的矩估计 量． X 2
三、极大似然估计法 1.设总体X为离散型随机变量，其分布律为 PX=x}=p(x,0),k=1,2,… 其中为未知参数，取值范围为⊙。设X,X2… X为来自X的样本，则X1X2Xn的联合分布律 为px,0).又设x1,2…x,为一组样本值， 令 i=l L(0)=Lx,x2,,xn,0)=px,0) (1)》 i= 称L(0为样本的似然函数. 若有0=x1,x2,…,xn)∈⊙，使得对一切0∈Θ，有 L(0≥L(0) 成立，则称0=(x,x2,,x)为的极大（或最大）似然估计值，相应的统 计量0=(X,X2,…,X称为的极大（或最大）似然估计量
三、极大似然估计法 1．设总体X为离散型随机变量，其分布律为 其中θ为未知参数，取值范围为 ．设 X1, X2, , Xn为来自 X 的样本，则 X1, X2, ,Xn 的联合分布律 为 ．又设 x1, x2, , xn 为一组样本值， 令 称 L(θ)为样本的似然函数． PX = xk = p(xk ,), k =1,2, = n i i p x 1 ( , ) ( ) ( , , , , ) ( , ), 1 1 2 = = = n i n i L L x x x p x （1） 若有 ˆ = ˆ (x1 , x2 , , xn ) ，使得对一切 ，有 ) ( ) ˆ L( L 成立，则称 为θ的极大( 或最大 )似然估计值，相应的统 计量 称为θ的极大(或最大 )似然估计量． ( , , , ) ˆ ˆ 1 2 n = x x x ( , , , ) ˆ ˆ = X1 X2 Xn