第二章 §5离数的微分 微分的概念 二、 微分的几何意义 三、微分运算法则 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
二、微分的几何意义 三、微分运算法则 一、微分的概念 机动 目录 上页 下页 返回 结束 §5函数的微分 第二章
一、微分的概念 引例：一块正方形金属薄片受温度变化的影响，其 边长由xo变到x,+△x,问此薄片面积改变了多少？ 设薄片边长为x,面积为A,则A=x2,当边长x取 得增量Δx时，面积的增量为 △M=(x,+△x)2-x △x x0△x =2xoAx+(△ xo A=x xoAx 关于△x的 △x→0时为 线性主部 高阶无穷小 故△4≈2x0△x 称为函数在x,的微分 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
一、微分的概念 引例: 一块正方形金属薄片受温度变化的影响, 问此薄片面积改变了多少? 设薄片边长为 x , 面积为 A , 则 , 2 A = x 0 x x 面积的增量为 x x 0 2 0 A = x x x 0 2 (x) 关于△x 的 线性主部 高阶无穷小 x →0 时为 故 称为函数在 x0 的微分 当边长 0 x 取 得增量 x 时, 0 x 变到 , 0 边长由 x + x 其 机动 目录 上页 下页 返回 结束
定义：若函数y=f(x)在点xo的增量可表示为 △y=f(xo+△x)-f(xo)=A△x+o(△x) (A为不依赖于△x的常数 则称函数y=f(x)在点x,可微，而A△x称为f(x)在 点xo的微分，记作dy或df,即 dy=A△x 定理：函数y=f(x)在点x,可微的充要条件是 y=f(x)在点xo处可导，且A=∫'(x,),即 dy=f'(xo)△x HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
的微分, 定义: 若函数 在点 x0 的增量可表示为 ( A 为不依赖于△x 的常数) 则称函数 y = f (x) 而 Ax 称为 记作 即 dy = Ax 定理: 函数 在点 x0 可微的充要条件是 = Ax + o(x) 即 dy = f (x )x 0 在点 可微, 机动 目录 上页 下页 返回 结束
定理：函数y=f(x)在点x,可微的充要条件是 y=f(x)在点x处可导，且A=f'(x),即 dy=f'(xO)△x 证：“必要性 已知y=f(x)在点x可微，则 △y=f(x,+△x)-f(x)=A△x+O(△x) Ay=lim (+(Ax))=A lim A △x->0△X△x-→0 ΛX 故y=f(x)在点x的可导，且f'(xo)=A HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
定理 : 函数 证: “必要性” 已知 在点 可微 , 则 ( ) ( ) 0 0 y = f x + x − f x ) ( ) lim lim ( 0 0 x o x A x y x x = + → → = A 故 = Ax + o(x) 在点 的可导, 且 在点 x0 可微的充要条件是 在点 处可导, 且 即 dy = f (x )x 0 机动 目录 上页 下页 返回 结束
定理：函数y=f(x)在点x,可微的充要条件是 y=f(x)在点x处可导，且A=f'(x),即 dy=f'(xO)△x “充分性”已知y=f(x)在点x的可导，则 lim Ay=f(xo) △x>0△X =f"(xo)+a lim a=0) △x-→0 故△y=f'(x)△x+CAx=f'(xo)Ax+o(Ax) 线性主部 (∫'(xo)≠0时) 即dy=f'(xo)△x HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
定理 : 函数 在点 x0 可微的充要条件是 在点 处可导, 且 即 dy = f (x )x 0 “充分性” 已知 lim ( ) 0 0 f x x y x = → = + ( ) 0 f x x y ( lim 0 ) 0 = → x y = f (x )x +x 故 0 ( ) ( ) 0 = f x x + o x 线性主部 即 dy = f (x )x 0 在点 的可导, 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束
说明△y=f'(x)△x+o(△x) dy=f'(xo)△x 当f'(xo)≠0时， lim Ay= lim △y △x0dy x-0f'(xo)△x lim AY =1 f'(x0)Ax-0△x 所以△x→0时Ay与dy是等价无穷小，故当△x 很小时，有近似公式 △ydy HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
说明: f (x0 ) 0 时 , dy = f (x )x 0 ( ) ( ) 0 y = f x x + o x y y x d lim 0 → f x x y x = → ( ) lim 0 0 x y f x x = →0 0 lim ( ) 1 =1 所以 x → 0 时 y dy 很小时, 有近似公式 x y dy 与 是等价无穷小, 当 故当 机动 目录 上页 下页 返回 结束
二、微分的几何意义 切线纵坐标的增量 dy=f'(x)△x=tana·△x 2 y=f(x)/ 当△x很小时，△y≈dy 当y=x时， y=A号dx 称△x为自变量的微分，记作dx x0+△x 则有dy=f'(x)dx 从而 =f'(x) 导数也叫作微商 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
dy = f (x )x 0 x + x 0 x y o y = f (x) 0 x y = tan x dy 当 x 很小时, y dy 当y = x 时， 则有 dy = f (x)dx 从而 ( ) d d f x x y = 导数也叫作微商 切线纵坐标的增量 称x为 自变量的微分, 记作 dx y = x = dx 记 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、微分的几何意义
例如，y=x3 3x2.dx x=2 =0.24 x=2 dx=0.02 dx=0.02 基本初等函数的微分公式 导数公式 微分公式 (x)=ux-1 d()=ux dx (sinx)'=cosx d(sinx)=cosxdx (cosx)'=-sinx d(cosx)=-sinxdx (tanx)'=sec2x d(tanx)=sec2xdx (cotx)'=-csc2x d(cotx)=-csc2xdx (secx)'=secx tanx d(secx)=secx tanxdx HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
例如, , 3 y = x dy d 0.02 2 = = x x 2 = 3x dx d 0.02 2 = = x x = 0.24 基本初等函数的微分公式 机动 目录 上页 下页 返回 结束 导数公式 微分公式 (x μ )′= μx μ-1 d(x μ )= μx μ-1dx (sinx)′=cosx d(sinx)=cosxdx (cosx)′=-sinx d(cosx)=-sinxdx (tanx)′=sec2x d(tanx)=sec2xdx (cotx)′=-csc2x d(cotx)=-csc2xdx (secx)′=secx tanx d(secx)=secx tanxdx
导数公式 微分公式 (cscx)=-cscxcotx d(cscx)=-cscxcotxdx (a")'=alna d(a)=alnadx (e)=e d(e")=e*dx (logax)= xlna d(log。x)= Ina (Inx)'= d(In x)-dx X X (arcsinx) d(arcsin x)= dx (arccos x) d(arecos) dx (arctan x) d(arctan x)= dx + (arccotx)= d(arc cot x)=- dx 1+x2 1+x2 HIGH EDUCATION PRESS
导数公式 微分公式 (cscx )′= -cscxcotx d(cscx ) = -csc xcotx dx ( a x )′= a x ln a d( a x )= a x ln a dx ( ex )′= ex d( ex )= ex dx ' 1 (log ) ln a x x a = 1 d(log ) d ln a x x x a = ' 1 (ln ) x x = 1 d(ln ) d x x x = ' 2 1 (arcsin ) 1 x x = − 2 1 d(arcsin ) d 1 x x x = − ' 2 1 (arccos ) 1 x x = − − 2 1 d(arccos ) d 1 x x x = − − ' 2 1 (arctan ) 1 x x = + 2 1 d(arctan ) d 1 x x x = + ' 2 1 (arccot ) 1 x x = − + 2 1 d(arccot ) d 1 x x x = − +
三、微分运算法则 设(x),vx)均可微，则 1.d(au±v)=du±dy 2.d(C）=Cdu (C为常数 3.d(uv)vdu udy vdu-udv (v≠0) v2 5.复合函数的微分 y=f(u),u=p(x)分别可微， 则复合函数y=[p(x)]的微分为 dy ydx f"(u)p"(x)dx dy f'(u)du 微分形式不变 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
三、 微分运算法则 设 u(x) , v(x) 均可微 , 则 (C 为常数) 分别可微 , 的微分为 = f (u)(x)dx du dy = f (u)du 微分形式不变 5. 复合函数的微分 则复合函数 = du dv = vdu + udv 机动 目录 上页 下页 返回 结束