第二章第二部分 微分中值定理 与导数的五用 罗尔中值定理 中值定理 拉格朗日中值定理 研究函数性质及曲线性态 应用 利用导数解决实际问题
第二章 第二部分 中值定理 应用 研究函数性质及曲线性态 利用导数解决实际问题 罗尔中值定理 拉格朗日中值定理 微分中值定理 与导数的应用
第二章 §6中值定理 一、罗尔(Role)定理 二、拉格朗日中值定理 HIGH EDUCATION PRESS 机动 目录 上 下项返回 结束
一、罗尔( Rolle )定理 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、拉格朗日中值定理 §6 中值定理 第二章
一、罗尔(Role)定理 费马(fermat)引理 y=f(x)在U(x)有定义， =>f'(x0)=0 且f(x)≤f(x),f'(xo)存在 (或≥) 证：设xo+△x∈U(xo),f(xo+△x)≤f(xo), 则f'(xo)=lim f(xo+△x)-f(x)》 △x-→0 △x [f'(xo)≥0（△x→0） >f'(x)=0 f(x)≤0（△x→0+） 证毕 HIGH EDUCATION PRESS 费马 上 返回 结束
费马(fermat)引理 一、罗尔( Rolle )定理 ( ) , 在 x0 有定义 且 ( ) 0 f (x) f (x0 ), f x 存在 (或) ( ) 0 f x0 证: 设 ( ), ( ) ( ), 0 0 0 0 x x x f x x f x 则 ( ) 0 f x x f x x f x x ( ) ( ) lim 0 0 0 ( 0 ) f (x0 ) x ( 0 ) f (x0 ) x 0 0 ( ) 0 f x0 x y o 0 x y f (x) 费马 目录 上页 下页 返回 结束 证毕
罗尔(Rolle)定理 y=f(x) y=f(x)满足： (1)在区间[a,b]上连续 (2)在区间(a,b)内可导 h (3)f(a)=f(b) >在(a,b)内至少存在一点5，使f'(5)=0 证：因f(x)在[a,b]上连续，故在[a,b]上取得最大值 M和最小值m 若M=m,则f(x)≡M,x∈[a,b], 因此V5∈(a,b),f'(5)=0 HIGH EDUCATION PRESS 机动 上页 下贞返回 结束
罗尔（ Rolle ）定理 y f (x) 满足: (1) 在区间 [a , b] 上连续 (2) 在区间 (a , b) 内可导 (3) f ( a ) = f ( b ) , 使 f ( ) 0. x y o a b y f (x) 证:因f (x)在[a , b]上连续，故在[ a , b ]上取得最大值 M 和最小值 m . 若 M = m , 则 f (x) M , x[a , b], 因此 (a , b), f ( ) 0 . 在( a , b ) 内至少存在一点 机动 目录 上页 下页 返回 结束
若M>m,则M和m中至少有一个与端点值不等， 不妨设M≠f(a),则至少存在一点5e(a,b),使 f()=M,则由费马引理得f'(5)=0, 注意： 1)定理条件不全具备，结论不一定成立 例如， x, 0≤x<1 10,x=1 f(x)=x f(x)=x x∈[-1,1] x∈[0,1] HIGH EDUCATION PRESS 机动 上贞 返回 结束
若 M > m , 则 M 和 m 中至少有一个与端点值不等, 不妨设 M f (a) , 则至少存在一点 (a,b), 使 f ( ) M , f ( ) 0. 注意: 1) 定理条件不全具备, 结论不一定成立. 例如, 0, 1 , 0 1 ( ) x x x f x 1 x y o 则由费马引理得 [ 1,1] ( ) x f x x [0,1] ( ) x f x x 1 x y 1 o 1 x y o 机动 目录 上页 下页 返回 结束
2)定理条件只是充分的.本定理可推广为 y=f(x)在(a,b)内可导，且 lim f(x)=lim f(x) x->a x→b 在(a,b)内至少存在一点5，使f"(5)=0 f(a), x=a 证明提示：设F(x)=了f(x), a<x<b f(b),x=b 证Fx)在[a,b]上满足罗尔定理 HIGH EDUCATION PRESS 机动 上页 返回 结束
使 2) 定理条件只是充分的. 本定理可推广为 y f (x)在 ( a , b ) 内可导, 且 lim f (x) x a lim f (x) x b 在( a , b ) 内至少存在一点 , f ( ) 0. 证明提示: 设 证 F(x) 在 [a , b] 上满足罗尔定理 . F(x) f a x a ( ), f (x), a x b f b x b ( ), 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例1.证明方程x5-5x+1=0有且仅有一个小于1的 正实根 证：1)存在性. 设f(x)=x5-5x+1,则f(x)在[0,1]连续，且 f(0)=1,f(1)=-3.由介值定理知存在x∈(0,1)，使 f(x)=0,即方程有小于1的正根x 2)唯一性 假设另有x,∈(0,1)，x1≠x0,使f(x)=0,f(x)在以 x,x1为端点的区间满足罗尔定理条件，在x0,x之间 至少存在一点5，使f"(5)=0. 但f'(x)=5(x4-1)<0,x∈(0,1)，矛盾，故假设不真 HIGH EDUCATION PRESS 机 返回 结束
例1. 证明方程 5 1 0 5 x x ( ) 5 1, 5 f x x x f (0) 1, f (1) 3. ( ) 0, f x0 (0,1), , 1 1 0 x x x ( ) 5( 1) 4 f x x 0, x(0,1), 有且仅有一个小于1 的 正实根 . 证: 1) 存在性 . 则 f (x) 在 [0 , 1 ] 连续 , 且 由介值定理知存在 (0,1), x0 使 即方程有小于 1 的正根 . 0x 2) 唯一性 . 假设另有 ( ) 0, 使 f x1 f (x)在以 0 1 x , x 为端点的区间满足罗尔定理条件 , 在x0 , x1之间 至少存在一点 , 使 f ( ) 0. 但 矛盾, 故假设不真! 设 机动 目录 上页 下页 返回 结束
二、拉格朗日中值定理 y=f(x) y=f(x)满足： (1)在区间[a,b]上连续 h x (2)在区间(a,b)内可导 至少存在点5e(a,b),使f()=b)-/(a b-a 证：问题转化为证f(5)- fb)-f(@=0 b-a 作辅助函数 0(x)=f(x)- f(b)-f(a) b-a 显然，p(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且 p(a) bf(a)-afb)=o(b),由罗尔定理知至少存在一点 b-a 5∈(a,b),使p'(5)=0,即定理结论成立.证毕 HIGH EDUCATION PRESS 拉民 上页 返回 结束
二、拉格朗日中值定理 ( ) (1) 在区间 [ a , b ] 上连续 y f (x) 满足: (2) 在区间 ( a , b ) 内可导 至少存在一点 (a,b) , 使 . ( ) ( ) ( ) b a f b f a f x y o a b y f (x) 思路: 利用逆向思维找出一个满足罗尔定理条件的函数 作辅助函数 显然 , (x) 在 [ a , b ] 上连续 , 在 ( a , b ) 内可导, 且 证: 问题转化为证 (x) f (x) x b a f b f a ( ) ( ) (a) 由罗尔定理知至少存在一点 (a,b), 使( ) 0, 即定理结论成立 . (b), b a b f a a f b ( ) ( ) 拉氏 目录 上页 下页 返回 结束 0 ( ) ( ) ( ) b a f b f a f 证毕
拉格朗日中值定理的有限增量形式： 令a=x0,b=x+△x,则 △y=f'(x0+0△x)△x(0<0<1) 推论：若函数f(x)在区间I上满足f'(x)=0,则f(x) 在I上必为常数 证：在1上任取两点x1,x2(x1<x2),在[x1,x2]上用拉 日中值公式，得 f(x2)-f(x)=f'(5)(x2-x)=0(x1<5<x2) f(x2)=f(x) 由x1,x2的任意性知，f(x)在I上为常数 HIGH EDUCATION PRESS 机动 返回 结束
拉格朗日中值定理的有限增量形式: 推论: 若函数 在区间 I 上满足 f (x) 0, 则 f (x) 在 I 上必为常数. f (x) 证: 在 I 上任取两点 , ( ), 1 2 1 2 x x x x 在[x1 , x2 ]上用拉 日中值公式 , 得 f (x2 ) f (x1 ) f ( )(x2 x1 ) 0 ( ) 1 2 x x ( ) ( ) 2 1 f x f x 由 的任意性知, 1 2 x , x f (x)在 I 上为常数 . ( ) (0 1) y f x0 x x , , 0 0 令 a x b x x 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束
π 例2.证明等式 arcsin x +arccosx= ,x∈[-1,1] 2 证：设f(x)=arcsinx+arccosx,则在(-l,1)上 '()=1-x1-x 由推论可知 f(x)=arcsinx+arccosx=C(常数) 令x=0,得C= 又仕1)=刀，故所证等式在定义域【-1，】上成立 2 经验：欲证x∈I时f(x)=C,只需证在I上∫'(x)≡0， 且3x∈I,使f(x)=C 自证：arctanx+arccotx= π x∈(-0，+0) HIGH EDUCATION PRESS 机动 上 返回 结束
例2. 证明等式 , [ 1,1]. 2 arcsin x arccos x x 证: 设 f (x) arcsin x arccos x , 则在(1,1)上 f (x) 由推论可知 f (x) arcsin x arccos x C (常数) 令 x = 0 , 得 . 2 C 又 , 2 ( 1) f 故所证等式在定义域 [1,1]上成立. 自证: , x(, ) 2 arctan arccot x x 2 1 1 x 2 1 1 x 0 经验: 欲证 x I 时 ( ) , C0 f x 只需证在 I 上 f (x) 0, , 0 且 x I ( ) . 0 C0 使 f x 机动 目录 上页 下页 返回 结束