第一章 §9连疾盈数的运算与 初等盈教的连续性 一、 连续函数的运算法则 二、初等函数的连续性 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
一、连续函数的运算法则 二、初等函数的连续性 机动 目录 上页 下页 返回 结束 §9连续函数的运算与 初等函数的连续性 第一章
一、连续函数的运算法则 定理1.在某点连续的有限个函数经有限次和，差，积， 商（分母不为0）运算，结果仍是一个在该点连续的函数 利用极限的四则运算法则证明) ( 例如，sinx,cosx连续 tanx,cot x 在其定义域内连续 定理2.连续单调递增（递减）函数的反函数也连续单调 递增（递减） (证明略) 例如，y=sinx在[-号，]上连续单调递增 其反函数y=arcsinx在[-1,1]上也连续单调递增 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上 页下页返回结束
定理2. 连续单调递增 函数的反函数 在其定义域内连续 一、连续函数的运算法则 定理1. 在某点连续的有限个函数经有限次和 , 差 , 积 , ( 利用极限的四则运算法则证明) 商(分母不为 0) 运算, 结果仍是一个在该点连续的函数 . 例如, 例如, y = sin x 在 上连续单调递增， 其反函数 y = arcsin x (递减). (证明略) 在 [－1 , 1] 上也连续单调递增. 递增 (递减) 也连续单调 机动 目录 上页 下页 返回 结束
又如， y=ex在(-oo,+oo)上连续单调递增 其反函数y=nx在(0，+oo)上也连续单调递增 定理3.连续函数的复合函数是连续的 证：设函数u=(x)在点xo连续，且lim(x)=4, X0 函数y=f(x)在点4连续，即1imf(u)=f(4o) 于是 lim f[o(x)]=lim f(u)=f(uo=f[(xo)] x→X0 2u今1u0 =f[lim (x)]. 故复合函数f[p(x)]在点x,连续 显然，在定理3的条件下，求复合函数f[p(x)的极限 时，函数符号与极限符号1im可以交换次序 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
定理3. 连续函数的复合函数是连续的. 在 上连续 单调 递增, 其反函数 在 上也连续单调递增. 证: 设函数 0 0 lim ( ) . x x x u → = 于是 lim ( ) 0 f u u→u [ ( )] 0 = f x 故复合函数 又如, 且 即 机动 目录 上页 下页 返回 结束 0 [lim ( )]. x x f x → = 显然，在定理3的条件下，求复合函数f [φ(x)]的极限 时，函数符号f与极限符号lim可以交换次序
例洳，y=sin1 是由连续函数链 y=Sinu,u∈(-0，+oo） 1l= x∈R x 复合而成，因此y=sinm在x∈R上连续 X y y sin X HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
例如, 是由连续函数链 * xR 因此 在 * 复合而成 xR 上连续 . , x y o x y 1 = sin 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例1求lim x-3 x>3 Vx2-9 x-3 解 x-3 y=x2-9 看作由y=√与u= x2-9 -31 复合而成，因为1m 3x2-9 -6 而函数y=√am在点u= -6 连续，所以 x-3 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
机动 目录 上页 下页 返回 结束 例1 求 2 3 3 lim . x 9 x → x − − 2 3 9 x y x − = − 解 可看作由 y u = 与 2 3 9 x u x − = − 复合而成，因为 , 6 1 9 3 lim 2 3 = − − → x x x 而函数 y u = 在点 6 1 u = 连续，所以 2 3 3 lim x 9 x → x − − 9 3 lim 2 3 − − = → x x x 6 1 = . 6 6 =
二、初等函数的连续性 基本初等函数在定义区间内连续 切初等函数 连续函数经四则运算仍连续 在定义区间内 连续 连续函数的复合函数连续 例如， y=√1-x2的连续区间为[-1,1】端点为单侧连续 y=Insinx在连续区间(0，元)上 π lim Insinx Insin =0 π 2 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
二、初等函数的连续性 基本初等函数在定义区间内连续 连续函数经四则运算仍连续 连续函数的复合函数连续 一切初等函数 在定义区间内 连续 例如, 2 y = 1− x 的连续区间为 (端点为单侧连续) y = lnsin x 在连续区间(0，π)上, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2 lim ln sin lnsin 0. x 2 x → = =
例2.求1im oga(1+x) x→0 X 解原式=mlg,0+x-1g,e=b x→0 例3.求1ima-l x→0 X 解：令t=a-1,则x=log(1+t) 原式=lim t lna t-0 loga(1+t) 说明：当a=e,x→0时，有 ln1+x）~x ex-1≈x HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
例2. 求 解: 原式 例3. 求 解: 令 = −1, x t a 则 x log (1 t), = a + 原式 log (1 ) lim 0 t t a t + = → 说明: 当 时, 有 ln(1+ x) ~ −1 ~ x x e x 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例4.求1im(1+2x)m x→0 3 解：原式=limesin In(1+2x) x→0 3.2x lime =e6 x→0 说明：若1imu(x)=0,limv(x)=oo,则有 x→X0 x→x0 lim v(x)In[1+4(x)] lim [1+u(x)]"=e x→x0 lim v(x)u(x) =e x→X0 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
例4. 求 解: 原式 ln(1 2 ) sin 3 x x + x 3 说明: 若 lim ( ) 0, 0 = → u x x x 则有 + = → ( ) lim 1 ( ) 0 v x x x u x lim ( ) , 0 = → v x x x e = e lim ( ) ( ) 0 v x u x x→x 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2x
x≤1 讨论复合函数f[p(x)]的连续性 解： p2(x), p(x)≤1 「x2, x≤1 f[0(x)]= 2-p(x),p(x)>1 -2-x,x>1 x≠1时[0(x]为初等函数，故此时连续，而 lim f[o(x)]=lim x2=1 x-→1 x-→17 1imf[p(x)】=lim(-2-x)=-3 x→1 x->1+ 故[p(x)]在点x=1不连续，x=1为第一类间断点 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
+ = 4, 1 , 1 ( ) x x x x 例5. 设 x 解: 讨论复合函数 的连续性 . = , 1 2 x x − 2 − x , x 1 故此时连续; 而 lim [ ( )] 1 f x x → − 2 1 lim x x→ − = =1 lim [ ( )] 1 f x x → + lim ( 2 ) 1 x x = − − → + = −3 故 x = 1为第一类间断点 . ( ), ( ) 1 2 x x 2 −(x), (x) 1 x 1时 f [(x)]为初等函数, 在点 x = 1 不连续 , 机动 目录 上页 下页 返回 结束
内容小结 基本初等函数在定义区间内连续 连续函数的四则运算的结果连续 初等函数在 定义区间内 连续函数的反函数连续 连续 连续函数的复合函数连续 说明：分段函数在界点处是否连续需讨论其 左、右连续性 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
内容小结 基本初等函数在定义区间内连续 连续函数的四则运算的结果连续 连续函数的反函数连续 连续函数的复合函数连续 初等函数在 定义区间内 连续 说明: 分段函数在界点处是否连续需讨论其 左、右连续性. 机动 目录 上页 下页 返回 结束