第一—章 §10闭区间上连续蓝数的性质 最值定理 二、介值定理 三、一致连续性 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
一、最值定理 二、介值定理 *三、一致连续性 机动 目录 上页 下页 返回 结束 §10 闭区间上连续函数的性质 第一章
一、最值定理 定理1.在闭区间上连续的函数在该区间上一定有最大 值和最小值， 即：设f(x)∈C[a,b],则35i,52∈[a,b],使 f()=min f(x) yy=f(x) a≤x≤b f(52)=max f(x) a≤x≤b (证明略) o as 5 bx 注意：若函数在开区间上连续，或在闭区间内有间断 点，结论不一定成立 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
注意: 若函数在开区间上连续, 结论不一定成立 . 一、最值定理 定理1.在闭区间上连续的函数 即: 设 f (x)C[a, b], o x y a b y = f (x) 1 2 则 , [ , ], 1 2 a b 使 ( ) min ( ) 1 f f x a xb = ( ) max ( ) 2 f f x a xb = 值和最小值. 或在闭区间内有间断 在该区间上一定有最大 (证明略) 点 , 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例如， y=x,x∈(0,1) 无最大值和最小值 又如， -x+1, 0≤x<1 1,x=1 2 也无最大值和最小值 2 x HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
例如, 无最大值和最小值 o x y 1 1 x o y 1 1 2 2 也无最大值和最小值 又如, 机动 目录 上页 下页 返回 结束
推论.在闭区间上连续的函数在该区间上有界 证：设f(x)∈C[a,b],由定理1可知有 M=max f(x),m=min f(x) x∈[a,b] x∈[a,b] y=f(x〉 故x∈[a,b],有m≤f(x)≤M 因此f(x)在[a,b]上有界 0a5152bx 二、介值定理 定理2.（零点定理）f(x)∈C[a,b], y=f(x) 且f(a)f(b)<0 至少有一点 5∈(a,b),使f(5)=0. (证明略) HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
o b x y a y = f (x) 1 2 m M 推论. 由定理 1 可知有 max ( ) , [ , ] M f x x a b = min ( ) [ , ] m f x x a b = 证: 设 上有界 . 二、介值定理 定理2. ( 零点定理 ) 且 至少有一点 使 x y o a b y = f (x) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 ( 证明略 ) 在闭区间上连续的函数在该区间上有界
定理3.（介值定理）设f(x)∈C[a,b],且f(a)=A f(b)=B,A≠B,则对A与B之间的任一数C,至少有 一点5∈(a,b),使f(5)=C y=f(x) 证：作辅助函数 (x)=f(x)-C 则0(x)∈C[a,b],且 b x p(ap(b)=(A-C)(B-C)<0 故由零点定理知，至少有一点5∈（α，b),使(5）=0， 即 f(5)=C 推论：在闭区间上的连续函数必取得介于最小值与最 大值之间的任何值 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
定理3. ( 介值定理 ) 设 f (x)C[a, b], 且 f (a) = A, f (b) = B, A B , 则对 A 与 B 之间的任一数 C , 一点 证: 作辅助函数 (x) = f (x) −C 则 (x)C[a, b] , 且 = (A−C)(B −C) 故由零点定理知, 至少有一点 使 即 推论: A o b x y a y = f (x) B C 使 至少有 在闭区间上的连续函数必取得介于最小值与最 大值之间的任何值 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 ( ) ( ) a b
例1.证明方程x3-4x2+1=0在区间(0,1)内至少有 一个根 证：显然f(x)=x3-4x2+1∈C[0,1],又 f(0)=1>0,f(1)=-20, 则(2,1)内必有方程的根 取2,1]的中点x=,f()<0, 则(，)内必有方程的根；… 可用此法求近似根 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
例1. 证明方程 一个根 . 证: 显然 又 故据零点定理, 至少存在一点 使 即 说明: , 2 1 x = ( ) 0, 8 1 2 1 f = ( ,1) 内必有方程的根 ; 2 1 取 的中点 , 4 3 x = ( ) 0, 4 3 f ( , ) 内必有方程的根 ; 4 3 2 1 可用此法求近似根. 二分法 4 3 2 0 1 1 x + − + − 在区间 内至少有 机动 目录 上页 下页 返回 结束 则 则
例2.设f(x)在[a,b]上连续，且恒为正，证明 对任意的x1,x2∈(a,b),x10,.F(x)F(x2)<0 故由零点定理知，存在5∈(x1,x2),使F(5)=0,即 f(5)=f(x1)f(x2) HIGH EDUCATION PRESS 小结目录上页下页返回结束
例2. 设 f (x) 在 上连续 , 且恒为正 , 对任意的 必存在一点 证: 使 令 , 则 ( ) ( ) 1 2 = − f x f x 2 1 2 [ f (x ) − f (x )] 0 故由零点定理知 , 存在 使 即 当 时, 取 或 , 则有 证明: 小结 目录 上页 下页 返回 结束
三.一致连续性 已知函数f(x)在区间】上连续，即 Vxo∈1，&>0,36>0，当x-x0,存在6>0，对任意的 1,x2∈I,当1-x2<δ时，都有f(1)-f(x2)< 则称f(x)在I上一致连续 显然：f(x)在区间I上一致连续 f(x)在区间I上连续 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
*三. 一致连续性 已知函数 在区间 I 上连续, 即: 一般情形, , . 与 x0 都有关 就引出 了一致连续的概念 . 定义: 对任意的 都有 在 I 上一致连续 . 显然: 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例如，f(x)=∈C(0,1],但不一致连续 因为8>0(06 这说明f(x)=在(0,1]上不一致连续 定理.若f(x)∈C[a,b],则f(x)在[a,b]上一致连续 思考：P73题6 (证明略) 提示：设f(a),f(b)存在，作辅助函数 (f(a"),x=a 显然 F(x)= f(x),a<x<b F(x)∈C[a,b] f(b),x=b HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
例如, 但不一致连续 . 因为 取点 则 可以任意小 但 这说明 在 ( 0 , 1 ] 上不一致连续 . 定理. 上一致连续. (证明略) 思考: P73 题 6 提示: 设 存在, 作辅助函数 显然 机动 目录 上页 下页 返回 结束
内容小结 设f(x)∈C[a,b],则 1.f(x)在[a,b]上有界 2.f(x)在[a,b]上达到最大值与最小值 3.f(x)在[a,b]上可取最大与最小值之间的任何值 4:当f(af(b)<0时，必存在5∈(a,b),使f(5)=0. HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
内容小结 在 上达到最大值与最小值; 上可取最大与最小值之间的任何值; 4. 当 时, 必存在 使 上有界; 在 在 机动 目录 上页 下页 返回 结束