2006-2007学年第二学期 《线性 同济大学课程考核试卷(B卷) 2006-2007学年第二学期 命题教师签名： 审核教师签名： 课号：122010 课名：线性代数(3学分) 考试考查：考试 此卷选为：期中考试()、期终考试()、重考（试卷 年级专业 学号 姓名 任课教师 题号 二三 四 五 六 七 总分 得分 (注意：本试卷共7大题，3大张，满分100分，考试时间为120分钟.要求写出解题过程，否则不予计分) 填空(30分) 1、如果三阶矩阵A=(aa1a,)的行列式的值为3，则矩阵B=(a2a1+2a,3a2+3a,)的行列 式的值为： 201 2、如果矩阵A=31 可对角化，x= 405 3、设T是线性空间V上的线性变换，T在V的两组基a,a1,…,a和B,B,…,B下的矩阵分别为A 和B,则A和B间的关系是： 123 4、如果矩阵A=2x6 正定，则x的取值范围是 36x 5、如果非齐次线性方程组AX=β解向量组的秩为r(r≥1)，则系数矩阵A的秩为_ 6、二次型(x,,)=x2+2x2-6x2x+4xx所对应的对称矩阵A= 124 7、A=36x中元素x的代数余子式的值为: 27y 8、设三阶方阵A的特征值为-1,2,4，则A= 9、设矩阵A,B满足AB=E,下面说法正确的是： (A)矩阵A可逆；(B)矩阵A的行向量组线性无关； (C)矩阵A的列向量组线性无关；(D)以上说法都不正确
2006-2007 .... «aeu ~i1f:k~iff¥~~ii\~(B~) 2006-2007 ~i:F~=?!ftM ifI~~~rp~~: il~: 122010 il~: t&.it~. ( 3 !!J!~) J1t~it~: Mlfl~ut( ). Mtt-~-ut( . ). m:~(v1iA4 I 11 ....l- /\ I Jt(3! (30 t)-) L 1m~-=:ISft~IS$A=(a. a 2 a3)t'fJff,tl.Jtl¥Jfi~3, 9!tl~IS$B=(al 2a1+2a2 3a2+3a3)I¥J~T'tl At'fJfi'J: _ 2, 1m*~1S$ A =(~ ~J pYj;ffMt, x=---- 4 0 S 3, {iT !H&tt~rB]V LI¥J~tt~!k, T tE V tf.JWHllt!a.,a2,···,an.f4l PI'P2 ,"',Pn rtf.J~~t)-~J~ A .f4lB,~A.f4lB~I¥J*~~: _ 4, 1m!l:~IS$A""'(~ ~JiE)E' JWxtf.J~mmmll _ 3 6 x 8, ti-=:ISft1JIS$A a<J~tiEm:~-1,2,4, 9!tlIAo'= _ 9, li~1S$ A, B _.If. AB "'" E, rOO ~i2;jJ:M'Il¥.1 J!: _ (A) ~IS$A iiJ~; (B) ~IS$A I¥.JfffiiJ:l:m~ttx*; (C) ~IS$A a<J"JfiiJ:ltm~ttx*; (D) W.L~1'!~~iEiiJfI
k》(3华分)测岭夸试装意(B感)一】 10、如果5,5,5是向量组()的最大线性无关组，则： 也是向量组(A)的最大线性无关组. (A)5+52,52+5,5+5:(B)5+52,52+5,5+252+5: (C)51+52,5+5,5+252+351:(D)5+5,52+5,35,+252+5. a+b100 ab a+b10 二、（10分)计算行列式：D,= 0 ab a+b 1 0 0 ab a+b 三、(10分）求向量组a%=(10,2,)，a2=(12,0,1)，4=(2,130), a,=(2,5,-山4)，a,=(1,-1,3,-1)的秩及其一个极大线性无关组，并用该极大线性无关 组表示其余向量
k» (3.:lrt) ........... (8"') -1 a+b 0 0 =, (1O:$t) it.tr;dA: ab a+b 1 0 D. = 0 ab a+b 1 0 0 ab a+b a.=(2, 5, -I, 4), a 5 =(I, -I, 3, -l)(fJ~.&~-1-t&:k~ttX*m, #ffl*~:k~ttx;X: m;t<~;Jt 1Ft 1aJ:I:
2006-2007学年掌二学期《线量代 (-10 四、(15分)设A= 012 求正交矩阵P使得P(A-E)P为对角阵，并写出此对角阵 220 [2x +X3 =4 五、(15分)讨论1、4取何值时， 线性方程组 Mx +为 =3有解，求其解 2μx2 +为 =4
》(3举分)期蜂故款◆(B患)一2 六、(15分)设V为全部二阶实方阵所构成的线性空间.对任意MeV,定义：P)=M-A'), 其中A”表示转置矩阵 (1)证明：P为线性变换： @)求P在s6-685-605-日88-09）下铃矩库 (3)求P的核及像空间：
jtt:p AT ~IVF~.~~. 0) idEH"ij: P'-'~tt~~; (2) ~P1£~EII;:(~ ~}EI2;:(~ ~}E21;:(~ ~}B==(~ ~)ra<J~~; (3) 3f(.P a<J~&.~ra.);
2006-2007学年二学期《线使 七、(5分)一个m×n矩阵A称为有右逆，如果存在一个n×m矩阵B,使得AB=E。,其中E.为m 阶单位矩阵.证明：实矩阵A有右逆的充分必要条件是矩阵A的行向量组线性无关
-t, (5~) -1-mxn~~A"jgfftii£.W1!.Hf:tE-1-nxm~I$B. f!{fJAB=E.,. ltI:fE.,1iJm ~.N~I$.~~: ~~I$Aff~~~ft~~~~~~~I$A~rr~.m~ttX*
06-07卜二学时线性代数B 参考答案 1 0 一、1、18：2、3：3、A和B相似：4、x>9:5、n-r+1:6、 0 2 -3：7、-3: -3 0 8、64:9、C:10、A。 a+b 1 0 0 a 1 0 0 b 0 0 0 ab a+b 1 名 a+b 1 0 ab a+b 1 0 二、解：D,= 0 ab a+b 1 0 ab a+b 0 ab a+b 0 0 ab a+b 0 0 ab a+b 0 0 ab a+b 而 0 0 a 1 0 0 a 1 0 0 a 1 00 ab a+b 1 0 0 1 0 a 1 0 0 1 0 =a, 0 ab a+b 1 0 ab a+b 0 0 1 0 0 a 0 0 ab a+b 10 0 ab a+b 00 ab a+b 0 00 a b 0 0 0 a+b 1 0 ab a+b 1 0 -b ab a+b =bD3, 0 ab a+b 1 0 ab a+b 0 0 ab a+b 所以D,=a+bD=a+b(a3+bD)=a+ab+a2b2+ab3+b。 11221 0 215 -1 三、解：将矩阵A=(a,a, a, a)= 用行初等变换化成简化 3 03-1 1104-1 1 0 01 0 01 03-1 行阶梯矩阵 从而向量组的秩为3，可取a,:2,C3为一个极大线性无 0 0 1-11 0 0 000 关组，a4=a,+3x2-3， 0=-0C2+3· 4 4 -2 四、解：A-E= 44 2 |元E-(A2-E)=(2-8)(元+1)，得特征值为 -227
/ 06-07 19; 5, n-r+l; 6, 2 7, -3; -3 8, 64; 9, C; 10, Ao a+b 0 0 a 1 0 0 b 0 0 0 ffJIt: ab a+b 1 0 ab a+b 1 0 ab a+b 1 0 D- + 4- 0 ab a+b 1 0 ab a+b 1 0 ab a+b 1 0 0 ab a+b 0 0 ab a+ 0 0 ab a+b rm a 0 0 a 1 0 0 a 1 0 0 a 1 0 0 ab a+b 1 0 0 a 1 0 0 a 1 0 0 a 1 0 =a4 0 ab a+b 1 0 ab a+b 1 0 0 a 1 0 0 a 1 0 0 ab a+b 0 0 ab a+b 0 0 ab a+b 0 0 0 a b 0 0 0 a+b 1 0 ab a+b 1 0 =b ab a+b 1 =bD3 ' 0 ab a+b 1 0 ab a+b 0 0 ab a+b 1 1 2 2 1 T T T aT) - 0 2 1 5 -1 )fJ 1ifJJ~ t ~1t~ fi,41t ~:, ffll(: ¥t~E~f A =(aj , a 2' a 3, 4 - 2 0 3 -1 3 1 1 0 4 -1 1 0 0 1 0 0 1 0 3 -1 , fA ffi1 ttl I: ~n tt78 3, PT lfX- al' a 2,a 3.:78 - ~w. Jd3di 3C iT -t* ~E ~f 0 0 1 -1 1 0 0 0 0 0
=元2=8，入=-1。当=22=8时，特征向量为5 ,52= 0 标准正交化得： 0 2 -2 2 4-4 6 2 -2 23 2 2 2 S1= -2 标准化得：53= 2 ,52= 当=-1时，特征向量为5= 6 2-3 0 22 1 3 )1 于是止交矩阵P=(5S2S)就使得P(A-E)P为对角阵，对角阵为 211211 五、(15分)解：系数行列式D= 2μ1040 莱姆法则， -1+24 (1)当D≠0，即2≠1且4≠0时，方程组有唯一解：解为x= 4(2-1)' u 名4+2ut1 4(2-1) (元11 4 (2)当4=0时，方程组增矩阵行等价于 101 3 方程组无解。 0001 10 12 (3)当元=1时，方程组增)矩阵行等价于 0 1 02 当弘≠。时方程组没 2 0001-24 2 1 2 百解。当“)时，有无豹多解，通解为X空 +C 0 其中c为任意常数。 0 0 六、(15分)(1)证明：对任意A,B∈Mx3以及任意k∈R, P4+)=4+-+)-号4-A+B-B)=P0+Pa:
All All A 1 - n.,(155t)ffl1t-:-*~1T;YUAD=1 fl 1=1 fll=fl =fl(A-l) ,EE51 1 2fl 1 0 fl 0 1 1 ~m¥t;;lj~U, (1) ~D:;t:O, ~PA:;t:1J:ifl:;t:OE1, 1J,1'M~Fl:rrP1E~ffl1t-; ffl1t-7>J Xj =-1+2fl , X2=~' fleA -1) fl (2) "l fl 0 Ht, 1JWllIlii(~{i~i?1~1ftr [ J1;l\'!\1xflil, (3) A =181, 1n~~fiJ:~ r'~8J$n-~~fflT [00 1 0 01 l' fl :;t: i E11Tl~m¥)( o 1- 2fl 1\, (15 51'-) (1) iilJ1A: Xiff;'@: A, BE M 3x3 ~R. ff;,@: k E lR , 1 TIT 1 T P(A+B)=-((A+B)-(A+B) 222)=-(A-A )+-(B-B )=P(A)+P(B);
Pk4=（化A-k4)=k(A-A)=kP(0,所以P为线性变换。 (0 0 00 0 11 -2 0 (2) 0 1 1 0 2 2 0 000 (3)Ker(P)=AEVIA"=A,Im(P)=AEVI4=-A. 七、证明：必要性若A有右逆，则存在矩阵B,使得AB=E,从而 m=R(En)=R(AB)≤R(A)≤m,即R(A)=m,所以矩阵A的行向量组线性无关。充分 性如果A的行向量组线性无关，则A的列向量组线性无关。因A为实矩阵，易知齐次线 性方程组AX=0与AAX=0同解，进而R(AA)=R(A)=m,但AA为m阶方阵， 所以AA可逆，设其逆矩阵为K,则AAK=E,所以A有右逆
P(kA)=2(kA-kA 1 TIT )=k 2 (A-A )=kP(A). PJT~PJ~~3U13H~o o 0 0 0 1 1 o - -- 0 2 2 1 1 o -- - 0 2 2 o 0 0 0 (3) Ker(P)={AEVIAT=A}, Im(P)={AEVIAT=-A}o {:;, ill: P}j: ~,~ 'rl * A :tr ;:fJ ~, IjlIJ 1f if J~ Ff B, lR i!t AB = Em' fA jTIJ
