取 p 2m 8m'c' 零级近似:能量E。,n2重简并态vmn=N(r)(6.q),l=0.n-1,m=-1,1 在n2维简并子空间中的微扰矩阵元 (nIm Ho)n/ 8m'c2 Imlp nl 由定态 Shrodinger方程 Dn+())E8l9 nIm)o)=2m(E( 故 H 2 (nm(-r()m)0 由于V(r)与日,9无关, to)(nImv (1+1/2)n2a 故 Hg= me(e )'t aE (Hi 说明:微扰矩阵元Hu在由D,L构成的简并空间中是对角的,久期方程的根是 ES=Ho E(m重间并)→Eu=E+H0(21+1重间并)。 例4:光谱的精细结构。 考虑氢原子的自旋-轨道耦合 方2 合=B+B,P=-h平2 (1) rL● (的形式是由相对论量子力学给出的。取 ( ) 2 2 0 ˆ ˆ 2 p e H m r = − ， ( ) 4 1 3 2 ˆ ˆ 8 p H m c = − 。 零级近似： 能量 ( ) ， 重简并态 0 En 2 n ψ nlm = N r nl ( )Ylm (θ,ϕ) ， l n = − 0,... 1, m = −l,...l 。 在 维简并子空间中的微扰矩阵元 2 n ( ) 1 1 ( ) 0 0 ( ) ( ) ( ) 0 4 ( ) , 3 2 1 ˆ ˆ 8 Hnlm nl m nlm H nl m nlm p nl m m c ′ ′ = = ′ ′ − ′ ′ 0 ， 由定态Shrodin  ger 方程 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 0 0 0 ˆ 2 n p V r nlm E nlm m ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ + = ⎝ ⎠ ， ( ) ( ) ( ) ( ) 2 0 0 0 ( ) ˆ 2 n p nlm = − m E V r nlm 故 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 (1) 0 0 0 , ' ' 2 1 2 H n nlm nl m n lm E V r mc = − − nl′ ′ m ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 0 0 0 0 0 2 2 1 2 2 En ll mm En nlm V r nl m nlm V r nl m mc δ δ′ ′ = − − ′ ′ + ′ ′ 0 由于V r( ) 与θ ，ϕ 无关， ( ) ( ) ( ) 2 0 0 2 ' 2 1 ( ) ( ) nl nl ll mm ll mm e nlm V r nl m drr N r N r r n δ δ′ ′ δ δ′ ′ ′ = = ∫ a − ′ ， ( ) ( ) ( ) ( ) 4 0 0 2 3 2 1/ 2 ll mm e nlm V r nl m l n a δ δ′ ′ ′ ′ = + 故 H H nlm ( ) 1 ,nl′ ′ m = nl ( ) 1 δ δll′ mm′ ， ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 4 2 1 0 0 2 2 1 2 2 1 nl n n e e H E E mc n a l n a ⎛ ⎞ = − ⎜ ⎟ + + + ⎝ ⎠ 3 2 / 2 2 1 ， 说明：微扰矩阵元 Hnl ( ) 1 m,nl′m′在由 2 构成的简并空间中是对角的，久期方程的根是 ˆ ˆ , L Lz G (1) ( ) 1 Enl = Hnl ， (0) 2 (0) ( ) 1 ( ( E n n n E E l n Hnl 重间并）→ = + l + 重间并）。 例 4：光谱的精细结构。 考虑氢原子的自旋-轨道耦合 ( ) 0 1( ) Hˆ ˆ = H + Hˆ ， ( ) ( ) 2 0 2 ˆ 2 H V r µ = − ∇ + = K ( ) ( ) ( ) 1 2 1 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 2 dV r H L S r L S r dr ξ µ = − • = • K K K K ， ( ) 1 Hˆ 的形式是由相对论量子力学给出的。 4