为求解久期方程,先计算微扰矩阵元 H; =dro(F)Hp,(F) 有 H1=2=-3eean,其他矩阵元都为零。 在4维简并子空间中的久期方程为 -eea 0 有E2=3eoa,E22=-3ea,-3=E2=0。 E20(4重间并)→E2=E20+3ean,E20-3ean,E2(2重间并) 零级能量E204重简并部分消除 将E代入齐次方程组, 0 3ee E00 0 EAI 得到系数 1Cn2,C32C4}, 则 v9=∑与E3=E9+E对应 例3:氢原子的相对论修正。 非相对论动能 2m 相对论动能 T=√p2+m-m2=P-Bx+…, 2m 8mc 只保留p项,有=P 8m3c2为求解久期方程，先计算微扰矩阵元 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 3 * ˆ Hij i j = d rϕ r H ϕ r ∫ K K K ， 有 ( ) ( ) ，其他矩阵元都为零。 1 1 12 21 0 H H= = −3eεa 在 4 维简并子空间中的久期方程为 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 0 1 0 2 1 2 1 2 3 0 0 3 0 0 0 0 0 0 0 0 E e a e a E E E ε ε − − − − = − − 0 a = − ε ( ) 1 ( ) 1 2,3 2,4 有 E2, ( ) 1 1 = 3eε 0， E e 2, ( ) 1 2 3 a0， E E = = 0 。 ( ) 0 0( ) ( ) 0 ( ) 0 2 2 2 0 2 0 2 (4 +3 , 3 , (2 E E 重间并）→ =i E eε ε a E － e a E 重间并） 零级能量 ( ) 4 重简并部分消除： 0 E2 将 ( ) 代入齐次方程组， 1 E2i ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 0 1 1 0 2 2 1 3 2 1 4 2 3 0 0 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 i i i i i i i i E e a c e a E c E c c E ε ε ⎛ ⎞ − − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ − − ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ − ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 得到系数 {c c i i 1, , 2 ci3,ci4} ， 则 ( ) 4 0 2 1 i ij j c ψ ϕ j = = ∑ 与 ( ) 对应。 0 (1) E E 2 2 i = +E2i 例 3：氢原子的相对论修正。 非相对论动能 2 2 p T m = ， 相对论动能 2 4 2 2 2 4 2 3 2 2 8 p p T p c m c mc m m c = + − = − +"， 只保留 4 p 项，有 2 2 4 3 2 ˆ ˆ ˆ 2 8 p e p H m r m c = − − 。 3