推论1如果f(x)|g(x),f(x)|g(x),且(f(x),f2(x)=1,那么 f(xf,(x)1g(x) 推论2如果(f(x)g(x)=1,(2(x),g(x)=1,那么(f(x)2(x)g(x)=1 推广:对于任意多个多项式f(x),2(x)…,∫(x)s≥2),d(x)称为 f(x),f2(x).…f,(x)s≥2)的一个最大公因式,如果d(x)具有下面的性质: 1)d(x)|J∫(x),i=1,2,…,s 2)如果q(x)f(x)i=1,2,…,s,那么(x)|d(x) 我们仍用(f(x),f2(x),…,f,(x)符号来表示首项系数为1的最大公因式不 难证明f1(x),2(x)…,f(x)的最大公因式存在,而且当f(x),f2(x)…,f(x)全不 为零时, (1(x),f2(x),…,f3=1(x),f3(x) 就是f(x),f2(x)…,f(x)的最大公因式,即 (f1(x),f2(x),…,f,(x)=(1(x),/2(x)…,f1(x),f(x) 同样,利用以上这个关系可以证明,存在多项式u1(x)i=1,2,…,s,使 l1(x)f1(x)+l2(x)2(x)+…+2(x)f,(x)=(f1(x),f2(x)…,f,(x) 如果(f(x),f2(x)…,f(x)=1,那么∫f(x),f2(x)…,f,(x)就称为互素的.同 样有类似定理3的结论 注意1)当一个多项式整除两个多项式之积时,若没有互素的条件,这个多项 式一般不能整除积的因式之一.例如x2-1(x+1)2(x-1)2,但x2-1|(x+1)2,且 2)推论1中没有互素的条件,则不成立.如g(x)=x2-1,f(x)=x+1, f(x)=(x+1)x-1),则f(x)|g(x),f2(x)lg(x),但f1(x)/2(x)lg(x) 注意:s(s≥2)个多项式f1(x),2(x),…,f(x)互素时,它们并不一定两两互推论 1 如果 ( )| ( ), ( ) | ( ) 1 2 f x g x f x g x ，且 ( f 1 (x), f 2 (x)) =1,那么 ( ) ( )| ( ) 1 2 f x f x g x . 推论 2 如果 ( f 1 (x), g(x)) =1, ( f 2 (x), g(x)) =1,那么 ( f 1 (x) f 2 (x), g(x)) =1 推 广 ： 对 于 任 意 多 个 多 项 式 ( ), ( ), , ( )( 2) f 1 x f 2 x  f s x s  ， d (x) 称 为 ( ), ( ), , ( )( 2) f 1 x f 2 x  f s x s  的一个最大公因式，如果 d (x) 具有下面的性质： 1） d x f x i s i ( ) | ( ), =1, 2,  , ; 2）如果 x f x i s i ( ) | ( ), =1, 2,  , ，那么 (x) | d(x) . 我们仍用 ( ( ), ( ), , ( )) 1 2 f x f x f x  s 符号来表示首项系数为 1 的最大公因式.不 难证明 ( ), ( ), , ( ) 1 2 f x f x f x  s 的最大公因式存在，而且当 ( ), ( ), , ( ) 1 2 f x f x f x  s 全不 为零时， (( ( ), ( ), , ( )), ( )) 1 2 1 f x f x f x f x  s− s 就是 ( ), ( ), , ( ) 1 2 f x f x f x  s 的最大公因式，即 ( ( ), ( ), , ( )) 1 2 f x f x f x  s = (( ( ), ( ), , ( )), ( )) 1 2 1 f x f x f x f x  s− s 同样，利用以上这个关系可以证明，存在多项式 u x i s i ( ), =1,2,  , ,使 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ), ( ), , ( )) 1 1 2 2 1 2 u x f x u x f x u x f x f x f x f x + ++ s s =  s 如果 ( f 1 (x), f 2 (x), , f s (x)) = 1 ，那么 ( ), ( ), , ( ) 1 2 f x f x f x  s 就称为互素的.同 样有类似定理 3 的结论. 注意 1)当一个多项式整除两个多项式之积时,若没有互素的条件,这个多项 式一般不能整除积的因式之一.例如 2 2 2 x −1| (x +1) (x −1) ,但 2 2 x −1 | (x +1) ,且 2 2 x −1 | (x −1) . 2) 推论 1 中没有互素的条件,则不成立.如 ( ) 1 2 g x = x − , f 1 (x) = x +1, ( ) ( 1)( 1) f 2 x = x + x − ,则 ( )| ( ), ( ) | ( ) 1 2 f x g x f x g x ,但 ( ) ( )| ( ) 1 2 f x f x g x . 注意: s (s  2) 个多项式 ( ), ( ), , ( ) 1 2 f x f x f x  s 互素时,它们并不一定两两互